II. — GÉOMÉTRIE

Parmi les mathématiciens c[ui, au dix-huitième siècle, ont pris la géométrie pour objectif de leurs travaux sans perdre de vue l'analyse, nous citerons Fagnano, Maupertuis, Mascheroni, mais plus particulièrement Monge et Garnot.

François Le Poivre (mort au Mans en 1710) peut être considéré comme le dernier représentant de la géométrie du dix-septième siècle, inaugurée par Descartes, Desargues, Pascal et Lahire. On en a la preuve dans son petit

traité des Sections des cylindres et du cône^ considérées dans le solide et dans le plan^ avec des démonstrations simples et nouvelles. Ce rare opuscule de 60 pages in-8, publié en 1704 à Mons, a été analysé par M. Gliasles^

Fagnano. •— llaseheroiil. — HanpertnlB.

Charles Fagnano^ marquis de Toschi (né à Sinîgaglia en 1682, mort en 1766), montra dès Tâge le plus tendre une grande aptitude pour la géométrie, et fit paraître dans les recueils du temps, notamment dans les Acta Eruditorum de Leipzig, divers mémoires qu'il publia plus tard sous le titre de Produzioni matematiche^ Pesaro, 1750, 2 vol. in-fol. Dans le premier volume on remarque, entre autres, une Théorie générale des proportions géométriques^ théorie que Montucla trouve « un peu volumineuse' 3>. Le second volume contient un Traité des diverses propriétés des triangles rectilignes. Parmi ces propriétés il y en a plu-»sieurs de très-ciirieuses. On y remarque aussi plusieurs notes relatives aux propriétés et à quelques usages de la courbe nommée lemniscate '. Pour en marquer l'importance, Tauteur en a fait graver la figure au frontispice de son livre.

Son fils, Jean-François, se fit connaître par la publication de diverses notices de géométrie et d'analyse, dans les Acta Eruditorum (années 1774, 1775 et 1776). — Le

1. Aperçu historique, etc., p. 130 et suiv. Comp. Quételet, Histoire des sciences mathématiques chez les Belges, p. 271 et suiv*

3. C'est la courbe qui a la forme d'un 8 de chiffre. Si on nomme AP, X (abscisse), et PM, y (ordonnée), et qu'on prenne une ligne constante BC = a, la courbe qui aura pour équation ay=zx^aa—xx, sera une lemniscate. C'est une courbe du quatrième degré, comme on le voit aisément en faisant évanouir le radical ; car on aura alors a^y3=a^x^ — a;^ {Encyclopédie méthodique.)

Bullettino di Bibliografia e di Storia délie scienze materna" tiche^ de M. B. Buoncompagni, donne (t. III, janvier 1870) l'exposé du théorème de FagnanOy et de nombreux détails sur la vie et la famille de ce géomètre.

Lorenzo Mascheroni (né en 1750 aux environs de Bergame, mort à Paris en 1800) ne se livra à la géométrie qu'après avoir fait de fortes études littéraires, comme l'attestent divers écrits et sa piace de professeur d'humanités au collège de Bergame. Ayant accueilli avec chaleur les changements politiques importés de France en Italie, il fut élu député et vint siéger au Corps législatif de la République cisalpine. Il fut ensuite envoyé à Paris pour faire partie de la Commission internationale chargée de l'élaboration du nouveau système métrique.

L'ouvrage auquel Mascheroni doit sa réputation de géomètre, c'est la Géomélrie du compas^ qui parut e^n 1797, en italien (Pavie, in-8), et qui fut traduite en français par Carettc (Paris, 1798 et 1828, in-8) : ouvrage curieux, qui a pour objet de résoudre, uniquement par le compas, des problèmes que Ton résout ordinairement par la règle et le compas. L'idée n'était pas nouvelle. Cardan, dans son livre de Subtilitate rerum^ avait déjà résolu plusieurs problèmes d'Euclide par la ligne droite et une seule ouverture de compas, comme si, dans la pratique, on ne se servait que d'une règle et d'un compas invariables. Tartaglia suivit Cardan dans la même voie, et Benedetti (J. B. de Ben'^dicts) publia là-dessus un livre intitulé: Resolutio omnium Euclidis problematum^ aiiorumqve ad hoc necessarie inventorum^ una tantummodo circini data aperlura (Venise, 1553, in-4). Mais ce ne sont là, comme le remarque Montucla, que des jeux d'enfants en comparaison des procédés suivis par Mascheroni. Deux instruments, la règle et le compas, sont habituellement employés dans la construction de la géométrie ordinaire. Recherchant si, « dans un champ, cultivé et moissonné

par tant de mains, il restait encore quelques épis à glaner, » Mascheroni parvint à trouver un grand nombre de solutions ingénieuses en s'imposant systématiquement de n'avoir recours qu'au seul' usage du compas. Les problèmes de la géométrie euclidienne, tels que deux points étant donnés, trouver autant d'autres points que Ton voudra qui soient avec les premiers en ligne droite ; connaissant les deux extrémités d'une droite, déterminer les pointa qui la divisent suivant telle condition donnée, et cela sans tracer la droite ; insérer dans le cercle les divers polygones qui sont du ressort de la géométrie élémentaire ; déterminer la moyenne proportionnelle entre deux droites don* nées (en entendant par droite donnée la distance de deux points donnés), tous ces problèmes-là furent résolus par Mascheroni au moyen de simples intersections d arcs de cercle, sans le tracé d'une seule ligne droite. Les avantages pratiques de cette méthode sautent aux yeux, quand on songe combien on doit peu compter sur la rectitude parfaite d'une règle. Mais c'est sous d'autres rapports surtout que la Géométrie de Mascheroni mérite d'être signalée. Frappé de l'imperfection des méthodes employées pour graduer les limbes des instruments astronomiques, Fauteur indique des procédés qui répondent aussi complètement que possible à l'exactitude de ces graduations.

Moreau de Maupertuis (né à Saint-Malo en 1698, mort à Bâle en 1759) ne tint pas ce que ses premiers travaux semblaient promettre. Il n'avait pas encore trente ans quand il résolut, presque en même temps que J. BernouUi, le problème proposé par E. Offenburg, et qui était de « percer une voûte hémisphérique d'un nombre quelt5'onque de fenêtres de forme ovale, avec cette condition q^ue leurs contours fussent exprimés par des quantités ûgébriques ; » en d'autres termes, il s'agissait de déterminer sur la surface d'une sphère des courbes algébriquement rectifiables. La solution rentrait dans la classe des courbes

i double courbure. En 1731, Maupertuis deidnt membre pensionnaire de l'Académie. Son Discours sur la figure des astres et quelques autres travaux le désignèrent pour faire partie de Texpédition chargée de mesurer en Laponie un degré du méridien terrestre ^

LA GiOMÉTBIB BéCENTE.

Monge et Garnot ont assis, sur des principes larges el féconds, les fondements de cette géométrie pure, qui se caractérise par son abstraction et sa généridité, et dont Pascal et Desargues ont donné les premiers exemples dans leurs traités des coniques. Cette géométrie, que M. Ghasles appelle la Géométrie récente, est « exempte de calculs algébriques, bien qu'elle fasse un aussi heureux usage des relations métriques des figures que de leurs relations de situation ou descriptives. Mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes' d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles, ni les opérations de l'algèbre*. »

Gaspard Monge naquit en 1746, à Beaune, d'un père marchand ambulant, à qui la justesse de l'esprit et les qualités^lu cœur tenaient lieu de fortune. Il reçut sa première instruction au collège de sa ville natale, et la continua chez les Oatoriens de Lyon. Ses maîtres remarquèrent bientôt la précocité de son intelligence. À seize ans, il s'amusait à dresser le plan de la ville de Beaune à l'aide d'instruments fabriqués de «es propres mains. Ua officier supérieur du génie (le lieutenant-colonel Yigiiau)

1. Voyez, pour plus de détails, notre Eisioirû de ro^fronomù^