Produit
ou par une autre progression arithmétique.
Sff* 4- xt/ — 2xY — S^ V^ + ^^*-
par conséquent AC =
ay^ 4- flfy^— 4a?* 4- 8a5^
par — X
et
ac
ay^-^-xy^ — 4x* H-fiab^*
par - y.
* « Cette préparation n'était pas nécessaire. Il faut que M. Hudde, dans le temps qu'il a écrit cette lettre, n'ait pas connu l'avantage de sa
460 HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES.
On voit par cette méthode : 1* que de mener une tangente par un point donné dans le cercle n'est qu'un problème simple ; 2* que npnseulement on peut trouver un nombre infini de différentes constructions pour mener une tangente^ mais qu'on peut même suivre un nombre infini de routes différentes, qui donnent un nombre infini de constructions pour ce problème. C'est ce qui paraît quand on considère que les deux produits qu'on emploie dépendent, chacun en particulier, d'une progression arithmétique prise à volonté ; et on voit cette vérité encore plus clairement quand on fait réflexion que la ligne AG, le point B et l'angle A peuvent être pris à discrétion. Sans compter combien toutes ces constructions peuvent encore en donner d'autres par l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racine. — 3' Pour trouver quelqu'une dès constructions les plus simples, il faut employer une progression arithmétique dans laquelle 0 entre, et il faut multiplier par 0 le terme qui a le plus de membres, ou qui est le plus difficile à construire. C'est ce qu'on a observé dans l'exemple précédent, lorsqu'on a mis premièrement 0 sous y', et en second lieu, sous le terme où x iie se trouve point. — V Quand dans l'équation y n'est que dans un terme, et que ce terme n'a qu'un seul membre, on peut présenter AC et ac par une expression dans laquelle y n'entre point ; c'est la même chose à l'égard de X. Pour cet effet, il faut multiplier par 0 dans la progression le terme dans lequel t/ ou a; se trouve '. »
Ce document, reproduit dans le Commercium epistolimm de analysi promota^ p. 272 (édité par Biot et Lefort, Paris, 1856), complète les idées que le célèbre géomètre hollandais avait exposées dans deux lettres à Schooten, en date du 14 juillet 1657 et 27 janvier 1658, publiées dans ce même recueil.
Hudde, seigneur de Waweren, qui remplit successivement les charges d'échevin, de trésorier et de bourgmestre d* Amsterdam, avait, comme Pascal, Fermât et Descartes, le génie des mathématiques : rien ne pouvait Ten détourner *.
méthode à cet égard. On voit par ses papiers qu'il l'a connu depuis. » (Note du Journal littéraire de la Haye.)
1. Extrait d'une lettre de feu M. Hudde à M. Van Schooten, du 21 novembre 1659; traduit du hollandais. {Journal littéraire de la Haye, juillet et août 1713, p. 460-464.)
2. Leibniz faisait le plus grand cas de Hudde, qu'il visita en passant
François iS/uze (né en 1623, mort en 1685), chanoine de Liège, est l'auteur d'une méthode par laquelle une équation solide quelconque étant proposée, on peut la construire d'une infinité de manières différentes par le moyen d'un cercle et d'une section conique quelconque. Descartes paraît avoir été en possession des principes de cette mé* thode, mais il ne la fît pas connaître. Sluze en donna un essai dans son Mosolabum seu dux médise proportioTiales inter extremas datas per circvlum et per injinitas hyperbolaSy vel ellipses^ etc., Liège, 1659, in-4. Mais ce n'est que dans une seconde édition de cet ouvrage, publiée en 1668, qu'il expose comment il est parvenu à ces constructions analytiques.
Sluze s'associa à Huygens pour simplifier la règle de maœimis et minimis ^
Christian Huygens^ en latin Eugeniuê (né à la Haye en 1629, mort en 1695), quitta le droit pour les mathématiques, qu'il étudia dans l'université nouvellement fondée de Breda. Il débuta dans la carrière scientifique par ses Théoremata de quadrcUura hyperboles^ ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis circulo, etc. (Leyde, 1647}, où il relève quelques erreurs de Grégoire de Saint-Vincent, et indique des rapports nouveaux entre le cercle et l'hyperbole. En 1655, il visita pour la première fois la France, se livra, après son retour en Hollande, à la fabrication des lentilles de lunettes, — - une de ses occupations favorites, — et parvint à faire un instrument de dix pieds (hollandais), avec lequel il découvrit le premier satellite de Ju-
à Amsterdam. C'est par lui qu'on sait que le géomètre hollandais avait écrit aussi sur les rentes viagères et sur la probabilité de la vie hu^ maine, mais que, déjà de son temps, ses écrits étaient devenus presque introuvables.
1. Yoy. des Extraits de l'ouvrage et de la correspondance de Sluze dans le Commercium epistoHcum de analysi pronwta, p. 193 et 2S0 (édit. deBiotetLefort).
pîter*. En 1656, il publia sur le calcul des probnbiWs^ dont Pascal et Fermât ont indiqué les premiers traits, un mémoire originairement écrit en hollandais et que Schootcn traduisit en latin {de Ratiocîntis in ludo aleœ), en le réimprimant dans ses Exerciiationes maihematicœ , C'est à la même année que remonte sou invention des horloges à pendule, dont nous avons parlé dans Y Histoire de V astronomie^ p. 444. Le petit traité qui a pour titre Horologiurti oscillatorium (Paris, 1673, In-fol., reproduit, avec- des additioti^, dans le tome I de ses Opéra varia, p. 29-248), a une inlportance particulière pour l'histoire de la géométrie : il peut être considéré comme Tlntroductiott aux Principes do Newton. Après avoir décrit, dans le premier chapitre^ les horloges à pendule, Huygens complète, dans le deuxième chapitre, oii il traite de la descente des graves, la grande découverte de Galilée sur Taccélération des corps par la pesanteur. H étudia ce mouvement, non plus sur des plalis inclinés, mais sur des courbes données. C'est là qu'il découvrit et démontra la propriété de la cycloïde d'être la courbe tautochrone dans le vide. — Dans le troisième cha-^ pitre (De evolutione etdimensionelinearum curvarum), Fauteur expose sa célèbre Théorie des Développées, dont voici la conception. Que l'on s'imagine une courbe entourée d*un jGl très-flexible et délié, mais non extensible ; ce fil, en se déployant raide à Tune des deux extrémités, tracera une courbe, pendant qu'à l'autre extrémité il décrira une autre contbe. La première s'appelle la développée, et la seconde la courbe décrite par évolution ou développement. Ces courbes ont des propriétés particulières appréciées par les géomètres. Dans le cercle, la développée est un point, car tous les rayons concourent au centre. Dans l'ellipse, la développée est une courbe à quatre points, et qui, malgré la complication de son équation, est parfaitement
î. Voy., pour les découvertes astronomiques de Huygens, notre Histoire de Vastronomie, p. 445 et saiv.
rectîflable : elle est égale à quatre fois le demi-paramètre du p^tit âxe. En poursuivant sa théorie, Huygens découvrit que la développée de la cycloïde est elle-même tlne cycloïde, égale à la première, maïs posée en sens contraire ; et, en appliquant le calcul à la développée de la parabole ordinaire, il trouva que cette développée est une des paraboles cubiques, à savoir celle dont l'équation est a^iCc^y* (5pétantrabscisseetyrordonnée).Enfin il montra qu'il y a une infinité de courbes absolument rectifiables.
Dans le quatrième chapitre de son Horologiutn ôscillaîO'* riurrij Huygens résout d'une manière complète lé fameux problème des centres d* oscillation^ proposé par le P. Mersenne, et qui avait pendant trente ans exercé Tesprit des plus habiles géomètres.
Le cinquième et dernier chapitre, où l'auteur donne une seconde constructidn de ses horloges, est suivi d'une théorie générale, eu treize propositions, sur la force centrifuge dans le mouvement circulaire. C'est l'application de cette théorie au mouvement de la Terre autour de son axe et au mouvement de la Luue autout de la Terre, application (découlant des propositions 2, 8 et 5) qui fit découvrir à Newton la loi de la gravitation de la Lune et de la Terre. Si Huygens avait rapproché cette même théorie de celle des Développées^ il aurait été naturellement conduit à la connaissance des forces centrales dans le mouvement curviligne, et aurait, avant Newton, démontré a priori les célèbres lois de Kepler. Mais ce rapprochement échappa alors à l'esprit de Huygens. Aussi com-» prend-on aisément l'admiration de Newton pour Huygens, qu'il appelait summus Éugenius^ en le tenant « pour l'écrivain le plus éloquent qu'il y eût parmi les mathématiciens modernes, et pour le plus excellent imitateur des anciens, admirables, suivant lui, par leur goût et par la forme de leurs démonstrations ^ >»
1 . Pemberton, Élê/ner^s de la philosophie newtonienftey Préface, p. n.
Au traité de YHorologium oscillatorium se rattache le célèbre mémoire sur le choc des corps (de Motu corporum ex percussione), communiqué, en 1669, à la Société Royale de Londres, et reproduit dans ses Opuscula posthuma^ t. II, p. 75-104 (Amsterdam, 1725, in-4). Huygens y débute par quelques propositions générales, telles que : <c Tout corps, une fois mis en mouvement, doit, si aucun obstacle ne s'y oppose, continuer à se mouvoir perpétuellement avec la même vitesse et suivant une ligne droite, » pour arriver à la démonstration, de ce qu'il avance. Descartes avait pensé qu'il y avait toujours la même quantité de mouvement avant et après le jchoc. Mais Huygens montra, par une série d'expériences, « que le centre de gravité commun est immobile, ou se meut, avant et après le choc, avec une vitesse uniforme ; que ce n'est donc point, comme le croyait Descartes, la quantité absolue de mouvement qui reste invariable, mais seulement la quantité de mouvement vers un même côté. » Huygens ne se borna pas au cas de deux corps qui se choquent entre eux ; il fit voir que la même loi se vérifie quelle que soit la manière dont les corps se choquent, et quel que soit leur nombre. Ce sont ces expériences* qui lui firent découvrir la plus belle loi de la mécanique, le principe de la conservation des forces vives ^, appelé aussi loi des forces ascensionnelles ' .
1. Elles étaient faites avec des balles d'ivoire ou de marbre (pour les corps élastiques), et en balles d'argile fraîche (pour les corps, mous ou non élastiques).
2. Le nom de force vive est dû à Leibniz. Il avait proposé pour l'opposer à ce qu'on appelait forée morte, la force vive devant être comme le produit de la masse par le carré de la vitesse, et la force morte, seulement comme le produit de la masse par la vitesse simple. Cette distinction disparut plus tard par rétablissement du grand principe de la transformation du mouvement.
3. Le nom d'ascensionnel venait de ce que, d'après l'égalité des sommes entre les produits des masses par les carrés des vitesses, le centre de gravité d'un système de corps devait avoir la puissance de remonter à la même hauteur d'où il était descendu.
Dans son Traité de la lumière (1690, in-4), qui contient la découverte de la double réfraction*, Huygens appliqua très-ingénieuBement la géométrie à sa théorie des ondes. Il trouva ainsi que « quand des rayons incidents, émanés d un point fixe, ou parallèles entre eux, se réfractent sur une courbe, si Ton conçoit une circonférence de cercle décrite du point lumineux comme centre, ou bien une droite perpendiculaire à la direction des rayons parallèles, et que de chaque point de la courbe dirimante, comme centre, on décrive une circonférence d'un rayon qui soit, dans une certaine proportion, constaDte avec la distance de ce point à la circonférence ou à la droite fixe, toutes ces nouvelles circonférences auront une courbe enveloppe^ à laquelle les rayons réfractés seront tou^ normaux, » C'est de cette courbe, qui représente la forme de Vimde réfractée^ que Huygens concluait la loi du rapport constant des sinus- d*incidence et des sinus de réfraction. La théorie des ondes a été depuis universellement adoptée.
D. Géomètres allemands (Mercator, Tschirnhausen).
. Nicolas Mercator, dont le véritable nom était Kauffmann (en latin mercator, marchand)^, auteur de la Logarithmo^ technia, seu methodus nova et accurata construendi logarith-
