Lagfrange» Calcul des fonctionSf p. 292 (Paris

Nicolas Bernoulli. L'Académie des sciences de Paris venait de proposer un prix pour le meilleur travail Sur la mature des vaisseaux, Euler, alors âgé de dix-neuf ans, concourut, et obtint Taccessit; le prix fut remporté par Bouguer. ,

Fidèle aux idées de Pierre le Grand, Catherine I""* avait appelé dans la nouvelle capitale de la Russie les savants les plus distingués, parmi lesquels se trouvaient les frères Bernoulli. Ceux-ci obtinrent pour leur ami Euler une placé dans TAcadémie de Saint-Pétersbourg, érigée en université; et lorsque, en 1733, David Bernoulli retournait en Suisse, Euler le remplaça dans la chaire de mathématiques. Mais après la mort du puissant favori Biren, en 1741, il quitta la Russie pour se rendre à Berlin, où rappelait le roi de Prusse. Membre de l'Académie de Berlin, il fut invité par la princesse d'Anhalt-Dessau à lui donner des leçons de physique. Ce fut là Torigine d'un ouvrage élémentaire qui, sous le titre de Lettres à u/ne princesse d'Allemagne sur quelques sujets de physique et de vhilosophiey obtint un immense et légitime succès. En 1766, Euler retourna à Saint-Pétersbourg, sur l'invitation de l'impératrice Catherine II. Le climat de la Russie lui fut peu favorable. Déjà en 1735, une ophthalmie grave lui avait fait perdre l'usage d'un œil; peu de temps après son retour à Saint-Pétersbourg il fut menacé d'une cécité complète. Dans le terrible incendie de 1777, sa maison devint la proie des flammes ; on ne put sauver que quelques papiers. Dans les dernières années de sa vie, il s'occupa du mouvement ascensionnel des aéroistats, invention alors nouvelle, et de la planète que Herschel venait de découvrir. Le 7 septembre 1783, il badinait avec son petit-fils, en prenant une tasse de thé, lorsque tout à coup la pipe qu'il tensfit à la main lui échappa, et, selon l'expression de Gondorcet, « il cessa de calculer et de vivre. »

Euler avait étudié presque toutes les sciences, et en mathématiques il n'eut d'égaux que d'Alembert et La-

grange. « Son génie, dit Gondprcet (dans ï Éloge (TEulery, fut également capable des plus grands efforts et du travail le plus soutenu ; il multiplia ses productions au delà de ce qu'on eût osé attendre des forces humaines, et cependant il fut original dans chacune. Sa tête fut toujours occupée, son âme toujours calme. Enfin, par une destinée malheureusement» trop rare, il réunit et mérita de réunir un bonheur presque sans nuage à une gloire qui ne fut jamais contestée. »

Travaux d'Euler. — Calcul intégral.

Toutes les méthodes analytiques convergent vers le perfectionnement du calcul intégral, Vinverse du calcul différentieL On a présenté Leibniz et Newton comme les inventeurs du calcul intégrai ; mais ce calcul n'a pas eu, à proprement parler, d'inventeur. Ses origines remontent au plus grand géomètre de l'antiquité. En carrant la parabole, en découvrant le rapport de la sphère au cylindre, en déterminant le centre de cavité des espaces paraboliques et circulaires, Archimède faisait du calcul intégral ; seulement dans la voie qu'il suivait pour la solution de ces problèmes, il ne vit pas le germe d'une méthode particulière, et c'est ce germe qui resta, pendant de longs siècles, à l'état latent. Depuis la méthode analytique de Descartes, les exemples de quadrature ou de rectification de courbes, de détermination de surfaces de solides et de centres de gravité, se multiplièrent. Leibniz et Newton n'avaient qu'à élargir la voie tracée, sur les indices des anciens, par

1. Euler s'était marié deux fois. Il eut de sa première femme treize enfants, dont huit moururent en bas âge. En 1776, il épousa Mlle Gsell, sœur consanguine de sa première femme, et n'en eut pas d'enfants. Son fils aîné, Jean-Àlbert, fut membre de l'Académie de Berlin, qui lui confia la direction de son observatoire; son deuxième fils, Léonard, fut médecin et naturaliste, et son troisième fils, Christophe, se distingua comme astronome et ingénieur.

Pascal, Fermât, Descàrtes et Wallis. Mais Newton n'employa le calcul intégral proprement dit que dans son ouvrage sur la quadrature des courbes, et Leibniz ne l'appliqua que dans quelques cas. Ce fut, comme nous l'avons dit plus haut, Jean Bernoulli qui le premier essaya d'en faire une méthode générale ' •

Le développement successif du calcul intégral ne retrace-t-il pas le progrès même de l'esprit humain? On commence d'abord par enregistrer une multitude de petits faits, — les différentielles, — la plupart sans aucun lien, — et ce n'est que beaucoup ^lus tard' qu'on arrive, si toutefois on y arrive, à entrevoir les grands faits, — es i'ntégrales, — qui, sous le nom de principes ou ielàis^ vont réunir ce qui paraissait sans cohésion, et embrasser, dans un même faisceau de lumière, des détails jusqu'alors inexplicables ou obscurs.

Euïer suivit les traces de son maître Jean Èernoulli.

Dn mémoire d'Euler, publié en 1734 dans les Âdtes

1. L'exemple de Jean Bernoulli fut suivi par Maçlkurin^ dans son Traité' des fluxions , par Cotes, dans son Harmonia ménsurarum, ouvrage coinmenté par D. W^almefley {Ânaltfse dès i^app6rts\ etc.)'. Mafis ces ouvrages n'ont' trait qu'à la partie du calcul intégral q\ii enseigne à intégrer ou à réduire à des quadratures les (quantités qui no renferment qu'une seule variable. Quant à la seconde partie, qui concerne Vintégration des différentielles à plusieurs variables^ et qui laisse encore aujourd'hui beaucoup à désirer,' on n'en trouve que dc^ morceaux épars dans les Mémoires de la Société Royale de Londres, de rAcadémie des sciences de Paris, de Berlin et de Saint-Pétersbourg. — Alexis Fontaine (né en 1705, mort en 1771) s'occupa du même calcul, et il consigna les résultats de ses recherches dans ses Mémoires de mathématiques , recueillis et publiés avec quelques pièces inédites j Paris, 1764, in-4. Les éléments épars dU calcul intégral ont été rêlihis par le célèbre navigateur A. de Bougainville dans un ouvrage (Ju'il publia à l'âge d« vingt-cinq ans, et qui a pour titre : Traiié dvi calcul intégral, pour servir de suite à VArialyse des infini'' ment petits du marquis dé VBôpital (P3[ris, iT54-ï756, 2 vol. in-4). Un travail du m&me genre a été publié par la savante itâlîçnne Agnesi (née à^ Milan en 1718, morte en 1799), ^ous'le titrô dé InstituxUmi amUitiche, etc. (Milan, 1745, 2 vol. in-4).

de TAc^aidéiDie de Saint-Pétersbotirg, bientôt suivi d'un ouvrage important, intitulé : Méchariica, sive motus scientktj andlytiee ëxposUa (Saint-Pétersbourg, 1736, ^ vol. in-'^î, renférrire les premiers vestiges du Calcul intégral aitx diffïrehces partielles. L'objet général de ce nouveau caleul était « de trouver une équation qui satisfasse à une équation différentielle proposée, lorsqu'on connaît seulement la relation qui existe entre les coefficients différentiels. » D'Alembert, dans son traité Sur la cause géfiérale deé vents , donna des notions plus étendues sur ce calcul, et l'employa le premier dans la solution du problème, si controversé, des cordes vibrantes. Euler reprit le sujet qu'il n'avait d'abord qu'esquissé ; il développa la Inéthode et donna l'algorithme du calcul intégral aux différences partielles dans im méimoire publié en 1762 dans les Actes de l'Académie de Saint-Pétersbourg, sous le titre de : Iiwestigatio fanctiànum ex data differentiaiiuin conditioner ce qtli Fa fait regarder comme lé principal inventeiir de ce calcul.

Ces notions furent refondueà et développées dans une œuvre ca|)itale intitulée : Institutiones calculi inîegralis (Saint-Pétersbourg, 1768-1770, 3 vol. in-4; 1792-1793, 4 v6Uîi-4). Voici sur cette œuvre le jugement de Gondorcet. « Le calcul intégral, l'instrumeiit le plus fécond de découvertes quejamais les hommes aient possédé, a changé de face depuis les ouvrages d'Buler; il a perfectionné, étendu, simplifié toutes les méthodes employées ou proposées avant lui : on lui doit la solution générale des équations linéaires, premier fondement de ces formules d'âpprqxitnâtion si variées et si utiles. Une foule de méthodes particulières, fondées sur différents principes, sont répandus dans ses ouvrages et réunies dans son Traité du calcul intégral; là, on le voit^ par un heureux usage des substitutions, ou rapporter à une méthode connue des * é(|tiâtions qui semblaient s'y refuser^ Ou réduire aux premières différentielles des équations d'ordres supérieurs.

Tantôt, en considérant la forme des intégrales, il en déduit les conditions des équations différentielles auxquelles elles peuvent satisfaire ; et tantôt l'examen de la forme des facteurs, qui rendent une différentielle complète, le conduit à former des classes générales d'équations intégrales ; quelquefois une propriété particulière qu'il remarque dans une équation lui offre im moyen de séparer les indéterminées qui semblaient devoir y rester confondues; ailleurs, si une équation où elles sont séparées se dérobe aux méthodes communes, c'est en mêlant ses indéterminées qu'il parvient à connaître l'intégrale. »

Avant cet ouvrage, Euler avait publié : Introdtu^tio in analysin Infinitorwm (Lausanne, 1748, 2 vol. in-8, traduit en français par Labey, Paris, 1798, 2 vol. in-4); Institutionescalculi differentialiSf cum ejususu inanalysi infini' ibrum ac doctrina serierum (Berlin, 1755, in-4; ouvrage réimprimé avec des additions par les soins de Fontana; Pavie, 1787, et traduit en allemand par Michelsen; Berlin, 1790-1793, 3 vol. in-8). — Ij Introduction àTanalyse des infinis renferme, en deux livres, les connaissances préalables, nécessaires pour la parfaite intelligence des calculs différentiel et intégral. Dans le premier livre, l'auteur explique très-clairement les fonctions algébriques ou transcendantes, leurs développements en séries, la théorie des logarithmes, la sommation de plusieurs suites très-remarquables, la décomposition des équations en facteurs trinômes, etc. Dans le second livre, l'auteur établit les principes généraux de la théorie des courbes géométriques et de leur classification par ordres, classes et genres ; il applique ensuite ces principes aux sections coniques, dont toutes les propriétés sont déduites de leur équation générale. Enfin il classe de même les surfaces des corps géométriques, et enseigne à donner les équations de ces surfaces, les rapportant à trois coordonnées perpendiculaires entre elles. Il discute pour la première fois l'équation à'

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trois variables, qui contient les surfaces du second degré*. — Quant aux Institutions du même auleur, c'est un des ouvrages qui ont le plus contribué aux progrès du palcul différentiel.

Parmi les autres travaux d'Euler, nous citerons encore : Methodus inveniendi lineas curvas^ maximi minimive proprietate gaudentes, sive'^olutio problematis isoperimetriciy latissimo sensu accepti, Lausanne, 1744, in-4. L'auteur réduisit l'important problème des isopérimètres, que Jacques Bemoulli av^t incomplètement abordé, à trouver une méthode générale pour déterminer les courbes ou les surfaces pour lesquelles certaines fonctions indéfinies sont plus grandes ou plus petites que les autres^. Il développa la méthode qui se cachait sous les différentes solutions

1 . « Les anciens, dit M. Chasles, ne nous paraissent avoir connu parmi ces surfaces, outre le cône et le cylindre, que celles qui sont de révolution, et qu'ils appelaient sphéroïdes et conoidés ; et jusqu'à Euler on n'avait point conçu, dans l'espace, d'autre analogie avec les courbes planes si fameuses, appelées sections coniques. Mais ce grand géomètre, transportant aux surfaces courbes la métbode analytique qui lui avait servi à la discussion des courbes planes, découvrit, dans l'équation générale du second degré, entre les trois coordonnées ordinaires, cinq espèces différentes de surfaces, dont les sphéroïdes n'étaient plus que des formes particulières. Euler borna son travail à cette classification. C'était une Introduction suffisante pour dévoiler aux géomètres un vaste champ de- recherches que leur présentait cette théorie des surfaces du second degré. » {Aperçu historiqiie, etc., p. 241.)

2. Euler distingue deux genres de maxima et de minima, les uns absolus, les autres relatifs. Les maxima ou minima sont absolus, lorsque la courlie jouit, sans condition, d'une certaine propriété de maximum ou de minimum, entre toutes les courbes correspondantes aune même abscisse ; telle est la courbe de la plus vite descente. Les maxima ou minima sont relatifs, lorsque la courbe doit jouir d'une certaine propriété de maximum ou de minimun, et doit de plus satisfaire à une autre condition, comme, par exemple, d'être égale en contour à toutes les courbes terminées avec elle à deux points donnés; tel est le cercle, qui a la propriété d'enfermer le plus grand espace entre toutes les courbes d'égal contour. (Bossut, Histoire générale des mathématiques, t. II, p. 122.)

que le problème avait reçues, et la réduisit en formules générales. Quinze ans après, Lagrange résolut le même problème d'une manière plus complète, par une 9iédM)de purement analytique. Loin de s'en montrer jaioux, Euler exposa lui-même la nouvelle. méthode avec cette «léganto clarté dont il avait le secret.

Anleitung zur Àlgebra (Saint-Pétersbourg, 1770, in-8»), traité d'algèbre, qui fut, dans la même année, traduit en français, sous le titre d'Éléments d'algèbre^ par Bernoulli, directeur de l'Observatoire de Berlin, petit-fils du célèbre Jean Bernoulli, et réimprimé à Lyon en 1 795, avec dey notes et additions de Lagrange (2 volumes in-^; Le premier volume de cet ouvrage important, qui ne ports ni le nom du traducteur, ni celui de l'annotateur, traite de V Analyse déterminée. Le deuxième volume, consacré à ÏAnalyse indéterminée^ contient (p. 371-662) les additions précieuses de Lagrange, formant un véritable traité de V Analyse de Diophante ou Analyse indéterminé.e. Aux ÉJlér ments d'algèbre s^e rattache V Arithmétique, roj^^née, mbliée après la mort d'Euler par le na.veu de Daniel Bes? nouUi, et formant le tome III de la réimpression des Couvres complètes d'Euler (Bri^xelles, 1839).

Theoria motuum planetarum et comptarumj etc., 3erjift, 1744, in-4. La question des perturiïatioiiis plstoétairee était depuis Newton à l'ordre du jour. Pour simplifier le calcujlonle restreignit à l'action de tro^s corps en présence, qui sont : d'abord le Soleil, pujis .deux w^e^ corp§ reprochés Tun de l'autre, tels que la Teri» et la Luae, Jupiter et Saturne^ etc. Euler s^occupal'un defif premiers de cette grande question (il remporta, en 1748, le prix proposé par TÀiCadémi^ des menées de F^ri$ sjgyr L^s p^rjUjirbations de Jupiter et de Saturne), qui reçut le noai âii Problème dps trois corps^ et qui peut s'énoncer ainsi : « Trois corps qui s'attirent mutjieUepieAt en raison composée de la masse et du carré inverse de la distance, étan^ lancés dans l'espace, déteminer les courbes qu'ils décri-

ront, et toutes les circonstances de leurs mouvements. » — L'Académie des sciences de Paris proposa, en 1754, comme sujet d'un pm, qu'elle remit au concours en 1756, la Théorie des inégalités que les planètes peuvent causer au mouvement 4e Ja Terre. Euler remporta le pâx»

fiuùri^ moty,slm$e (Berlin, 17^3, i9-4}. L'^^te^ur^o^sidèrp le Qiouv^ment de la Lune comme Tej^et .dç i^f^ (orcies, parallèles à trois ^xes perpendi,ci;i]b4i^^ eiM^e? ^V^» qjui se cr^ePiaienf au centre de la X^y^e .et 4^r;aiejQLt o^r poirés 4jrec elle iM^our de la Terre, en coaservs^iit tOi^joa^^iis leur pa^^UélisxQi^ respectif. Cette manière de |For;Qaepr le§f équations du problème. était trjès-simple ^ m^is les CQrAa>]yi- ]f^ 0e compliquent singulièrement quand il 9'«|tgit d'appjir quer les expressions analytiques aux pbé|iamèfLas;célc^t,«;$^ Oij^ Ton ne considère que des mouvem^jçuU ^^n]^^,, Ajassi Buler eut-il besoin de toute la scieiM:^ diji çftj^uj pour parvenir ain«i à déterminer la longitu(^e et-la Içiir tude de notre satellite, c'est-à-dire la véritab}^ pA^çQ de la Lune dans le ciel, av^ec une exactitude '4 peu pr^ égaie à. celle à laquelle étaient arrjivés, par d'autres xSitétiiQdes,Cîiairaut et d'Alembert. C'est d'après la théorie Iwaif^ d'Ëuler qu£ Tobie Mayer cons4:ruisit ses Tables de la Lun<e. Euler perfectionna sa Théorie dans un travail pubUé, &fx 177^, sous le titre de Theoria mottmm Umw^ nom VWr thodo protraotata.

Suler s'était aussi beaucoup occupé d'opiique : il en parle longuement dans ses Lettres. Enfin, il ayait pf^iÇ part à presque toutes les discussions qui s'étaiei^t élev^i^s* entre les physiciens et les géomètres de son temps. 0\^§t> ainsi qu'il défendit, entre autres, Kœnig contre « le principe de la moindre action, » que Maupertuis regiardAit comme son plus beau titre de gloire. Il essaya de pr<>uy^]r l'excellence de ce principe en l'appliquant à la solutiop des problèmes de mécanique les plus difficiles.

Lambert. — Théorème de Lambert.

Henri Lambert (né en 1728 à Mulhouse, mort à Berlin en 1777) descendait d'une de ces nombreuses familles françaises protestantes qui , après la révocation de Tédit de Nantes, portèrent leur industrie et travail à l'étranger. Son goût pour la philosophie et les mathématiques se dessina en faisant l'éducation des enfants du comte de Salis à Goire. Il visita avec ses élèves Paris, Gœttingue, Utrecht, etc. Pendant son séjour en Hollande il publia iSur les propriétés remarquâtes de la route de la lumière un mémoire qui lui assignait un rang distingué parmi les physiciens-géomètres. C'est la lecture de ce travail qui donna à Arago l'idée d'approfondir les mystères de la lumière. Fixé depuis 1 763 à Berlin, il enseigna les mathématiques à l'université de cette ville, et enrichit les principaux recueils du temps, tels que les Acta Helvetica, les Nova Acta Eruditorunij Ie Bibliothèque allemande universelle de Nicolaï, et ^surtout le recueil des Mémoires de V Académie de Berlin^ d'un grand nombre de notices importantes ^ Ses Lettres cosm^logiques, dont nous avons parlé ailleurs*, eu- . rent un légitime retentissement. Son Novum Organon^ etc. (Leipzig, 1763, 2 vol. in-8), son Architektonik^ oder Théorie des Einfachen und 'Ersten (Riga, .1771, 2 vol. in-8), et surtout ses travaux de mathématiques, réunis en partie dans Beitrœge zum Gebrauche der Mathematik, etc. (Berlin, 1765-1772, 3 vol. in-4), le firent, pour la profondeur des vues, mettre sur le même rang que Leibniz.

Daifs son traité de Perspective (Zurich, 1759, in-8), Lambert- emploie les principes de perspective comme méthode géométrique, et démontre plusieurs propositions

1. On en trouve la liste à l'article Lambert, dans la Biographie génértUe. 5. Histoire de Vastronomie, p. 609.

qui rentrent dans la théorie des transversales'. La seconde édition de ce traité (Zurich, 1774) contient Texposé des règles de perspective pour faire des dessins au compas de proportion. Cet exposé avait paru séparément sous le titre de Kurzgefasste Regeln zu perspectivischen Zeichrnungm, etc. (Augsbourg, 1768, in-12), opuscule rarissime.

L'ouvragç qui valut à Lambert la réputation méritée d'un astronome de premier ordre était, outre ses. Lettres cosmologiques ^ son Traité des comètes, intitulé : Insignio^ res orbite comelarum proprietates^ Augsbourg, 1761, in-8. L'auteur y développe diverses propriétés des sections coniques, et les fait servir à la détermination du mouvement des comètes. On y remarque surtout la propriété de Tellipse, qui acquit une importance capitale dans la théorie des comètes, et dont voici Ténoncé : « Si, dans deux ellipses, construites sur le même grand axe, on prend deux arcs tels que les cordes soient égales entre elles, et que de plus les sommes des rayons vecteurs, menés des foyers de ces ellipses aux extrémités de ces arcs respectivement, soient aussi égales entre elles, les deux secteurs compris dans chaque ellipse entre son arc et les deux rayons vecteurs seront entre eux comme les racines carrées des parar mètres des deux ellipses (section lY, lemme 26). » Considérant Tellipse comme une orbite planétaire et substituant aux secteurs les temps employés à parcourir leurs arcs (d'après la quatorzième proposition dii livre I*' dés Prin- > cipes de Newton, à savoir que le temps est proportionnel à Taire du secteur parcouru, divisée par la racine carrée du paramètre), l'auteur en conclut que dans les deux ellipses qu'il compare, les temps employés à parcourir les deux arcs sont égaux. Ce théorème lui permet de ramener le calcul du temps employé à décrire un arc d'ellipse donné au calcul du temps employé à décrj.re un arc d'une autre "ellipse quelconque, ayant le même g^and axe, et même au calcul du temps employé à décrire une partie Ae ce

grand axe,, en supposant que Tellipse se confonde avec cet axe par i'éyânouissement de l'axe conjuguée il arriva ainsi à une formule d'une grande simplicité, expriment le rapport qui existe entre le temps qu'emploie un astre à parcourir un arc de son orbite, la corde de cet arc eties deux rayons vecteurs extrêmes . Cette formule, dont Fénoneé est connu sous le nom de Théorème d$ Lambert^ a été proclamée par Lagrange « la plus belle et la plus importante découverte de la théorie des comètes. » '

parmi les nombreux travaux communiqués par Lambert à l'Académie des sciences de Berlin et insérés dans le recueil de cette Académie, nous citerons : Mémoire svr quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes] circulaires et logarithmiques (année 1768) ; Fauteur

moijtre qu'un 'arc de cercle est commensurable avec e rayon, que la tangente de cet arc est incommensurable, et réciproquement; il déduit de là la célèbre démonstration de l'irrationalité du rapport de la circonférence au diamètre, démonstration reproduite par Legendre (à la suite de ses Éléments de géométrie)^ qui Fa étendu au carré de ce rapport. — Observations trigonomètriques (mémoire lu à l'Académie de Berlin en 1768, publié en 17T0), où LamÉert fait voir les nombreuses analogies qui existent entre les sinus et cosinus du cercle et les coordonnées de l'hyperbole équiiatère, et, introduisant dans la science les sinus hyperboliques, il crée une. espèce de trigonométrie hyperbolique^ à l'aide de laquelle il trouve des solutions très-réelles dans les cas où la trigonométrie ordinaire en fournit d'imaginaires. ^^- Observations analytiques (mém,oire lu en 1771); Fauteur commence par poser le prol;>lème que voici : « Une fonction quelconque de deux quantités variables x, y, étant exprimée ou disposée en

1. La méthode dans laquelle entre ici Lambert a été particulièrement exposée dans ses Bmtràge xur MathemaUkj recueil cité plus haut.

sorte qu'elle soit égale à zéro, ou à une quantité constante, ou enfin à une autre fonotion quelconque de y^ il s'agit i% déterminer x ou une fonction queleonque de a? ou de x, y, par y, au moyen des différentiàtionB. » Ge problème, à^uB% gén^alité peu commune, le conduisit à dire un mot de U Thiorifi des foncHom^ dont il n'existait encore que des parties isolées, et à établir, d'apjrès la détersânation de<f ' limites des,racÛ!ies d^une équation, une série qui porte le nom de série Lambert^ et qui devijit l'objet des 'travail» d'Euler et de Lagrange.

Les questions de dynamique avaient également occupé Tesprit investigateur de Lambert, comme l'atteste, entre autreS; un mémoire posthume Sur le carré de la vitesse^ publié en if 83, par les soins de 3, Bernoulli, dana les Nouveaux Mémoires de V Académie de Berlin. L'auteur commence par un très-intéressant exposé historique, que nous croyons devoir reproduire en partie. « Mérsenne, et, après lui, Descartes, avaient établi, dit-il, que les forces mouvantes sont en riaison du produit, de la masse par la vitesse^ ou, ce qui revient au même, en raison de la. quati" tité de mouvement. Cet énoncé admet quelques restrictions, en ce que la vitesse c, qu'une force p imprime %. la masse w, naît jsu^cessivement. Or^ pendant qù''elle naît, la force p pourrait bien ne pas rester la même. 3Ï vaut donc incontestablement mieux ne parler que des parties infiniment petites, de la vitesse dCy qui naissent dans deç temps infiniment petits (fr, en faisant

ffir = mfk.

Et eette formule est, en effet, la loi fondamentale de 1^ dynamique. On voit qu'elle ne donne px=smc que lorsque la force p reste la même pendant le temps t reqijis j^uf JSçire n^tr.e Ijçt vitesse c. .On voit de plus qu'piji i^*j^ pz;:^ me, cpi'm hm^itçê=^ U Or, hi^u qu» .<;eitte loi ipimr mentale ne regarde que la vitesse toute simple, il amve

540 fflSTOIRB DES MATHÉMATIQUES.

néanmoins que, dans toute la dynamique, c'est plutôt le carré de la vitesse dont on fait usage. Leibniz trouva même ce carré si intéressant qu'il n'hésita point à désigner par le nom de force vive le produit mec (produit de la masse par le carré de la vitesse). » Lambert s'applique ensuite à rechercher l'origine du carré des vitesses, et s'élève enfin à des considérations très-importantes sur la conservation et la composition des forces.

D'Alembert.

Jean le Rond (TAlembert^y né à Paris le 16 novembre 1716, enfant abandonné, fut confié par la commission du quartier de Notre-Dame aux soins de la femme d'un vitrier nommé Rousseau, demeurant rue lAichel-le-Gomte. ce Si une origine si obscure, dit Gondorcet (dans VÈloge de (TAlembert)^ froissait le préjugé, qu'on se souvienne que les véritables aïeux d'un homme de génie sont les maîtres qui l'ont précédé, et que ses vrais descendants sont des élèves dignes dé lui.» D'une constitution faible et d'une intelligênée précoce, le jeune homme fut bientôt remarqué des maîtres dont il reçut sa première instruction. Le goût qu'il avait pris pour les mathématiques se fortifiant, il se livra avec ardeur à cette étude, si bien qu'à l'âge de vingtdeux ans il se fit connaître par un Mémoire sur le calcul intégral y où il relevait quelques fautes échappées au P. Reinau, dont. Tilna/y^e démontrée était alors regardée, en France, comme un livre classique : c'était en étudiant pour s'instruire que le jeune analyste avait appris à le

- 1 . D'Alembert portait le prénom de Jean le Rond, parce que, enfant naturel (du chevalier Destouches-Canon et de Mme de Tencin), il fut recueilli sur les marches de la petite églis« de Saint-Jean le' Rond, qui était située à l'angle septentrional du grand portail de Notre-Dame, et qui a été détruite à l'époque de la Révolution. ,

corriger. Moins de deux ans après, il publia un Mémoire sur la réfraction des corps solides^ où il examinait quel devait être le mouvement d'un corps qui passe d*un fluide dans un autre plus dense', et dont la direction n'est pas perpendiculaire à la surface qui les sépare. Lorsque cette direction est très-oblique, on voit le corps , au lieu de s'enfoncer dans le second fluide, se relever et former un ou plusieurs ricochets : phénomène qui avait amusé les enfants longtemps avant la découverte des principes de la réfraction, et que cependant jusqu'à d'Alembert personne n avait encore bien expliqué.

A l'âge de vingt-quatre ans à peine, d'Alembert fut élu membrp de l'Académie des sciences. Peu de temps après son entrée à l'Académie , il publia son Traité de dynamique (Paris, 1743, vol. in-4), où il fait, entre autres, connaître le principe si fécond, qui réduit à la considération de l'équilibre toutes les lois dû mouvement, lorsque les corps mus ont une forme finie et qu'on les imagine liés entre eux par des fils flexibles ou par des verges inflexibles. Dans le Discours qui précède son Traité dyrui^ mique^ d'Alembert dit : « Tout ce que nous voyons bien distinctement dans le mouvement d'un corps, c'est qu'il parcourt un certain espace, et qu'il emploie un certain temps à le parcourir. C'est donc de cette seule idée qu'on doit tirer tous les principes de la mécanique. »

Ce passage a inspiré à M. Chasles une remarque dont l'importance n'échappera à personne. Après avoir rappelé le double mouvement de rotation et de translation des corps célestes autour d'un axe, comme un exemple à l'appui de la dualité *■ ou du dualisme tmiversely considéré comme

1. Un autre exemple à l'appui de Idi dualité, exemple d'une con-. ception propre à faire prendre, non plus le point, mais ieplan, comme l'élément de l'étendue, a été emprunté par M. Chastes à l'art du tourneur. Le mécanisme du tour consiste^ soit à mouvoir l'outil en fixant l'ouvrage, soit à mouvoir l'ouvrage en fixant l'outil (procédé du tourneur). Ce double procédé, fondé sur des principes géométriques,

la ^aûde. loi de 1& natuie, il ajoute^ au sujet du passage cité : ce Getle manière de philosopher peut patralt^e avtrir é|é une .suite de Fhabitude où l'on a toujour» été de oon^ sidérer lo point ooBCiffle'. Félément de Fétendue, et non pas l6 j>tofl, qu'on a ^oujoi^rs considéra, au crontraire, comitfe W asseiâbk^ do points. Lài ëuÈstitution définitive qm VarJ^pBfon a f«ite dans* la B^anicpe* rationnelle, des force» a«ne mouvements^ sii^dtitution si heureuHe' séus d'antteir rafpptnrts, nous parait^ avoir contribué puissamment aussi à fonder les doctrineer de la mécanicpue^ actnelley cpri i^^osént st» Vid:ée premfeFe àxt point considéré comme yâément de Tétenduo. Mai» mf pèuik>n ^a!s svrp^oser, maintenant, qiXQ les dèii*x mdùvements {rotation et trmiH {«êton), iBsépar^^ie^deft corps de l'univers, doivent donner ^eu 9t dos théorîeB niatkématiques d«ns lesquelles ces deui mouvements joueraient iâenti^etnen^ le zâême'rôle? Et alori}, le principe (^ unirait ees deux théories, ({ui se#viraft' à ptosèr do l'une à* Fautrepy comme le théorème snr )e(|ael nous avkms l^asé la dvàKU ^éométriquo' d^ i'éteiaduo en repos et celui (jii nous a servi à Her cntte e«nC' les denx mode» do description nïïéCanicfue dés' corps, ce principe*, dis^jle, pourrait jeter tto grand jour sui^ les pi*inrcipes de' la philosophie naturelle^; »

Dès I7^4r, d'Alembert appliqua son principe de dynamique {Fégàlité qui existe à chaque instant entre les changements que le mouvement d'un corps a éprouvés et les forces qui ont été employées à les produire) aux moti^vemenfs des fluides, dans son Traiié de V équilibre et du mofwem^nt des fluides. Mais' dans^ la théorie des fluîdeSy

hnpHqfue une loi de dualité ^ (j[ui conduit à un moyen très-simple de décrire avec le tour (Instrument du tourneur) toutes les couÀes qu'on a' éoutume de décrire avec lïn étylet mobile. M. Chasles indiqtie îti le prinéipe unique qui lîie entre elles les deux maniâtes de décrire tes éoiïflfés j^Iaûies, ]Jar ioi stylet mobile et par un stylet