Voy. plus haut, p. 28 et suiv

commencement et du milieu du dix-septième siècle. Lagrange n'a pas hésité, à regarder Fermât comme « le premier inventeur » du nouveau calcul. « Dans sa méthode de maximis et minimis^ dit-il, Fermât égale Texpression de la quantité, dont on recherche le maosimum et le minimum^ à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions s'il yen a, et, après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée par laquelle ils se trouvent multipliés; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question.... Ainsi dans le problème de Fermât, qui propose de diviser une ligne donnée en deux parties, de manière que le rectangle de ces deux parties soit un maximum.,,. H est facile de voir que la règle, déduite du calcul différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre un maximum ou un minimum^ prise en faisant varier l'inconnue de cette expression,

donne le même résultat (a? = r, c'est-à-dire que la ligne

doit être partagée parle milieu), parce que le fond est le même, et que les termes qu'on néglige comms infiniment petits dans le calcul différentiel^ sont ceux quon doit supprimet comme nuls dans la méthode de Fermât. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l'équation entre l'abscisse et l'ordonnée, que Fermât appelle la propriété spécifique de la courbe^ il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle d'un cas de maximum et de minimum. ... On voit encore ici l'analogie de la méthode Fermât avec celle du calcul différentiel, car la quantité indéterminée, e, dont on augmente l'abscisse a?, répond à la différentielle rfa?, et

IIIST. DES MATH. 31

la quantité —, qui estraugmentation correspondante de ?/, »

répond à la différentielle dy^,y>

Ce qui montre que Leibniz avait été guidé par la méthode de Fermât dans Tinvention du calcul différentiel, c'est le choix même du titre de la très-courte notice où il expose s.e8 principes : Nova methodus pro maximis et MiNiMis, itemque tangentibus^ qu^ nec fractas, nec irratùmales quantitates moratur^ et singulare pro illis genus; notice publiée dans les Acta Eruditorum Lips,y octobre 1 684.

Leibniz transporta aussi dans la mécanique la conception des quantités infinitésimales. Ainsi dans sa lettre à Bayle il dit : « Le repos peut être considéré comme une vitesse infinimeijit petite ou comme une tardité infinie, tellement que la règle du repos doit être regardée comiine un cas particulier de la règle du mouvement;... de même l'égalité peut être considérée comme une inégalité inliniment petite, et on peut faire approcher l'inégalité de l'égalité autant que l'on veut. » (Bayle, Nouvelles de la Bépvblique des lettres^ Amsterdam, juillet, 1687.) '

Activité de Leibniz. — Jeux de hasard. — Correspondance.

Peu d'hommes ont été aussi richement dotés par la nature que Leibniz : son activité tenait du prodige. Les pensions dont il jouissait lui rendaieijit sans doute la vie facile, et il n'avait,pas besoin, comme tant d'autres, de travailler pour vivre; mais combien y en a-t-il qui, placés

1. Ainsi dans la parabole, dont l'équation est y^ — a» = 0, en mettant y + — à la place de y, et a; + e à la place de x, l'équa-

tion devient y^ H — h ^^ ax -^ ae =z 0. Mais y2 ^^ q .

et

donc, efiaçant ces termes et divisant les autres par e, un aura : , "^ ri a — 0;et effaçant encore le terme ^j qui s'évanouit

dans les mêmes conditions, en feraient autant? Ajoutons que tout l'intéressait, et à tout ce qu'il touchait il laissa l'empreinte de son génie. Persuadé qu'il y a peu de livres où Ton ne trouve quelque chose à apprendre, son insatiable esprit de curiosité ne lui laissait rien échapper ; jamais publiciste ne s'est aussi bien tenu au courant des productions de ses contemporains. « J'y cherche, écrivait-il àsoixanteneuf ans, non pas ce que j'y pourrais reprendre, mais ce qui y mérite d'être approuvé et dont je pourrais profiter. » Puis il ajoute, comme un Avis aux critiques : « Cette méthode n'est point le plus à la mode ; mais elle est la plus écpiitable et la plus utile. » Quand un auteur lui envoyait son ouvrage, le grand homme avait toujours soin d'accompagner sa réponse d'une infinité de réflexions précieuses. Ainsi, peu de temps avant sa mort, il écrivait à M. de Montmort*, qui lui avait fait hommage de son Essai sur les jeux de hasard: « Les hommes ne sont jamais plus ingénieux que dans l'invention des jeux ; l'esprit s'y trouve à son aise.... Un évêque de Tournai, nommé Balderic, qui vivait au onzième siècle, a laissé une chronique de Cambrai, où il parle d'un jeu d'échecs, inventé par Févêque Wicbaldus ; les vertus et les passions y entrent ; mais on a de la peine à le déchiffrer. On trouve aussi certaines rhythmomachies dans les vieux manuscrits.... Vous avez extrêmement bien traité les sommes des séries des nombres. On

pourrait venir à bout des -j, -^, etc., parce qu'on peut

les faire dépendre des quadratures, et les quadratures peuen faisant e nul, oa aura simplement : — ~ — a s= 0; d'où Ton tire

t H — ^ = 2 a;. (Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, p. 321

et suiv.; Paris, 1806, in-8.)

1. Rémoiid de Montmort (né à Paris en 1678/ mort en 1719) s'occupa particulièrement de la doctrine des probabilités, et il fit paraître le résultat de ses études sous le titre d'Essai d'analyse sur les jeux de hasa/rd (Paris, 1708).

vent se donner assez près de la vérité; mais sur-, série la

se

plus simple de toutes, je ne me satisfais pas encore.... Après les jeux qui dépendent uniquement des nombres, viennent les jeux où entre la situation, comme dans le tric-trac, dans les dames, et surtout dans les échecs. Le jeu nommé le solitaire m'a plu assez.... Mais à quoi bon cela? dira-t-on. Je réponds : A perfectionner l'art d'inventer; car il faudrait avoir des méthodes pour venir à bout de tout ce qui se peut trouver par raison. Après les jeux où n'entrent que le nombre et la situation, viendraient les jeux où entre le mouvement, comme dans le jeu de billard, dans le jeu de paume, etc. Enfin, il serait à souhaiter qu'on eût un cours entier des jeux, traités mathématiquement.... Je crois, monsieur, que vous aurez été en Angleterre au beau spectacle de T éclipse ; mais je m'imagine que vous aurez encore profité du voyage en bien d'autres manières. Les Anglais sont profonds; mais ils sont un peu gâtés depuis quelque temps en s'appliquant trop aux controverses politiques et théologiques*.... »

Quelle éblouissante union du génie avec le savoir, de l'érudition avec le bon sens! Toute la correspondance de Leibniz, aussi vaste que variée, est dans le même genre. Il écrivait également bien en latin, en allemand et en français. Mais c'est la dernière langue qu'il préférait; l'allemand paraissait avoir pour lui le moins d'attrait.

Leibniz n'eut jamais aucune vanité d'auteur; il avait l'esprit trop large pour cela. Au reste, il a déclaré luimême que « écrire pour écrire n'est qu'une mauvaise coutume, et écrire seulement pour faire parler de soi est une vanité qui fait même du tort aux autres en leur faisant perdre leur temps. » Leibniz n'écrivait donc que pour être utile à ses semblables, c'est ce qui explique les in-