Voyez notre Histoire de V astronomie, p. 413 et suiv

pace qtm décrit un objet quelconque en meuvemmt^. » -- S'expliquant ensuite sur Temploi du mot temps, Newton ajoute qu'il entend fmf là une quantité par Tinct^ment [incremento] ou fluxion (fluxu) de laquelle le temps est exprimé et mesuré. «J'appellerai, dit-il, fluentes^ ces quantités que je considère comme croissant (creseenks) graduellement et indéfiniment; et je les représenterai par les dernières lettres de l'alphabet w, a?, y et z, afin de les distinguer des autres quantités, qui dans les éqfuations sont considérées comme connues et déterminées , et que Ton représente par les premières lettres de Talphabet, a, &, c, etc. Quant aux vitesses que chacune des fiuefites reçoit du mouvement générateur (vitesse que j'appelle fluxion)^ je les exprimerai par les dernières lettres de Talphalîet, surmontées d un point : w, â?, jr et z. Ainsi, pour la vitesse ou fluxion de la quantité u, je mettrai w, pour les vitesses de a?, t/, z, je mettrai x^ y, z. » Les valeurs définitives, déduites de la génération graduelle des quantités, étaient donc pour Newton, non pas des agrégations de particules homogènes, mais des résultats de mouvements continus. D'après cette même conception, qui du reste n'était pas nouvelle, les lignes sont décrites par le mouvement des points , les surfaces par le transport des lignes, les solides par le transport des surfaces, et les angles par le mouvement de leurs côtés. Mais il s'agissait de réaliser cette théorie par le calcul. En cela, il fut merveilleusement secondé par le développement, qu'il avait trouvé, des suites infinies et par ce qu'on a depuis appelé le binôme de Newton. L'auteur nous a fait lui-même connaître comment il y était parvenu.

Binôme. — En lisant, àvingt et un ans, le livre de Wallis de Arithmetica infinitorum. Newton avait noté les passages

1. Hinc fit ut considerem quantitates tanquam genitas continuo incrementOj ut spatium, quod corpus aut quœlibet res mota descrihit. ^V,wton, etc. (Ôpuscula mathemaiicaj t. I, p. 54,- édit. Castillon).

492 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUJES.

qui lui semblaient devoir être plus particulièrement approfondis. Ainsi Wallis avait donné la quadrature des courbes ayant leurs ordonnées exprimées par une puissance quelconque, entière et positive, de la fonction 1 — a? 2 ; et il avait vu que si entre les aires des courbes calculées de cette façon on parvenait à insérer des termes intermédiaires qui formassent une progression géométrique, le premier de ces termes deviendrait l'expression approchée de la surface du cercle, en fonction du carré de son rayon. Pour cette interpolation il chercha empiriquement la loi des nombres formant les coefficients des séries déjà obtenues; et lorsqu'il l'eut trouvée, il la généralisa par une formule algébrique. Il put alors s'assurer que cette interpolation lui donnait l'expression en série des quantités radicales, composées de plusieurs termes. C'est ce qu'il vérifia, sous la forme du problème que voici : <c Étant donnée une équation exprimant la relation de deux ou plusieurs lignes, rc, i/, z, etc., décrites dans le même temps par deux ou plusieurs mobiles A,B,G, etc., trouver la relation de leurs vitesses, p, g, r, etc. Solu^ tion : Mettez tous les termes d'un seul côté de l'équation, en sorte qu'ils soient = 0 ; multipliez chaque terme par

autant de fois - que a? a de dimensions dans ce terme ;

puis multipliez chaque terme par autant de fois - que y a de dimensions dans ce terme ; enfin, multipliez chaque terme par autant de fois - que z a de dimensions dans

ce terme, etc.; et la somme de ces produits sera = 0, équation qui donne la relation de p, q, r, etc. *. »

Les mêmes séries qu'il avait découvertes par une voie indirecte, il les obtint en appliquant directement aux quan-

1. Becueil de diverses pièces j etc., par Leibnijij Clarke, Newton, t. I, p. 97 (Amsterdam, 1740, in-12).

tités proposées les procédés ordinaires pour Textraction des racines des nombres. C'est ainsi qu'il trouva cette formule si célèbre, connue sous le nom de binôme de Newton^ et d'un usage si fréquent dans l'analyse : (a + ^) "* = û***

6* + etc.*.

Reprenant ensuite son mode de génération des quantités, considérant que les fluerUes sont, en temps égaux, plus ou moins grandes, selon que leurs vitesses de développement, ou fluxions j sont plus ou moins rapides. Newton cherche à déterminer leurs valeurs définitives, d'après l'expression de ces vitesses. Et comme dans la génération d'une courbe, d'une surface ou d'un solide par le mouvement^ les éléments générateurs (ordonnées , abscisses, longueurs des arcs, volumes, inclinaisons des tangentes et des plans tangents) varient inégalement , mais solidairement^ et que cette solidarité ou liaison est exprimée par l'équation analytique de la courbe, de la surface ou du solide , Newton pouvait déduire de cette équation les fluxions de tous ces éléments en fonction d'une quelconque des variables, et de la fluxion de cette variable, supposée arbitraire. Ensuite, par le développement en séries, il transformait l'expression générale, ainsi obtenue, en une suite finie ou infinie de termes monômes ^, où la règle de Wallis, indicpée plus haut, trouvait son application.

1. Nous ayons déjà vu plus haut comment des auteurs antérieurs à Newton avaient trouvé ce qu'on nomme improprement le }nnome de Newton. Chacun peut y arriver naturellement en cherchant à représenter la puissance d'un degré supérieur par la somme des puissances inférieures.

2. Depuis Newton, on appelle monôme toute quantité qui n'est composée que d'une seule partie ou d'un seul terme comme ab, a^b, a^b^, etc. On l'appelle ainsi pour la distinguer du btnome (quantité composée de deux parties ou de deux termes^ liés par les signes + ou — )ou du polynôme f quantité composée de plus de deux termes, réunis par les signes -h ou — . . •

494 HISTOIRE DKS MATHÉMATIQUES.

L'idée d'appliquer à l'algèbre la théorie des tractions décimales avait suggéré à Newton, comme à Mercator, le développement en séries. Cette relation est si intime «qu'il suffit, remarqua Newton, de savoir l'arithmétique et l'algèhre, et d'observer la correspondance qui existe entre les fractions décimales et les termes algébriques continués à l'infini, pour faire les opérations de l'addition, soustraction, multiplication, division et extraction de racines. Car, comme les fracti(ms décimales, les suites infinies ont, quelque compliqués qu en soient les termes, l'avantage de pouvoir être traitées eomme des quantités simples, ou être réduites à une série infinie de fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des termes simples ^ »

Toute cette méthode d'analyse, Newton l'avait gardée pour lui jusqu'au moment où parut (ea 1668) la LogarUkmoteeknia de Mercator, qui contient le premier exemple de la quadrature d'une courbe (hyperbole), obtenue parle développement de son ordonnée en série infinie. En y reconnaissant le secret de la méthode qu'il s'était créée^ Newton se hâta de communiquer à Barrow, son maître et ami, le manuscrit du tiaité de Analysi per xquaixones TmmerQ terminorum infkiUas^ dont GoUins* obtint la permission de prendre \u?ie copie, d'est par la date de cette copie, publiée en 1701, après la mort de GoUins, que l'on a cru devoir fix^r la découverte du développement des fonctions en séries et du calcul des fluxions. Quant à Newton, il ne publia lui-même sa méthode qu'à la fin de la première édition de V Optique (1704) dans deux dissertations, dont l'une est intitulée : de Qxmdratura curvarum^ et l'autre : ErmwfircUio linearum tertii ordinis; et ce ne fut qu'en 1711 (année où parut aussi le petit traité : Methodm differenUidis) qu'il laissa publier, par d'autres,

1. MHhodus ftuxionum et serierum tn/initorum, dans le tome I des Offwoukt de Newton, p. 32 (édit. GastiHon).

2. John CoUins (né en 1624, mort en l-esa) servit é'aj^ord dans la marine, et se liyra plu^ tard à des travaux de mathématiques. Sa cor-

soa de Awièysi per s^uaiionfis mm^er» Urminorum infinUas, qu'il avuit eu, en 1672, rintention de ioiadre à une nouvelle édition d'un traité d'algèbtre de Kinskhuysen.

L'habitude qu'avait Newton, et qu'il partageait avec beaucoup d'autres savants , de garder longtemps le seeret de ses découvertes , fit Qaît;re un de ^çes déb^iit^ attristants, où la vérité court toujours grai&d risque d'&tre obscurcie par la passion.

Débats entre Leibniz' et Newton sur la priorité de l'invention

des nouveaux calculs.

Nous avons vu plus haut que l'analyse infinitésijgsKde existait, pour parler ainsi, depuis longtemps dans l'air ^. Mais les indices, dont le commun des mortels est incapable de saisir la valeur, n'échappent point au coup d'œil caractéristique des hommes de génie. Leibniz et Newton pouvaient donc, l'un et l'autre, être arrivés, par d^eu? voies diflérentes, au même foyer de vérité. Voilà l'idée dont il faut se pénétrer pour juger de haut la mémorable dispute qui, vers la fin du dix-septième siècle, s'était élevée entre ces deux grands hommes, dont chacun pouvait, en fin de compte, s'appliquer ce mot de Térence : Hm^f ^ym.

Leibniz avait eutendu parler des résultats inespérés, obtenus par Newton au moyen des suites infinies,, È manifesta donc à Oldenburg, secrétaire de la Société Royale de Londres, avec lequel il était, dès 1670, eiçi correspondance, le désir de les connaître. Sur l'invitation du secrétaire de la savante compagnie, Newton fit, le 23 juin 1676, transmettre à Leibniz une lettre où il danne les exprès-

' respondance étendue avec les principaux savants 4e son tecapâ le fît surnommer le Mersenne anglais,

1. Les documents qui^ daps la première moitié du dix-septièsçie siècle, ont préparé Tanalyse infinitésimale, ont été réuAis, comme pièces justificatives, par MM. fiiot et Lefort à la fin de leu^ édition du Qûrnmercium epistoUcum, p. 255-281 (Paris, 18^6) #

sions en séries des puissances binomiales, le développement du sinus par Tare, et celui des fonctions elliptiques, hyperboliques et circulaires , sans aucune démonstration ni indication de méthode. Leibniz y répondit le 27 août de la même année. Après avoir émis des doutes èur la généralité de cette méthode, il ajoute « qu'il en possède une autre, qui consiste à décomposer la courbe donnée en ses éléments superficiels , et à transformer ces éléments, infiniment petits, en d'autres équivalents, mais appartenant à une courbe où l'ordonnée était exprimée rationnellement en fonction de Tabscisse. » — Dans une autre lettre, datée du 24 octobre 1676, Newton s*empresse de déclarer qu'il possède une méthode tout aussi générale ; « mais je ne puis pas, ajoute-t-il, pousser plus loin l'explication de cette méthode; j'en ai caché le fondement dans cette anagramme : 6accddel3eff7l3l9nkoqrrks9tl2vx^. »

Leibniz y répondit, le 21 juin 1677, en n'employant ni anagramme ni détours ; il lui exposa franchement la méthode du calcul infinitésimal, à peu près telle qu'il la publia, en 1684, dans les Acta Eruditorum, « Ce n'est pas, dit-il, par les fluxions des lignes, mais par les différences des nombres que j'y suis parvenu, et en considérant que ces différences , appliquées aux grandeurs qui croissent continuellement, s'évanouissent en comparaison des grandeurs différentes, au lieu qu'elles subsistent* dans les nombres*. »

Newton non- seulement ne souleva alors aucune contestation, mais, trois ans plus tard, en 1687, il reconnut,

1 . Le sens de cette anagramme^ qui ne révélait du reste rien^ était : Data œquatione quotcunque flumtes quantitates involvente, fluxiones invenire et vice versa,

2. Recueil de pièces, etc., 1. 1, p. 64. — Dans un manuscrit de Leibniz, signalé par M. Gerhardt, qui a pour titre : Methodus nova investigandi tangentes linearum curvarum ex datis applicatis, on voit que l'auteur du calcul différentiel fit, dès le mois d'août 1673 (date de ce manuscrit, signalé par M. Gerhardt), usage d'une méthode générale pour la détermination des tangentes, applicable à toutes les

dans la première édition de son immortel ouvrage (Philosophiœ naturalis principia mathematica)y les droits de Leibniz en ces termes : « Dans un commerce de lettres que j'ai eu, dit-il, il y a environ dix ans (par l'entremise d'OldenLurg), avec le très-habile géomètre Leibniz, je lui fis savoir que je possédais une méthode pour déterminer les maxima et les minima^ pour mener des tangentes et effectuer d'autres choses semblables , en termes irrationnels aussi bien qu'en termes rationnels, et cette méthode je la lui cachais sous des lettres transposées qui renfermaient ce sens ; une équation donnée, qui contient des quantités flueni^s^ trouver les fluxions, et réciproquement. Cet homme célèbre^me répondit qu'il était tombé sur une méthode du même genre, et me la communiqua : elle ne différait de la mienne que dans le mode d'expression , de

courbes. A cet effet, il considère la courbe comme un polygone d'une infinité de côtés, et il y construit ce qu'il appelle le triangle caractéristiquey entre un arc infini ment petit de la courbe et la différence des ordonnées et des abscisses, — Dans un autre manuscrit, Leibniz désigne les lignes infiniment petites du triangle caractéristique par des expressions, telles que omn, (pour omne) x et omn. y.; puis, au lieu de

omn, (somme) il propose le signe d'intégration, / , depuis lors gé-

néralement adopté j enfin, la différentielle -j, il la représente par dx : idem est, dit-il, dx et-, id est differentia inter duasxproximas,

— Dans un manuscrit du 21 nov. 1675, Leibniz donna l'expression d (xy) comme applicable à toutes les courbes. Après avoir éliminé la différentielle dx, la quantité dy qui reste donne la solution du problème proposé. Ecce, s'écrie-t-il, elegantissimum spécimen quo problemata m^thodi tangentium inversas sotvuntur aiU saltem reducuntur ad quadraturas. C'est sans doute à cette méthode inverse des tangentes que Leibniz faisait allusion lorsqu'il écrivit à Oldenburg: « Je suis arrivé à la solution d'un autre problème géométrique, d'une difficulté jusqu'ici désespérante. » (Lettre en date du 28 décembre 1675.) — Enfin, dans un manuscrit du 26 juin 1676, Leibniz mentionne la méthode directe des tangentes, et donne la solution du problème de Florimond de Beaune. (J. Gerhardt, Die Entdeckung der hôheren AnalysiSt Halle, 1855, p. 56 et suiv.).

notation et de la génération des quantités*. » — Cette déclaration, résumant la correspondance dont nous venons de parler, est formelle : Leibniz avait fait connaître sa méthode à Newton ouvertement , loyalement ; tandis que Newton avait caché la sienne sous des caractères transposés dans une lettre d'Oldenburg, dont la Bibliothèque de Hanovre possède Tautographe. « Il aurait fallu, disent avec raison MM. Biot et Lefort, en reproduisant cette lettre dans leur édition du Commercium epistoHcum , il aurait fallu l'habileté fabuleuse d*Œdipe pour découvrir la méthode des fluxions sous une pareille enveloppe. »

Pendant plus de quinze ans Leibniz développa sa méthode, sans qu'il s'élevât d'aucune part le moindre doute sur ses droits de priorité. Ce ne fut qu'en 1699 que Fatio de Duillier* désigna, dans un mémoire, Newton comme le premier inventeur du, calcul infinitésimal. « Quant à co qu'a pu, ajoutait-il, emprunter de lui M. Leibniz, le second inventeur, je m*en rapporte au jugement des personnes qui ont vu les lettres de M. Newton. » Leibniz répliqua en citant ces lettres ainsi que le témoignage que lui avait rendu l'auteur même du livre des Principes, C'était la meilleure réponse à faire. Tout rentra dès lors dans le silence jusqu'en 1 704.

En cette année parut la dissertation de Newton Sur les quadratures^ jointe au Traité d'optique. Les réda.cteurs des Acta Eruditorum de Leipzig, en rendant compte de cet ou-

1. Philosophiœ naturalis Principiay livre II, 7" proposition; scolie du 2* lemme.

2. Fûtio de Dnillier (Nicolas), natif de Bâle, vint fort jeune en An* gleterre, où il mourut en 1753, à l'âge de quatre-vingt-neuf ans. Dans sa jeunesse, il Se livra particulièrement à l'étude des mathématiques, et publia ses recherches dans différents recueils, tels que les Acta ErU" ditorumdQ Leipzig, la Bihliothèque universelle de Genève (1687), les Transactions philosophiques, Gentleman^s Magasine. A l'âge de vingtquatre ans il fut reçu membre de la Société Royale de Londres. Il devint le chef d'une école mystique, et s'érigea, en lîOÔ, en défenseur des prophètes des Cévennes,

vrage , signalèrent Tanalogie qui existe entre le calcul des fluxions et le calcul infinitésimal, publié vingt ans auparavant dans ces mêmes Actes, De là un toile général de la part des écrivains anglais. Keill, Fun des plus violents, déclara, dans les Transactions philosophiques de Londres, que non-seulement Newton était le premier inventeur de la méthode des' fluxions, mais que Leihniz la lui avait volée, en se bornant à changer le nom et la notation. Leibniz fut outré de cette attaque, et assez mal inspiré pour soumettre Faffaire au jugement de la Société Royale, présidée par son rival. Évidemment ce tribunal n'offrait pas toutes les garanties d'impartialité nécessaires. Leibniz ne tarda pas à s'en apercevoir. « On porta, dit-il dans sa Correspondance, la Société Royale de Londres à charger certaines personnes d'examiner de vieux papiers sans m'en donner aucune part et sans savoir si je ne récuserois point quelques commissaires comme partiaux. Et sous prétexte du rapport de cette commission*, on publia un livre contre moi, sous le titre de Commerce épistolaire, où l'on inséra de vieux papiers et d'anciennes lettres, mais en partie tronquées, et on supprima celles quipouvoient déposer contre Newton. Et ce qui est pis, on y ajouta des remarques pleines de faussetés malignes , pour donner un mauvais sens a ce qui n'en avoit point. »

Ce factumy intituFé : Commercium epistolicum de vatia Re mathem^tica inter celeberrimos prœsentis sa^culi mathematicoSy IsaacumNewtonium^ Is. Barrow, Jacob. Gregorium,

1. On remarque avec surprise l'absence de toute signature à la suite ddce rapport. Les commissaires, nommés le 16 mars 1712, étaient Arbuthnot, HiU, Halleyy Jones, Machin et Burnet, tous Anglais. On joignit à cette commission, le 20 mars, Roherts, Anglais ; le 2T, Bonety ministre de Prusse; le 17 avril, de Moivre, réfugié français; Astaii et Brook Taylor, Anglais. Le rapport a été écrit de la main de Halley. Ainsi, sur les onze commissaires, il n'y avait que deux étrangers, Bonet et Moivre ; ce dernier seul était géomètre. La plupart des commissaires n'avaient d'autres titres scientifiques que d'être les amis de Newton,

Leibnizium, etc., parut d'abord à Londres. Newton était complètement aveuglé par son animosité. Non content de faire passer Leibniz pour un plagiaire , il en vint à soutenir que le calcul différentiel était identique avec la méthode des tangentes de Barrow, assertion absurde dans le sens même de Newton , puisque , si le calcul différentiel était identique avec la méthode des fluxions, ce serait non pas Newton, mais son maître Barrow, qui en aurait été le premier inventeur. Il soutenait aussi que, dans le scolie cité du livre des Principes, loin d'avoir voulu affirmer les droits de Leibniz , il avait, au contraire, établi la priorité de la méthode des fluxions. La mort même de Leibniz, arrivée à la fin de 1716, ne put arrêter ce débordement de fiel; car, presque immédiatement après, Newton fit imprimer deux lettres manuscrites de son défunt rival, en les accompagnant d'une critique amère et dont il présentait la publication comme ayant été retardée par un sentiment de commisération. Puis, en 1722, il fit donner une nouvelle édition du Commercium epistoiicum ^ précédée d'une préface très-partiale. Enfin, en 1725, il fit ôter delà troisième édition de ses Principes le fameux scolie qu'il avait d'abord essayé d'interpréter à son avantage.

Après la mort même de Newton, la querelle continua. Elle avait été tellement envenimée de pai:t et d'autre par les disciples de Newton et de Leibniz , qu'il fut , durant plus de cent cinquante ans, presque impossible de saisir la vérité. Ce n'est que de nos jours, après l'exhumation de nombreuses pièces inédites, impartialement confrontées avec les deux éditions du Commercium epistolicum, que la lumière, longtemps obscurcie par les passions de l'amour-propre et de l'orgueil , a pu se faire jour. Il est hors de doute que Newton a inspiré et dirigé la publication du Commercium epistolicum^ si même il n'y a pris une part plus immédiate. Quant aux variantes , la Becensio et l'avis Ad lectorem, introduits dans l'édition de 1722, six ans après la mort de Leibniz, c'est Newton seul qui en est l'au-

teur. Leibniz s^était proposé de publier aussi un Cornmer dura epistolicum; car il écrivait le 25 août 1714 à Ghamberlayne : « Puisqu'il semble qu'on a encore des lettres qui me regardent parmi celles de M. Oldenburg et M. GoUins, qui n'ont pas été publiées, je souhaiterais que la Société Royale voulût donner ordre de me les communiquer. Lorsque je serai de retour à Hanovre (il était alors à Vienne), je pourrai publies aussi un Commercium epistolicum qui pourra servir à l'histoire littéraire. Je serai disposé à ne pas moins publier les lettres qu'on peut alléguer contre moi, que celles qui me favorisent, et j'en laisserai le jugement au public. » La fin d'une vie troublée ne permit pas à Leibniz d'accomplir son projet.

MM. Biot etLefort ont donné, en 1856, une nouvelle édition du Commercium epistolicum^ en y joignant toutes les pièces nécessaires à une appréciation impartiale de la question. Or, voici les conclusions auxquelles sont arrivés ces deux juges, parfaitement compétents : « Pour les commissaires (chargés du choix et de la transcription des pièces insérées dans le Commercium epistolicum), il ne s'agissait pas seulement de faire triompher les droits de Newton comme inventeur de la méthode des fluxions, il fallait encore effacer les titres de Leibniz à l'invention analogue et indépendante du calcul différentiel. On ne peut dire que , pour assurer ce résultat , les transcriptions soient infidèles; mais les citations sont souvent incomplètes , tronquées , faites uniquement pour le besoin de la cause , et les textes sont quelquefois détournés de leur sens propre par les notes anonymes qui ' les accompagnent. D'ailleurs tous les matériaux sont mis en œuvre avec tant d'art, avec tant d'habileté, qu'on devine sans beaucoup de peine le génie supérieur qui conduisait l'action sans vouloir paraître personnellement sur la scène. Si la publication du Commercium epistolicum en 1712 fut une œuvre de parti, que dire de sa réimpression en 1722,

six ans après la mort de Leibniz ? Dans cette prétendue réimpression le nouvel éditeur corrige, ajoute, retranche, interpole, commente; et la passion l'aveugle au point qu'il écrit, sans Ty voir, sa propre condamnation dans rétonnante pièce qui résume le livre auquel elle ^ert de préface. Rien n'établit que les membres survivants de 1712 aient pris part à cette publication déloyale : le9 documents nouvellement mi» au jour ne dénojioent que la main de Newton, et la maiu de Keill co»d^it^ par Newton, C'est assez pour la mémoire des commissaires d'avoir à porter le poids d'ua rapport qu'ils îl'ont pa^ osé signer publiquement..,. Si ces commissaires avaient apprécié à leur juste valeur la puissance de l'abstraction, le secours de l'algorithme, la force des équiitions différentielles, ils auraient vu qu'il ne pouvait y nvoir là ni premier ni second inventeur. Us auraient déclaré que Newton était maître de I9, méthode des fluxions avant que Leibniz fût en possessiou du calcul différentiel; ils auraient reconnu hautement que l'invention de Leibni? était indépendante de celle de Newton et l'fitvfiit précédée comme publication*.»

Adversaires du calcul différentiel.

Leibniz , ce grand philosophe géomètre , avait alarmé bien des mathématiciens par l'introduction définitive de Tinfini dans une science qui de tout temps s enor^ gueillissait de l'exactitude de ses procédés. Il mit le comble à ces alarmés en étabEssant des infiniment petits d'infiniment petits ou de second ordre, puis des infiniment petits de troisième ordre, etc., également négligeables par rapport aux infiniment petits du premier ordre. Aussi vit-il de tous côté» surgir des adversaires.

1. Cofnmeriiium epistoUcum de ati^lysi prQn^o^f p. 285 et buiv. {Conclusion de MM. Biot et Lefort.)

Le Hollandais Nieuwentyt (né en 1654, mort en 1718), plus théologien que géomètre, attaqua le premier le nouveau calcul dans ses Considerationes cirea analysis ad quantitates infinité parvas applicatas prinoipia^ Amsterdam, 1694, in-8. « Ce calcul, disait-il, est faux, parce qu'on y considère comme égales des grandeurs qui n'ont qu'une différence infiniment petite, il est vrai, mais néanmoins réelle. » L'objection ne manquait pas d'être embarrassante : de ce qu'on est maître de rendre une erreur aussi petite que possible , il ne s'ensuit pas qu'on puisse la rendre

absolument nulle; et la formule - n'apprend rien du tout.

Aussi la réponse de Leibniz ne fut-elle pas d'abord satisfaisante: en regardant les quantités infiniment petites comme des incomparables , dans le rapport d'un grain de sable à tout le globe terrestre, il portait atteinte à la certitude de son calcul. Et, en effet, ainsi envisagée, l'analyse infinitésimale ne serait plus qu'une méthode d'approximation. Mais dans son supplément de réponse Leibniz montra que ce qu'il appelle les différences respectives de l'abscisse et de l'ordonnée ne sont en réalité que des rapports entre des quantités finies^ rapports qui peuvent être représentés par les ordonnées d'une courbe ; et comme celles-ci — à moins que cette nouvelle courbe ne dégénère en une ligne parallèle à l'axe — ont leurs diffiéf rences, ces différences seront les secondes des ordonnées de la première courbe, et ainsi des troisièmes et des quatrièmes, etc. Nieuwentyt, non content de cette réponse supplémentaire, répliqua, en 1696, par un nouvel écrit (Considerationes seeundœ, etc.), qui cette fois ne contenait que des absurdités.

L'abbé de Catalan, cartésien zélé, chercha aussi à obscurcir le mérite du calcul infinitésimal. Dans un petit avertissement de sa Logistique universelle (1692), il s'attachait à montrer qu'il valait mieux s'en tenir au dévelop-

pement des principes posés par Descartes, que chercher de nouvelles méthodes. C'était là une manière de voir personnelle, qui pouvait à la rigueur se défendre. Mais on est indigné de voir que }a Logistique de Gatelan, opuscule agressif, n'est au fond que la reproduction du calcul différentiel , maladroitement déguisé sous une notation incommode et embarrassante.

Dettlef Cluvier attaqua également le nouveau calcul, sans s'appuyer sur des arguments sérieux. C'est le même qui traitait Archimède de rêveur et qui prétendait (Acta Erudit. Lips., ann. 1694) réduire le problème de la quadrature du cercle au problème suivant : construere mundum divinx menti analogum, Leibniz essaya de le mettre aux prises avec Nieuwentyt. C'était une petite malice, parfaitement permise à l'illustre philosophe.

En Angleterre , le calcul des fluxions eut pour adversaires, entre autres, le célèbre philosophe Berkeley.

Newton n'a pas fait, à proprement parler, de disciples. Fatio etKeill^ comme Cotes ^ Moivre^ Taylor et même Maclaurin^ ne sauraient balancer les BernouUi et Euler en Allemagne, les d'Alembert, Clairaut, Lagrange en France.

Sous le souffle de Leibniz, on voit naître toute une génération de mathématiciens habiles en Allemagne et en France, comme étaient nés en Italie Torricelli, Viviani, Cavalieri, Ricci, sous l'inspiration de Gralilée, et, en Hollande, Schooten, Huygens, Hudde, Sluze, au contact de Descartes. N'oublions pas de rappeler que Newton luimême, au lieu d'appliquer son calcul des fluxions au développement des vérités géométriques, employait encore les anciennes méthodes dans son ouvrage des Principes mathématiques de la philosophie naturelky et que ses plus grandes découvertes ne se sont propagées sur le continent que grâce aux efforts des géomètres pour les traduire dans la langue de Leibniz. « N'est-ce pas là, s'écrient avec

raison les éditeurs du Commercium epùtolicvm^ un grand titre de gloire pour Tinventeur du calcul différentiel ^ et une preuve irrécusable de la force et de la fécondité toute spéciale de l'invention? 55

Un mot maintenant sur ceux qui ont le plus contribué à perfectionner et à propager le calcul différentiel ou infinitésimal.

Partisans du calcul différentiel.

Jacques Bernoulli (né à Bâle en 1654, mort en 1705) partagea d'abord les préventions de tous les mathématiciens de son temps contre le nouveau calcul. Mais la solution de divers problèmes lui fît changer de manière de voir. Ainsi, dans un article Sur la ligne isochrone (publié dans les Acta Eruditorum^ avril 1 689), Leibniz montra qu'un corps pesant peut, avec un certain degré de vitesse acquise par sa chute de quelque hauteur que ce soit, descendre du même point par une infînité de lignes isochrones qui sont toutes de même espèce et qui ne diffèrent entre elles que par la grandeur de leurs paramètres : ces courbes sont des paraboles , appelées secondes paraboles cubiques. Il montra aussi la manière de trouver une ligne par laquelle un corps pesant , venant à descendre , s'éloignera ou s'approchera uniformément d'un point donné. Leibniz avait donné ces problèmes synthétiquement, sans en donner l'analyse. Celle-ci fut donnée par Jacques Bernoulli^ dans les ActaErud. (ann. 1690) et par Varignon^^ dans les Mém. de VAcad. des sciences de Paris, ann. 1699. L'un et l'autre se servirent à cette occasion du calcul différentiel.

1. Pierre Varignon (né à Caenj en 1654, mort à Paris en 1722), professeur au Collège de France, s'était rendu célèbre par son Projet <Vune nouvelle mécanique (Paris, 1687, in-4), suivi de \si Nouvelle mécanique ou statiqiie (Paris, 1725, 2 vol. in-4). Toute la statique de Varignon est déduite d'un principe unique, que l'auteur emploie pour résoudre un grand nombre de problèmes. Ce principe, déjà entrevu par Stevin, est celui de la composition du mouvement, étendu à l'équilibre.

506 HISTOIRK DES MATHÉMATIQUES.

L'uu des premiers Jacques Bernoulli fit usage de la méthode inverstt du calcul différentiel^ connue depuis sous le nom de calcul intégral. Et il publia, dans les mêmes Acta Erudit. (ann. 1691), un Essai de calcul différentiel et intégral^ où il donne toutes les règles pour déterminer les tangentes, les points d'inflexion, Tes rayons de la développée, les aires, les rectifications de toutes les courbes à ordonnées , soit parallèles , soit convergentes. A cette occasion il découvrit, rapporte Montucla, une propriété remarquable de la spirale logarithmique : c'est que, nonseulement sa développée, mais encore ce qu'il appelle son antidéveloppée^ sa caustique, soit par réflexion, soit par réfraction, le point rayonnant étant au centre, sont de nouvelles spirales logarithmiques, égales et semblables à la première. Cette espèce de renaissance perpétuelle de la logarithmique lui fit autant de plaisir qu'en avait fait autrefois à Archimède la découverte du rapport de la sphère au cylindre, et, à l'exemple du grand géomètre grec, Bernoulli voulut qu'on gravât sur son tombeau une spirale logarithmique, avec ces mots : Eadem mutata resurgo^ ré^ surrection en quelque sorte figurée par la propriété d'une courbe perpétuellement renaissante.

C'gst â Jacques Bernoulli qu'on doit la théorie du Calcul exponentiel^ branche importante du calcul intégral. I^e calcul exponentiel est fondé sur cette considération que le loga^ rithme de af^ est n log. a?, et que la différentielle d'un logarithme, par exemple du log. de a?, est — , Les courbes

exponentielles participent de la nature des algébriques et des transcendantes : des premières, parce qu'il n'entre dans leur équation que des quantités finies , et des dernières, parce qu'elles ne peuvent pas être représentées par une équation algébrique. Les travaux de Jacques Bernoulli ont paru en deux volumes in-(t, à Genève, en J744.

Son frère , Jean^ dont nous parlerons plus loin, vint à

Paris en 1691, et pendant le séjour qu'il y fit, il se lia d'amitié avec le marquis de THôpital, très-désireux de s'initier au nouveau calcul. Ce fut pour lui qu'il écrivit les Leçons du calcul différentiel et intégral , qu'on lit dans le troisième volume de ses Œuvres.

Le marquis de V Hôpital (né à Paris en 1661 , mort en 1704) renonça au service militaire pour se livrer tout en-* tier à son goût pour les mathématiques. C'est lui qui fît connaître en France les nouveaux calculs par son ouvrage intitulé : Analyse des Infiniment petits^ Paris, 1696, in-4, dont la dernière édition (que nous avons sous les yeux) est de 1768, in-8. Varignon y ajouta des notes et detJ éclaircissements (Paris, 1725, in-4). Quant au commentaire de Crouzas , il fut vivement critiqué par Bernoulli,

Montucla raconte que le calcul infinitésimal faisait alors assez de bruit parmi les Parisiens pour donner lieu 9- un vaudeville et à un air intitulés : les Infiniment petits^ où l'on plaisantait sur la frêle santé du marquis de l'Hôpital, en même temps qu'on représentait la marquise comme peu favorable à la nouvelle méthode. On a vu comment, dans l'antiquité, le géomètre Méton fut traduit sur la scène par Aristophane,

L'invasion de l'analyse infinitésimale n'empêcha pas un certain nombre de géomètres de rester fidèles aux anciennes méthodes et d'arriver de leur côté à des découvertes remarquables. IJ suffit de nommer Lahire, Huygens et' Tschirnhausen.