I. — ANALYSE

Au premier rang des mathématiciens qui, par la création de méthodes nouvelles ou par le perfectionnement des anciens moyens d'analyse, ont le plus contribué à agrandir le domaine de la science, nous citerons, suivant l'ordre chronologique, les Bernoulli, RoUe, Parent, Riccati. Cotes, Maclaurin, Euler, Lambert, d'Alembert, Nicole, Cramer, Clairaut, Bezout, Condorcet, Lagrange, etc.

Les Bernoniii. — Calcul des probabilités. — La chaînelte. La brachistochrone. — Les isopérimètres.

Bernoulli est un nom commun à une célèbre famille de savants, d'origine suisse, dont les principaux membres sont les deux frères Jacques et Jean Bernoulli, nés à Baie. Nous avons déjà dit un mot du premier. Nous ne ferons donc ici que compléter Tanalyse de ses travaux, qui parurent après sa mort sous le titre de Jacobi BernouUii Basileensis opéra ^ Genève, 1744,2 vol. in-4. On recherche surtout l'édition qu'il a donnée de la {Géométrie de Descartes, avec des notes très-curieuses, la lettre à son frère (Jean Bernoulli) sur les isopérimètres {Epistolà ad fratrem suum Joh. B. etc., Bâle, 1700, in-8) et son traité des probabilités (Ârs conjectandi, Bâlé, 1713, in-4, reproduit dans Jean Bernoulli, Opérait, IV, p. 28).

Depuis Pascal et Fermât, les géomètres qui se sont occupés du calcul des probabilités ont considéré la certi^ tude comme un tout et les probabilités comme les parties de ce tout. Mais ce qui complique la question, ce sont les conflits qu'on voit naître tous les jours entre les jugements des hommes. De là des disputes qui s'élèvent de toute part; elles finiraient cependant bientôt, si chacun, suivant sa pente, n'était pas tenté de regarder comme certain ce qui n'est que probable, et si tous voulaient, avec une égale impartialité, écouter et peser les raisons pour et contre, sans écouter leurs désirs ou sentiments personnels. ^

On s'était d'abord demandé si une probabilité pouvait, comme une série, s'accroître à l'infini, et devenir, par suite de ses accroissements, une probabilité finie. Mais on a remarqué aussitôt qu'il y a des augmentations qui, quoique poussées à l'infini, ne font pourtant qu'une somme finie; par exemple, si la première expérience donnait une probabilité qui ne fût que ^ de la certitude, la seconde une cer-

titude qui ne fût que le tiers de ce tiers ou ^, la troi^ sième une probabilité qui ne fût que le tiers de là seconde ou ^, et ainsi de suite à l'infini, il serait aisé de démontrer, par le calcul, que toutes ces probabilités réunies ne donnent qu'une demi-certitude; de sorte qu'on aurait beau faire une infinité d'expériences, on n'arriverait jamais à une certitude qui se confondît avec la certitude morale, ce qui pourrait faire conclure que l'expérience est inutile et que le passé ne prouve rien pour l'avenir. Voilà ce qu'on avait objecté contre l'accroissement indéfini de la probabilité pour atteindre la certitude.

A cette objection très-grave, Bernoulli répondit par . son traité de Arte conjectandi. Il déclare d'abord que le problème ainsi posé est aussi difficile que celui de la quadrature du cercle ; puis il montre que la probabilité, qui naissait de l'expérience, croît de manière à approcher indéfiniment de la certitude; enfin il détermine par le .calcul combien de fois il faudrait répéter l'expérience pour arriver à un degré assigné de probabilité. A cet effet, il suppose une urne pleine de boules blanches et de boules noires, et il veut s'assurer expérimentalement combien il y a de boules blanches et combien il y en a de noires. Qu'on suppose, par exemple, comme probable qu'il y a deux noires sur trois blanches. J. ÊernouUi trouve que, pour que cette probabilité l'emporte mille fois sur toute autre supposition, il faut avoir tiré de l'urne 25 550 boules, et que, pour que cela soit deux mille fois plus probable, il faut avoir fait 31258 tirages; qu'il en faut 36960, pour que cela devienne sept mille fois plus probable, etc. Il démontre ainsi que V expérience du passé est un principe de probabilité pour V avenir^ et que plus le nombre des faits (physiques), des actes (moraux) ou des événements (politiques) à comparer augmente, plus la probabilité approche de la certitude.

Toujours à la recherche de nouveaux problèmes, Jacques Bernoulli renouvela, peu de temps après qu'il eut

résolu le problème de la courbe isochrone paracentrique * , proposé par Leibniz, le fameux problème connu sous le nom de la chaînette^ qui avait déjà exercé la curiosité de Galilée et d'autres géomètres, sans parvenir à le résoudre. Il s'agissait de trouver la courbure que prendrait une chaîne ou une corde infiniment déliée, si elle était suspendue lâchement à ses extrémités. La solution exigeiait les ressources des nouvelles méthodes d'analyse. Leibniz, Huygens et David Gregory entrèrent en lice : ils envoyèrent leurs solutions. J. BernouUi montra lui-même, dans ses Lectiones calculi integralis (t. III, p. 386 de. ses Œuvres), que la chaînette est une courbe mécanique ou transcendante, que sa construction rentre dans la quadrature de rhyperbole, et que, de toutes les courbes de même longueur et de même base, c'est celle dont le centre de gravité est le plus bas. A cette question se rattachèrent d'autres problèmes, tels que celui de la lintèaire ou de la courbure d'un linge rempli d'un liquide ; celui de la voilière, ou de la courbure d'une voile ou d'une surface infiniment flexible, qui, arrêtée de deux côtés, sera enflée par le vent, etc.

3 e^n BernouUi (né à Baie en 1667, mort en 1748) était de treize ans plus jeune que Jacques". La rivalité qui régnait entre les deux frères tourna au profit de la science : leurs travaux se confondaient en quelque sorte. Parmi les problèmes qu'il proposa, on remarque celui de la brachùtochrone (de Pp«x^*;i court, et xp<>voç, temps) ou de la plus courte de descente. « Deux points, qui ne sont ni dans la même perpendiculaire, ni dans la même hori-

1. Leibniz lui avait donné ce nom, parce qu'il s'agissait de trouver « le long de quelle courbe un corps doit tomber, afin qu'il s'éloigne d'un point donné proportionellement au temps. »

2. Jean BernouUi, ami de Leibniz comme son frère Jacques, s'était occupé non-seulement de mathématiques, mais de physique et de chimie. Il fut pendant quelque temps professeur à l'université de Groningue. Ses travaux ont été publiés sous le titre de Joannis BernoulUi Opéra omnia, en 4 vol. in-4, Lausanne et 6enève, 1742.

zontale, étant donnés, il s'agit de trouver la ligne le long de laquelle un corps roulant de l'un à l'autre y emploierait le moins de temps possible. » Cette ligne n'est pas, comme on pourrait le croire, la droite menée d'un point à un autre ; car le temps qu'un corps emploie à tomber d'un point à l'autre n'est pas en raison simple de la longueur du chemin qu'il parcourt; pour déterminer ce temps, il faut tenir compte de la pesanteur qui est un mouvement uniformément accéléré, de l'inclinaison de la ligne le long de laquelle se me|it le corps, de la vitesse avec laquelle le chemin est parcouru, et surtout des points de la ligne où le corps commence à se mouvoir. Jean Bernoulli accorda, vers la fm de 1696, un délai de six mois aux géomètres qui voudrjaient travailler à résoudre ce problème dont s'était occupé Galilée. Leibniz, Newton et Jacques Bernoulli le résolurent, presque en même temps, par des méthodes particulières qui s'éloignent des moyens d'analyse ordinaires. La cycloïde était la courbe cherchée, à laquelle on avait déjà reconnu la propriété du tautochronisme, c'està-dire la propriété de procurer à un corps des chutes (Tégale durée^ de quelque point que parte ce corps. A la suite de ce problème, Jean Bernoulli en proposa d'autres, du même genre, et encore plus difficiles*.

Le problème des isopèrimètres (figures comprises sous des circonférences égales) amena entre les deux frères rivaux une vive discussion, dont rendirent compte le Journal des Savants de 1698 et les Acta Eruditorum de 1700^. De tous les polygones isopèrimètres^ compris sous la même circonférence (périmètre), le cercle est celui qui a la plus grande surface. De deux triangles isopérimètres, qui ont même base, et dont l'un a deux côtés égaux et l'autre deux côtés inégaux, le plus grand est celui dont les côtés sont égaux. Entre les figures isopérimètres , qui ont un même

1. Montucla^ Histoire des mathématiques ^ t. II, p. 477 et suiv.

2. Bossut, Histoire générale des mathématiques, t. II, p. 33 et suiv.

nombre de côtés, celle-là est la. plus grande, qui est équilatérale et équiangle. De là résulte, entre autres, la solution de ce problème : « faire que les haies qui enceignent une quantité déterminée d'arpents de terre, servent à enceindre un nombre d'arpents de terre plus grand. » Tant qu'il ne 8*agit que de figures isopérimètres rectilignes, la question est aisée ; mais elle devient difficile pour les figures îsopérimètres curvilignes. La solution du problème des isopérimètres, donnée par Jean BernouUi, fut imprimée, en 1706, dans les Mémoires de l* Académie des sciences de Paris. Sonifrère Jacques lui reprochait d'être inexacte;, de là une violente polémique. Après la mt)rt de son frère, Jean convint, dans un nouveau mémoire (imprimé en 1 718), qu'il manquait, en e^et, quelque chose à sa solution. Euler traita plus tard la même question.

Nicolas BèrnouUi^ né à Baie en 1695, fils aîné de Jean, suivait les traces de son père, lorsqu'il mourut à trente-sept ans. Il a publié diverses notices dans les premiers volumes des Acîa Eruditorum de Leipzig, entre autres sur la question qu'il résolut le premier et qui consistait à trouver une courbe dont l'aire fût égale à une certaine fonction donnée des coordonnées.

Daniel BernouUi (né à Groningue en 1700, mort à Bâle en 1782), fils cadet de Jean, réunissait la connaissance des mathématiques à celle de la médecine et de l'histoire naturelle. Il s'occupait principalement des questions de mécanique et d'acoustique.

La correspondance que les frères BernouUi entretenaient avec presque tous les savants de leur époque est d'une lecture aussi intéressante qu'instructive. Aussi leur Commercium epistolicum^ dont on a donné différentes éditions,, est-il très-recherché*.

1. Voy. R. Wolf, Matériaux divers pour VhisUnre des mathémati-' queSy dans le Bullettino dt BihUografiay etc., de M. B. Buoncompagni^ t . II, juillet 1869, p. 318 et suiv.

RpUe. — Méthode ou calcul des cascades. — Pareifiç. Rieeatl. — Intégration des équations différentielles.

Michel Rolle (np h Ambert le ?1 avril I6§2, ït^OTt Je 8 octobre 1749 à Paris) eut, à^jxs sa jeunesse, bien d^es obstacles à vaincre pour suivre son penchant inné pour les sciences exactes ; fortifié par une vie de travail et d'abaégation, il trouva enfin son heure. Ozapam venait, en gui§e de défi, de propospr un problème des plus difficiles*, ^ollie en donna la solution avec une s^-gacité (jui lui valut la faveur de Golbert, de ce grand ministre qui ^.v^-jit p^f};qi|t, suivant Je mot de Pontenelle, « des espions pour (Jépouvrir le mérite caché. » Il fut un des membres les plus hhq^ rieuxde TAcadémie des sciences. Outre de nombreux ir^émoires, on a de lui : un Traité d'algèbre (Paris, 1696, in-4), et Démonstration d'une méthode nouvelle pour résoudre les égalités (équations) de tous les degrés^ etc., 1692, in-lî.

La méthode de Rolle reçut le nom de Méthode des cascades, parce qu'on approche de la valeur de Tinconnue par < des équations successives qui vont toujours en baissant ou en tombant d'un degré. Malheureusement, Rolle, « qui avait le génie de Talgèbre, » ne fut guère compris des mathématiciens, parce qu'il se servait d'un langage et d'upe notation qui lui étaient propres. Sa méthode ton^ba donc bientôt dans Toiibli.' On y revint, mais sous un g,utre nom, dans la doctrine des Dérivés.

Antoine Parent {né à Paris en 1666, mort en Ï715) se livra tout entier à son goût pour les mathématiques ap-

1. Jacques Ozanam (né en 1640 à Bouligneux, principauté de Bombes, mort à Paris en 1717), que Mademoiselle, souveraine de la. principauté de Bombes, appelait Vhqnneur de sa Bombes, s'est rendu célèbre par ses Récréations mathématique» (Paris, 1694, 2 vol. in-8}, sa NouceUe trigonométrie {ihid., 1698, in- 12) et s^es Ifouveatix élifOMnU û' algèbre (Amsterdam, 1703, in-8)^ dont Leibniz faisait grand cas.

pliquées. Il repi:ésenta pour la première fois, en 1700, une surface courbe par une équation entre trois variables, et contribua ainsi à développer la géométrie analytic[ue à trois dimensions. Ses Recherches de physique et de mathématiques (Paris, 1713, 3 vol. in- 1 S) traitent de questions très-intéressantes, telles que Téquation de la sphère et ^. de son plan tangent , la détermination des coordonnées maxima et mimwia dans certaines sections delà sphère, les équations de diverges surfaces du troisième degré et des courbes à double courbure , passant par les points auxquels répondent des ordonnées maximn et minvma^ la double génération, par une droite, de Thyperboloïde à une nappe de révolution, etc. *, On lui doit aussi la solution d'un trèsutile problème de mécanique. Ayant remarqué que, si dans une machine la disposition des parties est telle que la vitesse du poids moteur devienne plus grande ou plus petite, suivant que celle du poids mû devient, au contraire, plus petite ou plus grande, il existe un certain rapport entre les deux vitesses, pour que Teffet de la machine soit un maximum ou un minimum^ il démontra que le maximum d'effort a lieu dans les roues hydrauliques, mues par le choc deTeau, lorsque la vitesse de la roue est le tiers de la vitesse du courant*.

On a reproché à Parent Tobscurité et la négligence de son langage.

Le comte Jacques Riccati (né en 1676 àN Venise, mort en 1754) et ses deux fils, Vincent (né en 1707, mort en 1775) et Giordano (né en 1709, mort en 1790), s'étaient, comme les BernouUi, beaucoup occupé» à perfectionner le calcul intégral ou. Vintégration de^ équations différentielles de tous les ordres. Jacques Riccati est un de ces rares exemples d'hommes qui préfèrent aux places et aux honneurs la paix de leur intérieur et le culte pur de la