Voy. notre Histoire de la physique, p

2. Il ne faut pas confondre Nicolas Mercator avec le géographe hollandais Gérard Mercator (mort à Duisbourg en 1594), connu par son système de projection, où les parallèles et les méridiens sont représentés paj^des lignes droites se coupant à angle droit. Nicolas Mercator, né â Wismar vers 1620, dans le Holstein, vint à quarante ans en Angleterre, et fut au nombre des membres fondateurs de la Société Royale de Londres. Il passa plus tard en France, où il fut chargé de la construction des fontaines de Versailles. Mais, pour le forcer à se convertir au catholicisme, on lui retint la somme qui lui avait été promise pour ce travail. Il en mourut de chagrin à Paris, en février 1687. -

moSy Lond. , 1666 et 1674, in-4, est surtout connu pour avoir trouvé une série propre à exprimer Taire^hyperboUque entre les asymptotes. Il y parvint, en cherchant à appliquer la règle de l'Arithmétique des infinis de Wallis, à savoir, ce qi^Q si Fordonnée d'une courbe est exprimée par une suite queU eonque des puissances de Tabscisse, commeaj<*4-a;*-j-»^'+**

-j-aJ*, etc., Tairo de cette courbe est x + ^^"^ + r» ®^^* '^

Mais il avait remarqué que si Ton prend l'origine de l'abscisse sur l'asymptote y à une distance du centre égale à BG (fîg. 42), ou à l'unité, de sorte queBDsoit=a?, Tordoû-

j^QQ serft ■ ■ . y mais quç cotte expression ne rentre plus

dans la règle de Wallis, Ce fut alors que Mercator eut

Vidée, aussi simple qu'heureuse, de diviser, en employant la méthode usitée, 1 par 1 -J- a;, et il trouva, au lieu d'un quotient fini , la suite infinie que voici : 1 — x-^-x* — a;*+ a?*— •rrS etc. L'identité de cette expression avec la première est facile à démontrer lorsque X est moindre que l'unité ; car la suite est alors la différence des deux pro- Fig. 42. gressions géométriques décroissantes

1 + a?* + ^* + ^*j ^^^M et a? 4" a?* 4aj^-4"^% ®tc, : ces progressions, sommées par la méthode connue et soustraites Tune de l'autre, donnent

préçisémçnt r— ; — • La suite x — -r + tt + Ti ®*c., sera

donc égale à Taire hyperbolique entre les asyi»ptotes, répondant à l'abscisse çç. Bi Ton suppose, au contraire,

/|»2 /m3 /vtk

X négatif, la suite précédente sçra a? -f- «--f" T "i" T> ^^^'

Cette méthode, qui fournit un moyen commode de calculer les aires hyperboliques tant que x est moindre que

l'unité, a été publié dans la Logarithmotechnia de Mercator*.

Walther de Tschirnhausm (né en 1 631 à Kieslingswalde, en Silésie, mort en 1708) est du nombre de ces mathématicieng philosophes qui se font remarquer tout à la fois par l'originalité de leur vie et de leurs conceptions. Il se rendit particulièrement célèbre par la construction de miroirs ardents d'une puissance jusqu'alors inconnue. La propriété de ces miroirs de réunir les rayons de lumière réfléchis sur une surface métallique concave vers un certain point appelé foyer (à cause de ses effets de combuçition), lui fit inventer un genre particulier de courbe, nommé la caustique. Pour concevoir la génération de ces courbes, il faut se représenter, comme point de départ, une suite de rayons parallèles et à égales distances : chacun de ces rayons réfléchis coupera le suivant; de tous ces points d'intersection et des parties de rayons réfléchis qu'ils interceptent naîtra un polygone. Si l'on supjlose les rayons incidents en nombre infini et infiniment proches, on verra le polygone se changer en une courbe que touchera chacun des rayons réfléchis : c'est ce qu'on appelle la caustique, La caustique formée des rayons réfléchis par un quart de cercle est égale aux '\ du diamètre^. Cette rectification est antérieure au calcul différentiel, pour lequel Tschirnhausen professait quelque dédain. On peut s'en convaincre par la lecture de son principal ouvrage, qui a pour titre : Medicina mentis^ seu Tentamen geminœ logicx in qua disseritur de methodo detegendiincognitas vtrita'es^ Amsterd., 1867, in-4; ouvrage qui a quelque analogie avec la Recherche de la vérité du P. Malebranche.

Dans k Médecine de TespHr, ouvrage fort original faisant suite à la Médecine du corps (Medicina corporis, seu co-

1 . Montucla, Histoire dei mathématiques , t. II, p. 356, et Commetcium epistoUcum, p. 125 (édit. de Biot et Lefort).

2. Les Catistiques sont un second exemple, apiù s les Développées de uygens, de la génération des courbes comme enveloppes d'une droite .

gitationes de œnservanda sanitate^ Amsterd., 1686, in-4)y Tschimhausen émet l'idée que les entités mathématiques sont formées par le mouvement rapporté à quelque chose de fixe^ et il part de là pour proposer un système de génération nouveau et universel des courbes. Il les conçoit décrites par un stylet qui, tendant un fil attaché par ses deux extrémités à deux points fixes, glisse sur un ou plusieurs autres points fixes, ou s'enroule sur une ou plusieurs courbes connues. C'était là une généralisation du mode de description des coniques au moyen de leurs foyers.

Dans ses diverses spéculations géométriques, Tschimhausen s'était proposé comme but de rendre la géométrie facile, persuadé que les vraies méthodes sont à la fois les plus simples et les plus naturelles, et que les méthodes les plus ingénieuses et en même temps très-complexes ne sont pas toujours vraies. Cette opinion est aussi celle des géomètres modernes qui ont le plus médité sur la philosophie des mathématiques.

[invention du calenl différentiel et du calcul

des fluxions.

Leibniz et Newton.

Nous venons de voir les nouvelles idées d'analyse se dégager plus ou moins clairement des travaux de Cavalieri,de Pascal, de Descartes*, de Fermât, de Wallis, de Barrow, etc. Nous allons maintenant aborder le foyer

1. Â côté de la méthode des tangentes, dont nous avons parlé plus haut, il faut placer la méthode des indéterminées. Cette méthode, qui touche de bien près à l'analyse infinitésimale, consiste à supposer une équation avec des coefficients indéterminés dont on fixe ensuite la valeur par la comparaison de ses termes avec ceux d'une autre qui lui doit être égale. Descartes s'en servait pour la réduction des équations du quatrième degré aux deux équations du second degré,

même de ces idées. Mais avant de traiter la question historique, il importe de signaler le point de départ et la nature des nouveaux calculs analytiques.

Les géomètres , en tète desquels se trouve Leibniz , qui ont les premiers employé le calcul différentiel, ont fondé ce calcul sur la considération des quantités infiniment petites de différents ordres, et sur la supposition qu'on peut regarder et traiter comme égales les quantités qui ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment pe* tites. Contents d'arriver par les procédés de ce calcul, d'une manière prompte et sûre, à des résultats exacts, ils ne se sont point occupés d'en démontrer les principes. Ceux qui les ont suivis ont cherché à suppléer à ce défaut, en faisant voir, par des applications particulières, que les différences qu'on suppose infiniment petites doivent être absolument nulles, et que leurs rapports, seules quantités qui entrent réellement dans le calcul, ne sont autre chose que les limites des rapports des différences finies ou indéfinies.

Pour éviter la supposition des infiniment petits,JL^ewton

dont elles sont formées par leur multiplication. Voici Tesprit de sa méthode : On suppose deux équations du second degré, dont les coefficients sont indéterminés, et dont les termes sont composés de manière que leur multiplication donne une expression- semblable et égale dans tous ses termes, excepté le dernier, avec Téquation proposée. Puis on suppose encore ces deux équations égales, d'où il résulte que leur différence est zéro, ce qui donne une équation du troisième degré, dont la racine est la valeur du coefficient cherché. Cette méthode est peu différente de celle de Ferrari et de Viète, avec laquelle Wallis la confondait. Mais elle a la plus grande analogie avec la théorie de Harriot sur la formation des équations; et il faut reconnaître que Touvrage de Harriot parut six ans aVant la Géométrie de Descartes. Aussi Wallis n'a-t-il pas manqué de traiter Descaries de plagiaire. Mais la théorie de Harriot avait été elle-même si bien préparée par les travaux de Cardan et d'Albert Girard, qu'on n'en finirait pas si Ton voulait accuser un homme de génie de plagiat pour avoir développé les idées de ses prédécesseurs. A ce compte, Leibniz et Newton ne seraient eux-mêmes que de grands plagiaires.

a considéré les quantités mathématiques comme engendrées par le mouvement ^ et il a cherché une méthode pouf déterminer directement les vitesses ou plutôt le rapport des vitesses variables avec lesquelles ces quantités sont produites; c'est ce qu'on appelle, d'après, lui, la méthode des fluxions ou le calcul fluxionnel, parce qu*il a nommé ces vitesses fluxions des quantités. Cette méthode ou ce calcul s'accorde, pour le fond et pour les opérations, avec le calcul différentiel; il n'en diffère que par sa notation et 8a métaphysique.

A cet exposé, que nous avons emprunté à Lagrange, nous devons aussi ajouter la critique que ce grand géomètre a faite des nouveaux calculs.

« L'idée du calcul différentiel y quoique juste en ellemême, dit Lagrange, n'est pas assez claire pour servir de principe à une science dont la certitude doit être fondée sur l'évidence, et surtout pour être présentée aux commençants. D'ailleurs il me semble que comnle dans le calcul différentiel, tel qu'on l'emploie, on considère et on calcule en effet les quantités infiniment petites ou supposées infiniment petites elles-mêmes, la véritable métaphysique de ce calcul consiste en ce que l'erreur résultant de cette fausse supposition est redressée ou conlpensée

J)ar celle qui naît des procédés mêmes du calcul, suivant esquels on ne retient dans la différentiatlon que les quantités infiniment petites du même ordre. Par exemple, en regardant une courbe comme un polygone d'un nombre infini de côtés, chacun infiniment petit, et dont le prolongement est la tangente de la courbe, il est clair qu'on fait une supposition erronée ; mais l'erreur se trouve corrigée dans le calcul par l'omission qu'on y fait des quantités infiniment petites. C'est ce qu'on peut faire voir aisément dans des exemples, mais dont il serait peut-être difficile de donner une démonstration.... La métaphysique du calcul fluxionnel paraît au premier abord plus claire, parce que tout le monde a ou croit avoir une idée

TfîMi^S MODERNES. 471

de la vitesse. Mais, d'un côté, introduire le mouyement dans un calcul qui n'a que des quantités algébriques pouif objet, c'est y introduire une idée étrangère, et qui oblige à regarder ces quantités comme des lignes parcourues par un mobile; de l'autre, il faiit avouer qu'on n'a pas même une idée bien nette de ce que c'est que la vitesse cCun point à chaque înstantj lorsque cette vitesse est variable. ^é^ Aussi Newton lui-même, dafts son livre des Principes^ a-t-il préféré comme plus courte la méthode des dernières ràîisons des quantités évanouissantes; et il faut avouer que c'est aux principes de cette méthode que se réduisent, eu dernière analyse, les démonstrations relatives à celle de» fluxions. Mais cette méthode a, comme celle des limites J et qui n'en est proprement que la traduction algébrique» le grand inconvénient de considérer les quantités dans l'état où elles cessent^ pour ainsi dire^ d'être quantités ; car, quoiqu'on conçoive toujours bien le rapport de deux quantités tant qu'elles demeurent finiesj ce rapport n'offre plus à l'esprit une idée claire et précise^ aussitôt que ses deux termes deviennent Fun et l'autre nuls à ]a fois*. »

Après ces considérations préliminaires, nous allons fairo plus ample connaissance avec les deux hommes de génie dont les immortels travaux couronnent le dix-septièolè siècle et inaugurent si dignement le dix-huitième

Lelbiiix«

Guillaume Leibnii ^ né à Leipzig le 3 juillet 1646, fit ses études sous k direction de son père, professeur de morale à l'université de cette ville. Son intelligence précoce le fit inclinet* vers la philosophie. Di&ciple de Tho^ masius, il reçut de ce philosophe le conseil platonicien de

1. Lagrange, Théorie des fonctions analytiques ^ p. 3 et 4 (Paris, Tan V de la République).

s'initier avant tout aux mathématiques. Malheureusement Ruhnius, alors professeur en titre, les enseignait mal : ses leçons étaient si obscures que Leibniz ne les comprenait guère, et que les autres étudiants ne les comprenaient point du tout. Quand l'élève demandait des explications, il recevait pour toute réponse : Cest la règle. Ainsi réduit à raisonner et à méditer sur ce qu'il venait d'entendre, il essaya lui-même, pour lui et ses condisciples, de débrouiller les logogriphes d'un vieux pédant. Ge fut là une bonne initiation. Nous ne le suivrons pas dans ses études variées, où Ton voit l'histoire, la jurisprudence, la politique alterner avec la métaphysique, la théologie, l'archéologie et les mathématiques. Nous nous contenterons de rappeler les principaux actes de sa vie*.

En 1672, Leibniz vint à Paris, chargé d'une mission de son protecteur, le baron Boinebourg, agent du prince de Neubourg, l'un des prétendants au trône de Pologne, depuis l'abdication du roi Jean-Casimir. Paris était alors le rendez-vous des plus célèbres savants de l'époque, presque tous pensionnaires de Louis XIV. C'est là qu'il se lia d'amitié, entre autres, avec Huygens, dont le livre 'rfe Horologio oscillatorio , joint à la lecture des lettres de Pascal sur la cycloïde, surtout de YOpus geometricum de Grégoire de Saint-Vincent, lui ouvrit, comme il le raconte lui-même, un horizon nouveau par l'étude approfondie des mathématiques. C'est à cette époque que remontent ses premières idées du calcul différentiel. Leibniz profita de son séjour à Paris pour présenter à Golbert une nouvelle machine arithmétique , invention qui reçut les suffrages de l'Académie des sciences. Quelques membres de cette Académie," assurés des intentions du ministre de Louis XIV, donnèrent à entendre au savant al-

1. Voy., pour plus de détails, notre article Leibniz, dans la Biographie générale.

lemand qu*il ne tiendrait qu'à lui d'être admis dans leur Corps à titre de pensionnaire, s'il voulait abjurer le protestantisme et embrasser la religion catholique. Leibniz rejeta cette condition sans hésiter. En 1673 il alla visiter l'Angleterre, où il fit connaissance avec Newton, Wallis, Boyle, Gregory, GoUins, Oldenburg, etc. Chez Boyle il rencontra le mathématien Pell^ La conversation roulant sur la propriété des nombres, Leibniz se hasarda à dire qu'il possédait une méthode qui lui faisait sommer les séries à l'aide de leurs différences. Pell lui répondit que cette méthode se trouvait déjà indiquée dans un ouvrage de Mouton, Sur les diamètres apparents du Soleil et de la Lune^, Leibniz, qui ne connaissait pas cet ouvrage, se le procura immédiatement, et s'assura en le parcourant que sa méthode était plus générale que celle de Mouton, et qu'il y était arrivé par une voie différente.

A Londres, Leibniz apprit (1674) la mort de l'électeur de Mayence en même temps que la perte des appointements que lui faisait ce prince. Cette nouvelle le détermina à retourner en Allemagne, en passant par Paris. Avant son départ d'Angleterre il avait été reçu membre de la Société Royale de Londres. Son second séjour à Paris, d'une quinzaine de mois, fut consacré à l'étude de la géométrie et au perfectionnement de sa machine arithmétique. De Paris, Leibniz écrivit au duc de Brunswick- Lunebourg, Jean -Frédéric, pour lui faire part de la

1. Voy. Commer^ium epistolicum de anatysi promota, p. 86 et suiv. (édit. Biot et Lefort).

2. Gabriel Mouton (né à Lyon en 1618, mort le 28 septembre 1694) a consacré tous ses moments de loisir aux études de l'astronomie et des mathématiques. Dans son ouvrage intitulé Observationes diametrorum Solis et Lunse apparentium (Lyon, 1670, in-4), il montra le premier aux astronomes l*usage des interpolations pour remplir, dans les Tables, les lieux moyens entre ceux qu'on a calculés immédiatement, ou pour suppléer dans une suite d'observations à celles qui manquent.

position précaire où il se trouvait. Le duc lui répoudit en lui offrant à «a cour une place de conseiller, avec la faculté de résider à l'étranger autant que cela lui plairait. Cette offre généreuse, que Leibniz accepta avec reconnais -» sance, fut pour lui une bonne fortune. Libre des soucia du prius vivere, soucis qui étouffent souvent le géniô naissant, il eut désormais une existence facile et put se livrer tranquillement à ses goûts pour les lettrés et lêg sciences. En quittant la France, Leibniz repassa en 1678 par l'Angleterre et la Hollande, A Amsterdam il nouft de! relations avec le géomètre Hudde, alors bourgmestre de cette ville ; et après son arrivée à Hanovre, où résidait le duc de Brunswick-Lunebourg, il mit d'abord tous ses soins à organiser la bibliothèque du prince, grand amateur d'expériences de physique et de chimie.

En 1682, Leibniz fonda avec Menckenius et quelques autres savants les Acta Eruditorum de Leipzig, recueil important auquel il fournit un grand nombre d'articles, la plupart anonymes ou signés G. &. L. En 1700 il soumit à rélecteur de Brandebourg le plan et les statuts de TAcadémie des sciences de Berlin, dont il fut nommé, dès Tannée suivante, président perpétuel. Dans les dernières années de sa vie il s'occupa beaucoup de travaux historiques, publia, en 1710, sa Théodicée^ en françaiâ^ S'engagea dans diverses polémiques, et mourut le 14 novembre 1716, à l'âge dé soixante-dîx ans, par suite d'une métastase de la goutte.

Idée fondamentale de teibniz.

Ce que Leibniz appelait la loi de la continuité (loi renouvelée des anciens), n'est au fond que le principe souvent répété et toujours confirmé par l'expérience, à savoir que la nature ne fait jamais de saut^ et que tout se fait par des transitions insensibles, « Cette loi juste, dit-il, qu'on

passe toujours du plus petit au plus grand et à rebours, dans des degrés comme dans les parties, et que jamais un mouvement ne naît immédiatement du repos, ni ne s*y réduit que par un ïnouvement plus petit*, quoique jusqu'ici ceux qui ont donné les lois du mouvement n'aient point observé cette loi, croyant qu'un corps peut recevoir en un moment un mouvement contraire au précédent : tout cela fait bien juger que les perceptions remarquables (distinctes) viennent par degrés de celles qui sont trop petites pour êtrô remarquées. En juger autrement, c'est peu connaître l'immense subtilité des choses, qui enveloppent toujours et partout un infini actuel*. »

Appliquée aux mathématiques, la loi de la continuité conduisit Leit)ni2 à l'invention du calcul différentiel ou infinitésimal. Appliquée à la philosophie, elle lui donnait toute une méthode psycholo^que. « Ge sont, dit-il, lei petites perceptions qui forment ce je ne snîs quoi, ce ; goûts, ces images des sens, claires dans l'assemblage (somme), mais confuses dans les parties^ ces impressions que les corjïs qui nous environnent font sur noue, ot qui enveloppent l'infini, celte liaison que chaque être à atet l'univers. On peut même dire qu'en conséquence de cefe petites perceptions, le présent est plein de l'avenir et chargé du passé, que tout est conspirant («uuTtvot» •««>•»« comme disait Hippocrate), et que, dans la moindre des substances, des yeux aussi perçants que ceux de Dieu pourront lire toute la suite des choses de l'univers : Ouœ sinty quse fuerint^ quse fors futura irahanîur. C'est aussi par les petites perceptions que j'explique cette admirable harmonie préétablie de l'âme et du corps et même de toutes les monadeS) ce qui détruit les tablettes vides de l'âme,

1. C*eât particulièrement datis cette manière de voir (Ju'il faut chercher Torigine du principe ie la raison suffisante^ que Leibni;^ aimait souvent à employer. .

2. Nouveaux Essais sur Ventendement humain^ p. 198 (édit. Efdmann).

une âme sans pensée, une substance sans action. Pour moi, je suis du sentiment des Cartésiens, en ce qu'ils disent que Tâme pense toujours. Je tiens même qu'il se passe quelque chose dans Tâme qui répond à la circulation du sang et à tous les mouvements internes des viscères, dont on ne s^aperçoit pourtant point*. »

Travaux mathématiques de Leibniz.

Le premier travail mathématique de Leibniz a pour titre : de Arte combinataria^ Leipzig, 1668, in-12, où il se trouve des idées neuves sur les combinaisons des

1. Dans ridée de Leibniz, le repos est un mouvement infiniment petit, la coïncidence une distance infiniment petite, l'égalité la dernière des inégalités, etc. C'est ce que le grand philosophe géomètre a exprimé en ces termes : « Lorqu'une différence de deux cas peut étr« diminuée au-dessous de toute grandeur donnée, in datis, ou dans ce qui est posé, il faut qu'elle se puisse trouver aussi diminuée au-des> sous de toute grandeur donnée m quxsitùy ou dans ce qui en résulte ; ou, pour parler plus familièrement, lorsque les cas (ou ce qui est donné) s'approchent continuellement et se perdent enfin l'un dans Tau- - tre, il faut que les suites ou événements (ou ce qui est demandé) le fassent aussi. » {NouveUes de la République des lettres, mai 1687, p. 744.)

Jean BemouUi employa pour la première fois le principe de la continuité dans la célèbre question des lois de la communication du mouvement. — Pour montrer que de l'usage de ce même principe date l'origine de la géométrie, Lacroix (dans la Préface de son Traité du calcul différentiel et intégral) s'appuie sur la V Proposition du XII* livre d'Euclide, qui a pour objet de prouver que les surfaces des cerdes sont entre elles comme les carrés des diamètres. « Euclide fait voir, dit Lacroix, que le rapport indiqué est celui des polygones semblables inscrits dans deux cercles différents ; et il me paraît évident que le géomètre, quel qu'il soit, qui découvrit cette vérité, voyant qu'elle était indépendante du nombre des côtés du polygone, et qu'en même temps ces polygones différaient d'autant moins des cercles qu'ils avaient plus de côtés, a dû nécessairement conclure de là, en vertu de la loi d» continuité, que la propriété des premiers convenait aux seconds. » — Tout cela vient à l'appui de ce que nous avons établi dès le commencement, à. savoir que la continuité est de Vessence même de Vintelligence humaine.

TBMPS MODERNES. 477

nombres. L*auteur y développe ce qu'il n'avé-it d'abord indiqué que sommairement dans une thèse (Disputalio aritbmetica de complexionibus)^ soutenue à l'université de Leipzig, le 7 mars 1 666. Les groupements de nombres dans un ordre déterminé y sont représentés sous forme de tableaux semblables à ceux qu'on voit dans certains livres d'arithmétique, traitant des nombres polygones. A ce travail se rattache Y arithmétique binaire qu'il communiqua à l'Académie des sciences de Paris, dont il était membre. En remplacement de la suite ordinaire des nombres, Leibniz proposait la progression de deux en deux, en n'employant que deux caractères, 0 et 1. Ainsi, 1 étant égal à 1, 10 devait être = 2 ; 11 = 3 ; 100 = 4; 101 = 5; 110 = 6; 111 =7; 1000 == 8; 1001 = 9; 1010 = 10, etc. Mais ce système fut bientôt abandonné par l'auteur lui-même comme trop incommode, à cause de l'énorme quantité de chiffres qu'il aurait fallu employer pour désigner des nombres un peu élevés. La table qui accompagne la résolution du Problème des compkadons {dato numéro et exponente complexiones invenire)^ se rapproche singulièrement du binôme de Newton ; car cette

, ,, ,j ., ^ w*> , n.n — 1 , n.n — l.n — 2 ^ table se réduit a — + r 1- — ,etc. ,

formule bien connue, qui donne les coefficients potentiels dont les sommep sont représentées d'une manière générale par 2**, en faisant n successivement égal à 1,2, 3, 4, etc.

Calcul différentiel (infinitésimal). — On peut arriver à l'idée de l'infini par deux voies différentes, par l'arithmétique et par la géométrie. Ainsi, la moitié successivement ajoutée à la moitié de la moitié, c'est-à-dire au quart, au huitième, au seizième, termes de la progression

géométrique décroissante de -, donne, étant continuée à

ï infini^ une somme qui n'est pas l'unité absolue, mais

478 HISTOIRE PBS MATHÉMATIQUES,

qui en approche tellement qu'on peut l'identifier avec elle sans erreur sensible : 1 = ::^-7 + ô+T^>®^^• Laissons Leibniz raconter lui-même comment ce genre de calcul, la sommation des séries^ le conduisit à la découverte du ealcul différentiel : « J'avais, écrivit-il au marquis de THospital, pris depuis longtemps plaisir à chercher les sommes des séries des nombres, et je m'éta^is servi, pour cela, des différences, d'après un théorème ^%qz connu, que dans une série décroissant à IHnfiniy le premier terme est égal à la somme de toutes ses différences. Gela mavait donné ce que j'appelais le triangle harm^niqm^^ opposé au triangle arithmétique de Pascal. Car Pascal avait montré comment on peut donner les somçies des nombres figurés, qui proviennent en cherchant les sommes et les sommes des sommes des termes de la progression arithmétique naturelle ; et moi je trouvai que les fractions des nombres figures sont les différences et les différences des différences des termes de la progression harmonique naturelle, et qu'ainsi on peut donner les sommes des séries des fractions figurées, comme

Reconnaissant donc cette grande différence, et voyant comment, par le calcul de Descartes, l'ordonnée de la courbe peut être exprimée, je vis que trouver les quadratures ou les sommes des ordonnées n'est autre chose que trouver une ordonnée (de la quadratrice) dont la différence soit roportionnelle à l'ordonnée donnée. Je reconnus aussi ientôt que trouver les tangentes n'est autre chose que di-

l. Leibniz ne s'est pas autrement expliqué sur le triangle harmonique»

férûneieTf et trouver les quadratures n'est autre chose que sommer^ pourvu qu'on suppose les différences incomparablement petites» Je vis aussi que nécessairement les grandeurs différentielles se trouvent hors de la fraction ou hors du vinculumy et qu'ainsi on peut donner les tangentes sans se mettre en peine des irrationnelles et des fractions. Et voilà l'histoire de l'origine de ma méthode, melhodus differmtialis^ , »

Pour bien comprendre les derniers passages de c^tte lettre mémorable, il faut se rappeler qu'une ligne courbe peut être considérée comme composée d'une infinité de lignes droites, chacune infiniment petite, et le point de contact d^une tangente comme une de ces lignes dont l'étendue (infiniment petite) est mesurée par la droite (ordonnée), infiniment proche de l'axe ou du diamètre qui aboutit à la tangente, et par l'intervalle iiïfiniment petit [abscisse) compris entre ces deux droites. Si d désigne une quantité infiniment petite dont une quantité varia» ble X augmente, l'accroissement infiniment petit ou sa différentielle sera cto; û?+ da?sera donc l'expression (notation nouvelle) d'une quantité variable, augmentée d'une quantité infiniment petite. Cela établi, supposons qu'on demande, par exemple, la différentielle (accroissement infiniment petit) de a?*. D'après la notation nouvelle, ôj* deviendra [x + dj)* ou ap* + % xdoo + (te^ L'accroissement ou la différentielle de x^ sera donc 2 xdx -j- dx^- Mais, d'après le raisonnement de Leibniz, do? * est infiniment petit, comparé à % xdXy puisque dx^ est un rectangle de deux dimensions infiniment petites. On peut donc négliger dx*, sans erreur. Par conséquent, l'accroissement ou la différentielle de a? ^ est 2 xdx = 2 (d«*). On démontre de même que la différentielle xy est ydx -f- xdy,

1. Extrait d'une Lettre de Leibniz au marquis de THospital, en date du 27 décembre 1694. Gerhardt, Correspondance de Leibniz y t. II, p. 259.

et non yd'X -|- xdy -{' dx dy; car dx dy est infiniment petit comparativement à ydx et xdy. Tout cela, quoique en apparence contraire à la rigueur géométrique, ne laisse pas d'être vrai.

En résumé, dans la pensée de Leibniz, on peut prendre l'une pour Tautre deux quantités qui ne diffèrent entre elles que d'une quantité infiniment petite. Gela n'est pas, encore une fois, rigoureusement exact, et les anciens, comme nous l'avons montré, ne s'en seraient pas contentés. Mais lorsqu'un géomètre mesure la hauteur d'une montagne, tient-il compte du grain de sable qui en fait partie ? Ou lorsque l'astronome cherche à évaluer la distance d'une étoile, le diamètre de la Terre, qui cependant est quelque chose, ne se réduit-il pas à rien?... Leibniz ne s'arrêtait pas là ; il admettait des infiniment petits d'infiniment petits ou de second ordre ; puis des infiniment petits de troisième ordre, etc., qui sont également négligeables par rapport aux infiniment petits du premier ordre. Ainsi, en prenant dans une courbe trois ordonnées infiniment proches, la différence de chacune avec sa voisine est un infiniment petit de premier ordre, ce qui forme deux différences infiniment petites et successives ; or ces deux infiniment petits différent entre eux d'une quantité infiniment petite à leur égard : voilà donc, suivant Leibniz, un infiniment petit de second ordre, etc. De là le nom à! infinitésimal qu'on a donné aussi au calcul diffé-rentiel^ qui rend autant de service au mathématicien que le microscope au naturaliste. Est-ce à dire que ce calcul soit sorti, armé de toutes pièces, de la tête d'un seul homme? Non, certes; ni Leibniz ni Newton ne pouvaient avoir une telle prétention.

L'idée fondamentale de Leibniz est, en quelque sorte, inhérente à l'esprit humain * , et de plus elle était, comme nous venons de voir, familière à plus d'un géomètre du