etc

En allant ainsi à Tinfini, on aura alternativement des limites par excès et par défaut. *Pour avoir une approximation assez exacte en terminant la suite, il faut, fait observer Brouncker, augmenter le dénominateur de la fraction où l'on s'arrête, de la racine du numérateur; on I rouve par ce moyen, dès les septième et huitième termes, des limites plus resserrées que celles d'Archimède.

Lord Brouncker avait le génie des mathématiques. Ses fonctions politiques (après la restauration de Charles II il était devenu chancelier de ce prince et conseiller de la marine) ne lui firent pas abandonner sa science favorite. Il publia en 1668, dans les Mémoires de la Société Royale de Londres (Philosophical Transactions, n° 34), une autre découverte remarquable, que Wallis avait annoncée dès 1657 dans la dédicace d'un écrit contre Meibomius. C'est la première suite infinie qui ait été donnée pour exprimer Vaire de Phyperbole, dont voici la construction :

Que C (fig. 38) soit le centre d'une hyperbole équilatère, CA le carré inscrit entre ses asymptotes, = 1, et BD égale à CB. L'auteur montre que l'espace ABDE&A est égal à cette suite infinie de fractions décroissantes :

572 + 374 +576 4- 575» etc., suite également expri-

mable par l — ô + ô — 4 "^ 5 "" e' ®^^' * » ^® ^'®®" pace AGEP est = J^ + jL + J + !., etc.»;

enfin que le segment ÂEG- est :

+ nr^ + â-TT^y etc.

La démonstration que lord Brouncker donna de son procédé est fort simple. A cet effet, il commence par prendre le plus grand rectangle inscrit dans l'espace hyperbolique, puis il partage la bas'e BD en deux moitiés, et il calcule la valeur du rectangle 2. Il continue à partager chacune des deux moitiés BH, HB, en deux également, et de même chacune des portions BI, IK^ etc., ce qui lui donne les rectangles 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc. Or on trouve

facilement que le rectangle 1 est r = - — ;que le rectangle 2 est jT ou — ; que les deux suivants 3, 4, sont respectivement rr» 7-5; que les quatre rectangles 5,6, 7, 8,

OUI viennent après, sont ■ > > . «etc.

Donc cette suite de fractions, étant continuée à l'infini, épuisera tous les rectangles inscrits, et sera ainsi égale à Taire de l'espace hyperbolique AGEDB. En calculant de

1. Commercium epistolicum de analysi promota, p. 9 (édit. Biot et Lefort).

2. Ces deux séries: 2, 12, 30, 56, etc., et 6, 30, 42, 72, etc., se confondent en une seule, qui est celle des nombres triangulaires, doublés, suivant la formule a* — a ou a> + a. D*après cette formule, en faisant a successivement égal à 1, 2, 3, 4, etc., on a: 0, 2, 6, 12, 20, 30, etc.

^54 HIST0IR6 DEg; VATHÉMA'AQUES.

la piême façon les rectangle^ continuellement inscrits dans Tespace AFEG, pu les triangles inscrits dans le segment AEGr, on trouve les deux dernières suites. Au moyen de chacune de ces suites, on peut calculer en plusieurs décimales la valeur de Taire "hyperbolique entre les asymptotes. Brouncker a ainsi donn^, con^me ejcemples, 1^9 logarithmes hyperboliques de 2 et de 10.

William Neil (né en 1630, mort en 1677), membre de la Société Royale de Londres, se livra, comme Brouncker, à une étude approfondie de V Arithmétique des infinis. Wallis avait remarqué que « si l'on ajoute le carré de chaque différence des ordonnées consécutives d'une courbe à celui de Tintervalle commun entre ceg ordonnées, et qu'on en prenne la racine, il en naît une expression analogue à celle de l'ordonnée d'une autre courbe, dont Taire a même rapport au rectangle de même base et de même hauteur que la longueur de la première couybe à une* ligne droite dp^iiée. » Ces indices, auxquels s'était borné Wallis, étaient restés stériles jusqu'au moment où William If^il les reprit. Ce géomètre, mort à la fleur de Tâge, trouva que « pour que la seconde courbe, ainsi indiquée, soit absolument carrable, il faut que les différences des ordonnées de la première soient comme les ordonnées d'une parabole ordinaire, et qu'alors la nouvelle courbe qui en résulte est un tronc de parabolo ; » d'où il conclut que la première est absolumeot rectifiable. Cette découverte fut confirmée par les plus habiles géomètres de TAngieterre. Wallis y eut aussi sa part : il reconnut que la courbe en question est une parabole cubique^ savoir celle où le cube de l'ordonnée est toujours proportionnel au carré de T^bscisse. G était là la première rectification exacte d'une courbe. Voy. à ce sujet la lettre de Wallis {Epistola^ primam inventionem et demonstrationem âequalitatis lineae curvx paraboloidis cum recta^ anno 1657 factam^ Gui-

TBMPS MODSaNES. 455

liehno NuU asurms^ daos les PhUosophkal Transactions, aimée 1673)*.

Sir Wren (né en 1632, mort en 1723), professeur de mathématiques à Oxford, président de la Société Royale de Londres (de 1680 à 1682), architecte de Téglise de Saint-Paul de Londres, inspecteur général des édifices royaux, concourut avec Huygens et Wallis à la découverte des lois du choc des corps {Philosophical Transac-tion^ année 1669).

Ce même recueil (même année, p. 961) contient, dans une note très-courte de Wren, la découverte de la double génération, par une droite, de Thyperboloïde aune nappe de révolution. L'auteur indique en même temps Tusage qu'on fourrait faire de ce mode de génération par une droite pour la construction des lentilles hyperboliques*.

Isaao Barrow (né à Londreg eu 1630, mort en 1677) fut le maître de Newton. Son nom se trouve intimement lié à 1 -histoire de l'Analyse moderne. Il montra d'abord combien cette Analyse diffère peu. de celle qui s^ conduit Archimède à la découverte de ses plus beaux théorèmes. Dans sa méthode des tangentes (exposéçi dans ses Uctiones geomelricœ et ojpticx^ Lond., 1684), Barrow a simplifiée, par un artifice heureux, la méthode de Fermat. Cet artifice réside dans la considération du petit triangle Bba (nommé depuis triangle différentiel)^ formé

1 . Presque au même moment, un géomètre hollandais, van Heuraet, trouva une méthode fort ingénieuse pour réduire la rectification d'une courbe à la quadrature d'une figure curviligne, et il en fit Tapplication à la rectification de la parabole comme dépendant de la quadrat^ire de l'hyperbole , après avoir montré que'la parabole cubique, dont l'équation est y^=ax^, est absolument rectifiable, et qu'il en est de même des autres paraboles dont les équations sont t/*=:aap*, yf z=aa^. (Montucla, Histoire des math, y t. II, p. 151 et 175, noteE.)

2. En 1698, Parent {Essais et Recherches de mathématiqius et de physique j t. II, p. 645, et t. III, p. 470) trouva la môme propriété de l'hyperboloïde de révolution, par l'analyse ou par de simples considérations de géométrie.

par la différence de deux ordonnées infiniment proches, par leur distance et le côté infiniment petit de la courbe (fig. 39).

Ce triangle est semblable à celui que forment l'ordonnée, la tangente et la sous-tangente. Barrow cherche donc par réquation de la courbe le rapport qu'ont ensemble les deux côtés da, aB du triangle Bto, lorsque la différence

des ordonnées est infiniment petite ; puis il fait ressortir que ba est à aB comme l'ordonnée à la sous -tangente cherchée. Si la courbe est, par exemple, une parabole dont le paramètre soit

Fie 39

p, l'abscisse et l'ordonnée x et y, et conséquemment Téquation i/* = pa;, Tabscisse accrue de Pp sera x-\-e^ en désignant e l'accroissement Pp, et y deviendra y-^-a^en désignant par a l'accroissement respectif ab de l'ordonnée. Ainsi Téquation pour Tordon-

née p6 deviendra y* 4" 2^2/ + û'=pic+l>«. Si Ton ôte de part et d'autre les quantités y^ et px égales, on aura 2ay -f- û* = pe, et, Pp étant infiniment petit, ainsi que ab , on pourra absolument négliger a'. Ainsi l'équation se réduira à 2ay = pe ; donc a : e, ou &a : aB, comme p : 2i/,

ou comme p : 2 ^px. Or ba est à aB comme l'ordonnée

à la sous-tangente ; d'où il suit que p : 2 ^px : : ^px : à la sous-tangente; ce qui donne cette sous-taugente -égale à 2a?. Cette règle, qui rappelle entièrement celle de Fermât, ne diffère de celle du calcul différentiel que par la notation. Ce que Barrow nomme e, a, se nomme dans le calcul différentiel dx^ dy^ les coordonnées étant x et y *.

Dans ses Lectiones optiez et geometricds (Lond., .1674, in-4), Barrow a très-ingénieusement appliqué la géométrie à un certain nombre de questions optiques, concernant la réflexion et la réfraction des rayons de lumière

sur des surfaces courbes. Bien qu'il eût noté graphiquement les points où se réunissent les rayons infiniment voisins, il ne songea point, pas plus que Huygens, à examiner de près la courbe qui nidt de la succession de ces points ou de Tenveloppe de ces rayons, et il laissa la découverte de cette courbe à Tschimhausen.

Très-versé dans les langues anciennes, I. Barrow a édité et commenté Archimède, Apollonius, Théodose (Archimedis Opera^ ApoUonii Pergasi conicorum libri IV ^ Theodosii Sphœrica^ methodo nova illustrata et succincte demonstrata^ Lond., 1675, in-4), et Euclide {Ewlidis Elementorum libri XY, breviter derrumstrati^ Lond., 1659, in- 12).

Barrow, qui mourut à l'âge de quarante-sept ans, eut une vie aventureuse comme celle de Descartes. Il quitta TAngleterre en 1655, parcourut la France et lltalie, se battit contre un corsaire algérien qui Tattaqua dans un voyage à Smyrne, et vécut quelque temps à Gonstantinopie. Après son retour en Angleterre (en 1650), il devint professeur de grec à Cambridge, et changea bientôt cette chaire contre celle des mathématiques.

G. Géomètres hollandais (Scbooten, Jean de Witt, Hudde, Sluze).

François van Schooten (mort en 1661) succéda en 1646 à son père, maître de Huygens, auteur des TabvXx sinuvdfri^ tangentium et secantium ad radium 10 000000, etc.j.Amsterd., 1627), dans la chaire de mathématiques de l'université de Leyde, et donna en 1649 une édition de la Géométrie de Descartes avec un commentaire étendu. Dans ses Exercitationes mathematicss en cinq livres (Amsterd., 1657), il fit de nombreuses applications de la méthode cartésienne, surtout dans le troisième livre, qui contient la restitution des Lieux plans d'Apollonius. C'est dans le cinquième livre de ces Exercitationes qu'on trouve le premier exemple de la méthode des coordonnées, appliquée aux courbes considérées dans l'espace ;

kiS HISTOIRE DES MATQÉMATIQUES.

cowwp U u'y est questio» que de courbes plaues, Tauteur u'a besoîn de se servir que de deux coorapuuécs. C'était ua premier pas vers la géométrie analytique, qui ne se développa que cinquante ans plus tard, Scbooten partageait l'opinion, alors fort accréditée parmi les mathématiciens, que les géomètres anciens avaient 4 dessein caché la voie qu'ils avaient suivie, afin de rendre Ieur« découvertes plus capables d'exciter, par leur clarté et leur élégance, l'admiration de la postérité.

Schooten nous a conservé de Jean (k Witt un traité des courbe», §ous le titre i'EUmenta curvarurn. L'auteur y simplifie la théorie analytique des lieux géométriques dp Descartes, et donne lui-même une théorie nouvelle et ipgénieu^e, d'après laquelle les sectipns coniques sont décrites par riptersection continuelle d'un des côtés d'un cingle mobile avec une ligne droite, qui se meut parallèlement à elle-mêmç, et il en déduit, avec élégance, toutes le propriétés do ces courbes. '

Jean de Witt, grand pensionnaire de Holjande, fut massacré le 20 août 1672, à quarante ans, par la populace de la Haye, à l'instigation du parti orangiste. On s'étonne que, absorbé comme il devait l'être par la guerre et la politique, il ait pu trouver assez de loisirs pour s'occuper de géométrie.

Jean Huddô (né à Amsterdam en 1633, mort en 1704) était l'ami de van Schooten. Sa méthode des tangentes figure parmi les travaux qui, au dix-septième siècle, ont le mieux préparé l'avènement de l'analyse infinitésimale ; elle se trouve écrite, en peu de mots, dans une lettre à Schooten (du 21 mars 1659). En voipi la description textuelle :

Soit D (fig. 40 et 41) un point dans la courbe, ABC une ligne menée à discrétion, B un point pris au hasard dans cette ligne, DA une ligne faisant un angle quelconque avec la ligne ABC. De plus, soit Bca parallèle à AD, et Da parallèle à AB. Enfin, soit BA =«, et AD =;y. Voici l'opération pour trouver la tangente CD.

TBMPS MOD£;»N£S.

RÈGLE GÉMËBAj^, lUngQZ tous les termes de Téqu^tion qpi exprime }a nature de la courbe, (Je manière qu'ils soient = 0*, et ôtez do cette équation toutes les fractions qui ont x on y dans leur diviseur. Multipliez le terme dans lequel y a le plus de dimensions^ par un noml^re pris à discrétion, ou même par 0; multipliez le terme d^^ns lequel y ^ uue dimi^iision de moin^, par le même nombre dimi-

. Fig. 41.

nue d'une unité ; et continuez de même à l'égard des autres termes de l'équation. De même, multipliez par un nombre pris à volonté ou par 0 le terme oîi a; a le plus de dimensions : le terme où ap a une dimension de moins doit être multiplié par le même nombre moins l'unité, et ainsi des autres. Quand on divise le premier de ces produits par le second, le quotient multiplié par — x est = AG. Au contraire, si on divise le second de ces produits par le premier, le quotient multiplié par — y sera =ac.(fig- 41).

Exemple» Soit l'équation, qui exprime }a nature de la courbe,

(*V^+icV^ + bV— «'v'— |^V^+2«*-«^'=0• l. Multipliez par l.-f 1. 0. 0. 0. — 1. — 2. — 2.