M. Chasles, Aperçu historique, etc., p. 146 et suiv

fluxions y Êdimb., 1742, 2 vol. in-4)*, Madaurin a fait très-ingénieusemeût ressortir les rapports qui existent entre la méthode d'Archimède et celle de Newton. Ayant, une prédilection marquée pour la méthode des ancien^^ il rappliqua, entre autres, i la grande question de la figure de la Terre. Le jugement porte par Lagrange su? Maclaùrîn mérite d*être cité. Après avoir dit que le p?oûlème^ où il s'agit de déterrtiiner TattractioB qu'un spne-^ roïde de révolution exerce sur un point quelconque placé â sa surface du dans son intérieur, est une de ces questions où la lûétiiode des anciens a des avantages sur Fanalyse moderne, le grand analyste ajoute : « M. Maclaurin, qiii à, le premier, résolu ce problème dans son excellente pièce Sur le jïux et le refluai de la mer^ couronnée par TAcadémie des sciences de Paris, en 1740*, a suivi. une méthode purement géométrique, et fondée uniquement sur quelques propriétés de Tellipse et des sphéroïdes elliptiguès; et îl faut avouer que cette partie de i ouvrage de M. Macïaurin est un chef-d'œuvre de géométrie*, qu'on peut comparer k tout ce qu'Àrchimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. »

C'est dans son traiiè des fluxions que Maclaurin avait, pour là première fois, énoncé ce théorème fécond : « Quand un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points de concours de ses côtés opposés sur une courne de ^tfoisième degré, les tangentes à la courbe, fnenées par deux sommets oppbsés, se coupent sur cette courbe. »

Le théorème du quadrilatère inscrit aux coniques n'éiait ^u un cas particulier de celui-là.

Parmi le* tfavaiii dé Maclatirin publiés danfîf les transdctiàns philosophiqibes de Londres, on remarque : une

i. Ce traité a été traduit en français par le P* Pézenas; Paris, 1749,2 vol. in-4.

2. Maclaurin partagea le priic aveo Euler et Daniel BernouUi* Son mémoire a été imprimé dans le terne IV des.Prâ de ¥AeadénHe des sciences.

Lettre concernant les équations avec des racines impossibles (Phil. fransact,, années 1726 et 1729) et Sur les bases des cellules où les abeilles déposmt kurmiel {ibid., année 1743). — Le Traité d'algèbre (trad. en français par Lecozic; (Paris, 1753, in-4) et V Exposition des découvertes philosophiques de Newton (trad. en français par Lavirotte; Paris, 1749, in-4) n'ont paru qu après la mort de Maclaurin.

La série connue sous le nom de série de Maclaurin^ et e^ui est d'un usage très-commode, s'obtient en développant, à l'aide du théorème de Taylor, une fonction quelconque de a? — A, en faisant ensuite a; = 0, et remplaçant h para;.

Parmi les élèves de Maclaurin, nous d^ons faire mne mention particulière de Mathieu Stôwart.

Ml , i ■ * .t » I

aihieii Stewart (né en 1717, mort en 1785) enseignait les mathématiques à l'université d'Édimtourg, où il eut pour suppléant et successeur son fils, Dugald Ste^ wàrt, qui s'est rendu célèbre par ses doctrines philosophiques. Son ouvrage intitulé General theorems af con^ siderabie use in the higher parts of mathematics (Èdimb., 1746, in 8) lui avait fait prendre rang parmi les meillèuri^ géomètres de son temps.

A l'exemple de Newton et de Ma.claurin, Stewart entreprit d'appliquer la méthode géométrique aux questions les plus difficiles de l'astronomie ; c'est dans ce but qu'il putlia ses Tracts physical and mathematical, coiitaining an expianation ofseveral important points inphysicàljastronomy ^pnd., 1 761, in-8). L'auteur y aborde avec clarté et simplicité la théorie des forces centripètes, le calcul de la distance du Soleil à la Terra, le problème^ alors nouveau,- des Trois corps, où il s'agissait de calculer l'action réGipro(|u8 du SoleiL de la Terre et de k Lune, questions qui n'eligeaient d'autres connaissances maithématiqués que eelWâ des éléments de la géométrie plane et des seotiofiLi^ coniques. Enfin, nous devons citer de Stewart : Propositiones

geometriCcV, more veteruni demonstratx (Édimb., 1763, in-8), et une intéressante notice sur la 4* proposition du IV* livre des Collections mathématiques de Pappus, publiée dans les Essays of a Philosophical Society of Edinburgh^ t..I, 1754.

ivieole. — Calcul des différences finies.

François Nicole (né à Paris en 1683, mort en 1758) débuta, à vingt-trois ans, par un Essai sur la théorie de la roulette^ qui, en 1717, fut suivi d'un Traité du calcul des •■ différences finies. Nous en dirons plus loin un mot. Dans un mémoire Sur les lignes du troisième degré ou troisième . ordre (1731), Nicole appliqua à ces courbes des considérations nouvelles sur les principes qui avaient guidé Newton dans son Énv/mération des lignes du troisième degré. Nicoljp calcula aussi des tables destinées à établir la fausseté de ces prétendues quadratures du cercle, qui arrivaient alors de toute part à l'Académie . Dans ces tables, il part des périmètres des hexagones inscrit et circonscrit; et en doublant successivement le nombre des côtés, il arrive jusqu'aux périmètres des polygones de 393 216 côtés. Pour montrer l'illusion des quadrateurs, il suffit de calculer la valeur que la prétendue solution du problème attribuerait à la circonférence et de faire voir que cette valeur est toujours plus petite que celle du périmètre du polygone circonscrit, et plus grande que celle du périmètre du polygone inscrit.

La première conception du calcul des différences finies est, pour le rappeler, due à Taylor, qui identifiait les différences avec les incréments ^-^ dont les quantités varient soit en augmentant, soit en diminuant ; les termes successifs d'une puissance quelconque sont en quelque sorte les types de ces quantités variables. La différence d*une quantité ou grandeur variable n'est donc autre chose que

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Texcès de la valeur qu'a cette quantité dans un état donné, sur la valeur qu'elle avait dans un état antérieur; si, par exemple, une grandeur variable x devient successivement a?', a;'', a/*, etc., on aura La: = a/ — a?, Da/ = aj"" — a?', Daf^^ — scf\ etc. La lettre majuscule D, écrite audevant d'une grandeur variable, désigne la différence finie (ou simplement la différence) de cette grandeur, de même que, dans le calcul infinitésimal, on emploie la lettre minuscule rf, écrite au-devant d'une grandeur variable, pour désigner la différentielle de cette grandeur. On peut encore

de même exprimer par / la somme des différences finies, c'est-à-dire Vintègration d'une fonction aux différences finies, comme on exprime par / une somme de différentielles ou une intégrale à prendre. Ainsi, le calcul aux différences finies consiste à faire, sur les différences finies des grandeurs variables, des opérations analogues à celles que le calcul différentiel et intégral fait sur les différences in/Smïmma/e5*. Les différences des grandeurs variables étant elles-mêmes des grandeurs, les différences finies peuvent être, à leur tour , considérées' comme des grandeurs variables. On pourra donc en prendre aussi les ■ différences ; celles-ci seront alors les différences secondes par rapport à la grandeur primitive ; et si les différences secondes sont variables, on pourra aussi en prendre les différences, lesquelles deviendront différence^ troisièmes par rapport à la grandeur primitive, et ainsi de suite. L'opération s'aijrête lorsque la différence devient constante^ c'est-à-dii-e lorsque la différence de la différence est égale

1. Il semble, d'après cela, que l'invention du calcul différentiel et intégral aurait dû être précédée de celle du calcul aux différences fi* nies, puisqu'en attribuant d'abord une grandeur quelconque à une différence, on peut supposer ensuite que cette différence diminue jusqu'à devenir infiniment petite. Mais l'esprit humain a procédé, en réalité, comme l'atteste l'histoire, d'une façon tout à fait inverse : le calcul infinitésimal a précédé le calcul aux différences finies. . .

à* zéro^ comme cela arrive pour la différence de la différence des termes successifs d'une progression arithmétique*.

Tout le calcul des différences peut donc être ramené à deux problèmes : le premier consiste à trouver les diffé^ rences de tous les ordres, d'une grandeur variable quelconque, élevée à telle puissance qu'on vopidra, d'un produit de grandeurs variables, et, en général, d'une fonction quelconque de grandeurs variables : ce problème n'offre aucune difficulté et est toujours soluble par le Calcul direct des différencei finies. L'autre problème est l'inverse du précédent ; il consiste à trouver une grandeur dont on connaît la différence : c'est celui di^ Calcul inverse des difr férpnces; il échappe à toutes les méthodes connues*. C'pst de la constitution définitive de ce dernier calcul que viendra peut-être la lumière.

h^ calcul des différences finies a donc été fon^ié i 1% mitation du calcul différentiel. Mai9 Lagra^g^ trouva quelque incoavénient h traiter le problème des différ0pc9^ finies comme celui dçs différences infiniment petites. Il fait observer que I9. coi^sidération des différences a'ast p^.^ nécessaire dans le prepiier cas comme dans le second, ut que même leur emploi peut être plus incoinmode qu'utile, parce que la suppression das termes, qui produit h islgaplification du calcul différentiel, ^'ay^ut pas lieu dans les différefice3 finies, il arrive que les formul^s p.ux 4iffére|lG^^ finies sont plus compliquées que si elles contenaient im^ ipédi4.tepaent les termes successifs eui^rmêmes. « L'analogie, îijoute-t-il, qu'on ^. cru. pouvoir ^tçL^lir entre le calcul aux différences infiniment petites et le calcul auf diffé-

1. Maclaurin et d'Alembert regardaient le rapport des différentielles comme la limite du rapport des différences finies, lorsque ces différences deviennent nulles. Mais, suivant Lagrange, cette manière de représenter les quantités différentielles ne fait que reculer la difficulté ; car, en dernière analyse, le rapport des différences évanouissantes se réduit encore à celui de «éro à zéro.