M. Chasles, Aperçu historique, etc., p. 138 et

2. Bossut) Histoire générale des mç^hématiques, t. II, p. 59.

science. Suivant la mode du temps, il proposa aux géomètres, sous forme de problème, Tintégration, fort simple en apparence, d'une équation différentielle du premier ordre, à deux variables. Aiicun des concurrents, parmi lesquels étaient Nicolas et Daniel Bernoulli, ne parvint à intégrer Téquation dans sa généralité. Mais on trouva un grand nombre de cas où les indéterminées sont séparables, et où conséquemment Téquation s'intègre par les quadratures des courbes. Le cas particulier que signala J. Riccati, porte le nom d'équation de Riccati.

Les œuvres de J. Riccati ont été publiées après sa mort (Opere^ Trévise, 1758, 4 vol. in-4). Ses fils se sont principalement livrés à Fétude de la mécanique. Vincent Riccati a publié : un traité De seriebus recipientibus summam generalem algebraicam^ etc., Bologne, 1756, in-4; Inslitutiones analyticae collectœ, ibid., 1765-1767, 3 vol. in-4, et Opuscula ad res physicas et mathematicas pertinentia^ ibid., 1752-1762, 2 vol. in-4. On y trouve d'intéressantes études sur le calcul intégral.

Tayior. — Méthode des incréments. Théorème de Tayior. Cotes. ^-'Moivre? — Haeianrin. — Stewart.

Brook Tayior (né en 1685, mort à Londres en 1731) était un des disciples les plus ardents de Newton. Il débuta, en 1708, par un mémoire Sur les centres d'oscillation^ bientôt suivi des mémoires Sur l'ascension de Veau entre deux surfaces planes y eiSur le problème de la corde vibrante (insérés dans les Transactions philosophiques de Londres), auxquels il faut ajouter un traité, intitulé : Nouveaux prin* cipes de perspective (trad. en français^ Amsterdam, 1757, in-8)-

Mais le travail le plus important de Tayior (devenu trèsrare) et qui lui a donné une grande célébrité, a pour titre : Methodus incf em^ntorum directa et inversa (Lond., 1717,

118 pages in-4). Le fondement de la méthode de Taylor se trouve exposé dans un court Avis au lecteur, que nous croyons devoir traduire presque intégralement. « Dans cette méthode des incréments je considère, dit Tauteur, les quantités comme augmentées par des incréments ou comme diminuées par des décréments {incrementis auctas vel decremsntis imminutas) ^ et avec les rapports donnés des intégrales je cherche les rapports des incréments, et inversement, avec les rapports donnés des incréments je cherche les quantités intégrales elles-mêmes. L'utilité de cette méthode saute aux yeux, surtout pour expliquer la méthode des fluxions de Newton.,,. Une méthode semblable, mais moins générale, avait été déjà tentée d'abord par les anciens (méthode d'exhaustion), puis par Gava* lieri et Wa])is (méthode de sommation). Pour déterminer la grandeur des figures, les anciens inscrivaient et circonscrivaient deB-Çgures composées de parties finies et connues, puis ils augmentaient le nombre de ces parties et ils en diminuaient la grandeur, jusqu'à ce que la différence entre leur somme et la figure cherchée fût moindre que toute quantité donnée. Gavalieri et d'autres, plus modernes, ont considéré ces parties comme diminuées à Tinfini. Mais tous ces hommes, en considérant la genèse des quantités par des additions de parties, n'ont pas tenu suffisamment compte de cette rigueur, àxptêeta, dont pouvaient se glorifier les géomètres anciens. Car, pour que la méthode des modernes fût exacte, il faudrait que les parties naissantes fussent en quelque sorte prime-sautières, primx nascentes. Oc, de pareilles parties n'existent point dans la nature des choses ; on n'y voit que les rapports primes des parties naissantes (primx relationès partium nascentium). Voilà pourquoi Newton, laissant de côté les grandeurs des parties, ainsi que leurs sommes, a introduit les rapports ultimes des parties évanouissantes et les rapports primes des parties naissantes, et c'est là-dessus qu'il a fondé son analvse. En réunissant les rapports primes

des incréments naissants et les rapports ultimes des évanouissants, on accommode tous les résultats de la méthode des incréments avec la méthode des fluxions, et on évite ainsi toute considération de Tinfini ou de Tindéfini, pour me servir du langage de quelques-uns. Car, dans la méthode i&B fluxions, pour que les résultats soient parfaite* ment exacts, les parties ou incréments doivent être conçus^ non pas comme infiniment petits, mais comme réellement nuls. En effet, les rapports primes ou premiers n'apparaissent qu'au moment même où les quantités commençant à naître ; quand une fois ils ont pris naissance, ils cessent d'être premiers. Pareillement, les rapports ultimes ou derniers cessent d'être dès que les quantités »'é-r vanouissent ou deviennent nulles. »

La méthode de Taylor, exposée assez obscurément^ n'est, au fond, que le Ccùcul des différences finies, où, en allant d€f différences ^n différences, on arrive à des quantités (incréments évi^nouissants) dont la différence ou le rapport est nul. C'est par là qu'on aurait dû passer avant d'arrivef au calcul différentiel et intégral; ou plutôt, on devrait, suivant l'auteur, abandonner ce dernief comme manquant de rigueur, et revenir au calcul des différences finies. Le (Célèbre théorème de Tc^lor est la généralisation de la for-^ mule du binôme de Newton et de la série de Maelaurin. î\ a pour but de développer en série le changement que subit une fonction quelconque, lorsqu'on fait croître les vaHabl^s .

Le Methodus ineremenèorum était particulièrement dirigé contre l'analyse de Leibniz. Aussi Jean Bernoulli en fut-il vivement blessé, et dans son emportement il ne rendit pas à Taylor toute la justice qu'il méritait. Et comme Tayloir^ admirateulr de Newton , était non moins irascible que J. Bernoulli, admirateur de Leibniz, il en résulta une violente polémique qui ne fut pas cependant sams fto&t pour la science. Dans une dissertation Sur ks trajectoires (ff^goTHtles, Bernoulli reconnut l'exactitude de la iné^ thode de Taylor ; et en même temps il en proposa une autre

qui, à Tavantage d*être plus simple, joignit celui a*être plus général.

Abraham Moivre (né à Vitry, en CÎhampagne, en 1667, mort en 1756 à Londres) descendait d'une famille française qui, après la révocation de Tédit de Nantes, était venue s'établir en Angleterre^ Lié d'amitié avec Newton, dont il avait embrassé les doctrines, il devint membre delà Société Royale de Londres, et fut, malgré sa qualité de calviniste, agrégé à FÂcadémie des sciences de Paris. Ses Misceilanea analytica de seriebus et quadrçLlûris contiennent d'importantes recherches d'analyse. C'est dans ces Mélanges que se trouve la célèbre proposition connue sous le nom de théorème de Moivre.

Le calcul des probabilités paraît avoir été une des études favorites de Moivre, comme le témoigne son ouvrage intitulé : The Doctrine of Chances^ or a melhod ofcalculating the probabilities ofevents in play, Lond., 1716 et 1756, in-4. Dans l'Introduction l'auteur établit les principes généraux pour appliquer le calcul aux jeux de hasard ; il y indique le fondement de ses méthodes et la nature des suites qu'il ùomme récurrentes^ où chacun des termes a un rapport fixe avec quelques-uns des précédents. Gomme moyen d'abréger le calcul, il y substitue les arcs de cercle a ceux de l'hyperbole ; par ce moyen les valeurs cherchées so trouvent naturellement exprimées par les logarithmes des sinus des arcs.

No^us avons vu plus haut que Moivre fut un des juges appelés à prononcer dans la dispute qui s'était élevée enître Newton et Leibniz , au sujet de la priorité de la découverte du calcul infinitésimal.

ftoger Cotes (né en 1682, mort en 1716J fut professeur d'asltronomie et de physique expérimentale à l'université ae Gamtridge. Il publia la deuxième édition des Principes (ïe Newton ; elle est fort estimée à cause de la t^réface, où

Cotes défend les doctrines de son compatriote et ami contre les attaques de Leibniz et des cartésiens. Outre divers mémoires, insérés dans les Transactions philosophiques de Londres, on a de Cotes : Harmonia mensurarumj sive Amlysis et Synthesis, per rationum et angalorum mensuras promotœ^ Cambridge, 1722 (ouvrage posthume). Cotes aida Newton et Maclaurin dans l'application de la géométrie analytique de Descartes à la recdierche des propriétés générales et ^caractéristiques des courbes géométriques. La mort de Cotes, enlevé à la fleur de Tâge, fut beaucoup regrettée par Newton : « Si Cotes eût vécu, disait-il, nous aurions appris quelque chose de plus. 3»

Colin Maclaurin ou Mac^Laurin (né en 1698, mort à York en 1746) fut, dès Tâge de douze arfs, entraîné par la lecture d*Euclide vers Tétude des mathématiques, et il n'avait pas encore vingt ans quand il obtint, au concours, la chaire des mathématiques au collège d'Aberdeen. Plus tard il fut adjoint à Gregory dans Tuniversité d'Edimbourg, et fortifia, en 1745, cette ville à l'approche de larmée du prétendant. Inspiré par les découvertes de Newton, il s'appliqua à la recherche des propriétés générales et caractéristiques des courbes géométriques. Dans sa Geometria organica, sive Descriptio iinearum curvarum iiniuer5a/w (Londres, 1719, in-4), il enseigne le moyen de décrire ces courbes par l'intersection de deux côtés de deux angles mobiles, *dont le mouvement est convenablement déterminé. Les démonstrations sont traitées par la méthode des coordonnées.

Son livre De Iinearum geometrîcarum proprietatibus ge~ neralis tractatus (Lond., 1720, in-4), d'une élégante précision, repose sur deux théorèmes remarquables, exprimant deux importantes propriétés générales des courbes géométriques. Le premier de ces théorèmes avait" été trouvé par le physicien R. Smith dans les papiers de son ami Cotes, et communiqué par lui à Maclaurin. En voici

renoncé : « Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre ufle courbe géométrique en autant de points A, B.... qu'elle a de dimensions, et qu*on prenne sur cette transversale, dans chacune de ses positions, un point M tel que la valeur inverse de sa distance au point fixe soit moyenne arithmétique entre les valeurs inverses des distances des points A, B..., à ce point fixe, le point M aura pour lieu géométrique une droite*. ^> — Le second théorème, employé par Maclaurin et qui est de lui, a pour énoncé : « Que, par un point fixe pris dans le plan d'une courbe géométrique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en autant de points qu'elle a de dimensions, qu'en ces points on mène les tangentes à la courbe, et que par le point fixe on tire une seconde droite de direction arbitraire, mais qui restera fixe; les segments compris sur cette droite entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe auront la somme de leurs valeurs inverses constante, quelle que soit la première transversale menée par le point fixe. Cette somme sera égale à celle des valeurs inverses des segments compris sur la même droite fixe, entre le même point, et ceux où cette droite rencontrera la courbe. »

Le premier théorème, celui de Cotes, est une généralisation de celui de Newton sur les diamètres des courbes. Le second, ou le théorème de Maclaurin, est une généralisation importante du théoi;ème de Newton sur les asymptotes. L'un se transforme dans l'autre par la perspective des figures*.

Dans son Traité des fluxions (A complète System of the

1. Le segment compris entre le point fixe et le point M a été appelé par Maclaurin la moyenne harmonique entre les segments compris entre le point fixe et la courbe. Poncelet, s'occupant plus tard du même théorème, appela le point M le centre des moyennes har* moniques des points A, B.... par rapport au point fixe, en faisant voir que, quand le point fixe est à Tinfini, le point M devient le centre des^moyennes distances des autres points Â, B....