M. Ghasles, Aperçu historique, etc., p

vit ce plan à Thôtel de yille, où on l'avait exposé, et il proposa aussitôt au père de faire entrer son fils à l'École de Mézières, destinée à former des officiers du génie. Une dépendance de cette école, appelée la Gâche ^ renfermait les élèves qui n'étaient pas nobles (conséquemment déclarés incapables de devenir officiers), et qui avaient pour fonction de faire les calculs et la besogne pratique dont les éléments étaient fournis par Tétat-major de FÉcole. C'est là que le jeune Monge fut placé, d'abord comme élève, puis comme répétiteur. Cet apprentissage, humiliant en apparence, ne fut pas perdu ; car c'est à l'École de Mézières que Monge conçut le plan de la Géométrie descriptive. En 1768, il devint professeur de mathématiques, et, après la mort de l'abbé Noliet, il fut en même temps chargé de l'enseignement de la physique.

Ses travaux se succédaient rapidement. En 1780, il fut nommé membre de l'Académie des sciences ; il occupa depuis lors un plus grand théâtre. A la mort de Bezout, en 1783, Monge devint examinateur des élèves de la marine. La révolution éclata. Le 10 août 1792, il fut nommé ministre de la marine, ayantpour collègues, Danton à la justice, Rolland à l'intérieur, Servan à la guerre, Lebrun aux finances ; mais, au bout de quelques mois, il se démit de son portefeuille, et prit la part la plus active à la création des moyens de défense dont la France avait alors le besoin le plus urgent. Peu de jours après le 9 thermidor, Monge fut dénoncé comme partisan de la loi agraire par son portier de la rue des Petits-Augustins ; décrété d'accusation, il se déroba par la fuite aux redoutables atteintes du tribunal révolutionndre. La loi du 7 vendémiaire an III, votée par la Convention nationale sur le rapport de Fourcroy, avait ordonné l'organisation de l'Ecole des travaux publics; c'est cette école qui reçut plus tard le nom d'École polytechnique. A l'ouverture de cette école, Monge fut chargé de renouveler son enseignement, et le continua jusqu'en 1809.

Des anciennes académies, supprimées en 1793, sortit, Tannée suivante, la fondation de ilnstitut national, à laquelle Monge eut une large part. En 1796, il fut envoyé par le Directoire, en même temps que Berthollet, en Italie pour recevoir les objets d*art que plusieurs villes devaient céder à la France afin de se libérer des contributions de guerre. A cette occasion il fit la connaissance du jeune commandant en chef de l'armée d'Italie et se lia d'amitié avec lui. Après l'assassinat du général Duphot, Monge fut un des commissaires envoyés à Rome, « pour indiquer les mesures propres à empêcher que de semblables événements ne se renouvelassent, » et il contribua à la proclamation de la république romaine, qui eut une existence éphémère. Les événements se pressaient. L'expédition d'Egypte fut promptement organisée. Monge, aidé de Berthollet, recruta le personnel scientifique de cette mémorable expédition. Le 1®' juillet 1798, il débarqua l'un des premiers sur la côte d'Egypte, et il fallut un ordre formel de Bonaparte, commandant en chef de l'expédition, pour l'empêcher de prendre personnellement part à Tattaque de la ville d'Alexandrie. Nommé président de l'Institut d'Egypte, créé (le 29 août 1798) à rinstar de l'Institut de France, Monge en dirigea les travaux, d'accord avec Fourier, nommé secrétaire perpétuel.

Monge quitta l'Egypte avec le général en chef. Nommé sénateur à la première fournée, en 1799, il fut créé comte de Péluse, comblé d'honneurs et de distinctions par le général Bonaparte, devenu empereur. Ajoutons à son éloge qu'il ne cessa pas de s'intéresser aux progrès des sciences. A la seconde restauration, l'ami de Napoléon perdit la direction de l'École polytechnique qui était licenciée, et il fut, comme Garnot et Guyton Morveau, rayé par Louis XVIII de la liste des membres de l'Institut, reconstitué par une ordonnance royale du 21 mars 1816. Monge ne résista pas à tant de disgrâces, sa belle intelli*

586 HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES.

genoe se Toila, et il mourut le 18 mars 1818, à l'âge de soixante-douze ans.

Travaux de Honge. La gé(»nétrie descriptive.

Nous avons dit plus haut que Monge n'était encore que répétiteur à l'École de Mézières lorsqu'il découvrit les principes de la Géométrie descriptive. Ajoutons ici que les autorités de cette école, poussées par une sorte de patriotisme, empêchèrent le jeune répétiteur de divulguer sa découverte, a pour ne pas aider les étrangers à devenir habiles dans Tart des constructions. » Mais les quinze années d'un mutisme cruel ne furent pas tout à fait perdues pour la science. Ne pouvant pas mettre le public dans la confidence de la méthode de projections qui lui avait fait résoudre les questions les plus difficiles de la géométrie, il traita ces mêmes questions par Tanalyse transcendante ordinaire. Yoilà pourquoi ses premiers travaux portent : Sur la construction des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles; — Sur les fonctions arbitraires continues ou discontinuas; — Sur Vintégration des équations aux différences finies qui ne sont pas linéaires ; — Sur le calcul intégral des équations aux différences partielles. Ces travaux ont été insérés dans le recueil des Savants étrangers (années 1 776- 1 784). D'autres travaux, tels que le Traité élémentaire de statique (Paris, 1788, in-8), et le Dictionnaire de Phy* siqUiCj rédigé eu société avec Gassini, Berthollet, Hassenfratz, etc. (faisant partie de la nouvelle édition de V Encyclopédie méthodique), sortaient du cadre ordinaire des mathématiques pures.

Enfin, la première édition de la Géométrie descriptive^ résumant les leçons données par Monge aux Écoles normales en l'an III de la République, ne parut qu'en Tan YII ( 1 800, in-4, 132 pages, Paris, Baudouin, imprimeur de l'Institut national]. Il ne faut point croire que la géométrie descrip-

tive soit sortie armée de tontes pièces de la tète de Monge.- Desargues, an dix-septième siècle, pour ne citer que ce géomètre, y avait été conduit par ses traités de Perspective et de la Taille des pierres. ]^&n tous les architectes qui se servent de ces dessins spéciaux, où le constructeur peut trouver, en quelque sorte à vue, les dimensions et les formes des parties dans lesquelles il se voit obligé de décomposer un édifice projeté, auraient pu inventer la géométrie descriptive, s'ils avaient fondé leurs épures sur des principes mathématiques, et généralisé leur méthode*

L* auteur commence par définir ainsi le but de son impérissable ouvrage : « La géométrie descriptive a, dit-il, deux objets : le premier, de donner les méthodes pour représenter, sur une feuille de dessin qui n'a que deux dimensions, savoir longueur et largeur, tous les corps de la nature qui en ont trois, longueur, largeur et profondeur, pourvu néanmoins que ces corps puissent être définis rigoureusement. Le second objet est de donner la manière de reconnaître, d'après une description exacte, les formes des corps, et d'en déduire toutes les vérités qui résultent et de leurs formés et de leurs positions respectives. » — Pour faire encore mieux ressortir le but de la géométrie descriptive, nous n'avons qu'à citer ces paroles de François Arago, qui avait suppléé Monge à l'École polytechnique : « Une figure plane peut être représentée sur une surface plane sans aucune altération dans les proportions de ses parties. La représentation est, dans ce cas, une sorte de miniature de la figure réelle ; les lignes qui sont doubles, triples, décuples, etc., les unes des autres dans l'objet, sont également doubles, triples, décuples, etc., les unes des autres dans la représentation. Il n'en est pas <le même d'un corps à trois dimensicnis, d'un corps ayant longueur, largeur et profondeur : sa représentation sur une eur&ce plane est inévitablement altérée. Des lignes qui sur le corps sont égales entre elles^ peuvent être extrêmement inégales dans la représentation plane. Les an-

gles formés dans l'espace par les arêtes ou par les diagonales du corps n'éprouvent pas de moindres altérations comparatives, quand elles viennent à être figurées sur un plan. Malgré ces difficultés, les dessinateurs, les peintres parviennent, à l'aide de divers artifices, à représenter sur une feuille de papier, sur une toile, et de manière à faire illusion, des objets très-complexes, tels que des monuments d'architecture, des machines, etc. On arrive à ce résultat par une application intelligente des principes de la perspective linéaire, des principes encore plus délicats de la perspective aérienne, des principes qui règlent ce que les artistes ont si singulièrement appelé le clair-obscur , ApvL" tons que les représentations pittoresques, si satisfaisantes quand il s'agit seulement de donner une idée générale des objets, seraient à peu près sans valeur pour l'architecte qui voudrait reproduire ces objets avec toutes leurs dimensions. »

Pour montrer ensuite comment Monge faisait de Valgèbre avec de la géométrie, Arago ajoute avec sa clarté habituelle : « Veut-on s'assurer qu'une ligne donnée est courbe? on en approche une ligne droite. Désire-t-on quelque chose de plus ; faut-il connaître le degré de courbure d'une ligne en un certain point? On détermine le rayon du cercle qui, passant par ce point, approche de la courbe le plus possible, le rayon du cercle que les géomètres appellent le cercle osculateur. Ce rayon est-il grand, la courbure est petite, et réciproquement. Des courbes tracées sur des plans, passons aux surfaces.... Parmi toutes les sections curvilignes qui résultent des intersections d'une surface par une série indéfinie de plans sécants normaux, passant par un point donné, il en est une qui, comparativement, possède le maximum de courbure, et une autre le minimum. Les plans sur lesquels ces sections de plus grande et de moindre courbure se trouvent contenues, sont toujours perpendiculaires Vun à Vautre. Les courbures des sections normales intermédiaires peuvent se dé-

T£MPS MODERNES. 589

duire de la plus grande et de la moindre courbure, d'après une règle générale, très-simple. Cette théorie des sections courbes appartient à Euler.... L'imagination a peine à concevoir l'immense variété de formes qui peuvent être déduites des seules équations de tous degrés, dites algébriques. Eh bien, ces formes les plus dissemblables ont un caractère commun; la variété, dans Taspect général, n'empêche pas qu'en un point donné d'une quelconque de ces milliards de surfaces, les deux sections normales de plus grande et de moindre courbure ne soient perpendiculaires entre elleSy et que les courbures des sections intermédiaires ne dépendent des deux premières, suivant une loi simple et générale. Le théorème d'Euler trace, en quelque sorte, une limite que, dans leurs dissemblances d'ailleurs inGnies à d'autres égards, les surfaces géométriques ne peuvent jamais dépasser. Appliqué aux transformations qui découlent des combinaisons de Tanalyse, ce théorème peut être assimilé à ces belles paroles de l'Écriture : ce Océan, tu n'iras pas plus loin. »

(c Les géomètres supposaient qu'une question creusée si profondément par le génie d'Euler était épuisée. Monge montra combien on se trompait. Le travail dont les géomètres lui sont redevables, ne porte pas seulement, comme celui de son illustre prédécesseur, sur la xonsidération d'arcs élémentaires, d'arcs infiniment petits, appartenant aux sections normales faites dans une surface par un point donné. M onge s'occupa de deux courbes indéfinies, susceptibles d'être tracées sur toutes les surfaces possibles. Il me suffira de quelques paroles pour caractériser nettement la belle découverte de notre confrère. Menez une perpendiculaire, une normale, aune surface en un point donné; menez ensuite une semblable normale en un point très-voisin du premier. En général, cette seconde ligne ne rencontrera pas la première : les deux normales ne seront pas contenues dans un même plan. Il y a deux directions, — - deux directions seulement, — dans lesquelles, sans exception

aucune, les normales consécutives se rencontrent. Ces directions, comme les sections de pins grande et de mendie courbure, avec lesqudles, dans une très-petite étendue, elles se confondent, sont rectangulaires entre elles; ces directions peuvent être suivies dans toute l'étendue d'une surface quelconque. Monge les appela les ligius de courbure. On peut appliquer à ces lignes de courbure de Monge toutes les considérations auxquelles j'ai eu recours pour faire ressortir la beauté du travail d'Euler. Notre c<Hifrère a donc eu le trè^rare privilège d'attacher son nom à la découverte d'une des propriétés primordiales des espaces terminés par des surfaces quelconques, avec la seule limitation que ces surfaces soient susceptibles d'une définition rigoureuse ^. 2>

Voici l'appréciation de Tœuvre de Monge par un juge des plus compétents. « La Géométrie descriptive de Monge est, dit M. Ghasles, une source de bonnes doctrines, qui n'a point encoï'e été épuisée. Après y avoir reconnu le germe, plus ou moins développé^ de plusieurs méthodes qui accroissent la puissance et étendent le domaine de la géométrie, nous y voyons aussi l'origine d'une nouvelle manière d'écrire et de parler cette science. Le style, en effet, est si intimement lié à l'esprit des méthodes, qu'il doit avancer avec elles; de même qu'il doit aussi, s'il a pris les devants, influer puissamment sur elles et sur les progrès généraux de la science. Gela est incontestable, et n a pas besoin de preuves \ »

Carnot.

Lazare Carnot^ né à Nolay (petite ville de Bourgogne) le 13 mai 1753, montra de bonne heure une vocation réelle

1. ÂTdigo,' Éloge historique de Monge, dans le tome II, p. 436 et sui?., de ses Notices biographiques.

2, M. Ghasies, Aperçu historique, etc., p. 207-

TEMPS MOI>BRN£S. 591

pour la science militaire fondée sur les mathématiques. En quittant le petit séminaire d'Autun, il entra, à Paris^ dans une école spéciale où les jeunes gens se préparaient aux examens du génie militaire, et il compléta ses études à rÉcole de Mézières sous la direction de Mongo. Il en sortit, en 1773, sous-lieutenant du génie, et fut en>»>yé à Calais. Vers cette époque il s'intéressait beaucoup à la découverte de la navigation aérienne. Son Éloge de Vauban fut couronné, en 1784, par TAcadémie. Gamot s'y associe hardiment au précepte de Yauban, que « les lois devraient prévenir Taffreuse misère des uns, l'excessive opulence des autres, » et, après avoir partagé les hommes en deux catégories, les travailleurs et les oisifs, il va jusqu'à dire de ces derniers, dont, suivant lui, la constitution des sociétés s'est exclusivement occupée, « qu'ils ne commeur cent à être utiles qu'au moment où ils meurent, car ils ne vivifient la terre qu'en y rentrant. »

Dans la même année où Gamot obtint le prix de l'Académie pour son Éloge de Vauban, il lit paraître son Essai sur les machines en général (2* édition, 1787). L'auteur montre que la force directement appliquée à l'élévation d'un poids, que le poids (masse soulevée) et la hauteur multipliés entre eux, donnent un produit constant, qui est la traduction exacte de la force employée ; il fait voir aussi combien il importe d'éviter les changements brusques de vitesse, et il trouve Fexpression mathématique de la perte de force vive, occasionnée par de pareils changements : <c Cette perte est égale à la force vive dont tous les corps du système d'une machine seraient animés, si Ton douait chacun de ces corps de la vitesse finie qu'il a . perdue à l'instant même où le changement brusque s'est réalisé. » Tel est l'énoncé du principe connu sous le nom de Théorème de Carnot,

Garnot embrassa avec enthousiasme les grands principes de la révolution de 1789, et, en 1791, pendant qu'il était en garnison à Saint-Omer, il fut envoyé à TAssëm-

59i UISTOIRK D£S MATHÉMATIQUES.

blée- légiiilative par le département du Pas-de- Calais. Dès lors s'ouvrit devant lui une nouvelle carrière dont nous n'avons qu*à signaler les principales étapes. En 1793, Gamot entra au fameux Comité de salut public, nommé pfir la Convention nationale ; il était chargé de l'administration de la guerre et de la direction supérieure des opérations militaires : il s'agissait « d'organiser la victoiie». Étranger aux fureurs des partis, il ne prit aucune part aux sanglantes proscriptions de la Terreur, ainsi qu'il s'en expliqua lui-même à la tribune, lors de la mise en accusation de ses collègues Billaud-Yarennes, CoUot d'Herbois et Barrère. Après la retraite de la Convention, il siégea au Conseil des Anciens, fît partie du Directoire, et, en 1796, il mit le général Bonaparte à la tête de Tarmée d'Italie. Opposé au coup d'État du Directoire, il dut prendre la fuite, et vécut un moment retiré à Genève et à Augsbourg. Dans cet intervalle il avait publié son livre Sur la métaphysique du calcul infinilésimaL Après le 18 brumaire, il fut rappelé par Bonaparte, qui lui confîa le ministère de la guerre. Nommé membre du Tribunat en 1802, il s'opposa vivement à la création de la Légion d'honneur, du Consulat à vie et surtout à la création de l'Empire. Rentré dans la vie privée, Carnot ne reparut sur la scène qu'en 1814, pour défendre la patrie envahie par les armées étrangères. A la rentrée des Bourbons, il fut de nouveau proscrit. Il mourut le 22 août 1823, à Magdebourg, à l'âge de soixante-dix ans.

Travaux de Carnot. .

Nous avons déjà parlé de VEssai sur les machines. Les Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal parurent en 1797 ; la dernière édition de cet important ouvrage est de 1860 (160 pages in-8). L'auteur fait d'abord très-bien ressortir ce qu'il faut entendre par quantités infinitésimales. « Les quantités sont, dit-il, appelées in-

finilésimales^ non point parce qu'on les regarde comme très-petites, ce qui est fort indifférent, mais parce qu'on peut les considérer comme aussi petites que Ton voudra, sans qu'on soit obligé de rien changer à la valeur des quantités, telles que les paramètres, les coordonnées normales, sous-tangentes, rayons de courbure, etc., dont on cherche la relation. Il suit de là que toute quantité dite infiniment petite peut se négliger dans le cours du calcul, vis-à-vis de ces mêmes quantités dont on cherche la relation, sans que le résultat du calcul puisse en aucune manière s'en trouver affecté. C'est l'opération qui amène le résultat, qui est la chose principale. »

Mais le travail le plus original de Camot et qui mérite ici une mention spéciale, c'est la Géométrie de position (Paris, 1803, in-8), joint à Y Essai des théories des transversâtes. Dans sa conception philosophique, la géométrie de position se rattache, suivant M. Chasles, aux Données et aux Porismes d'Euclide : c'est un de ces Compléments de géométrie que les anciens regardaient comme indispensables pour tous les genres d'applications. « La Géométrie de position et Y Essai sur la théorie des transversales ne doivent point, dit M. Chasles, être séparés de la Géométrie descriptive de Monge, comme ayant été, comme elle, et dans le même temps, une continuation des belles méthodes de Desargues et de Pascal, et ayant aussi, comme elle, contribué puissamment aux nouvelles théories et aux découvertes récentes de la géo*» métrie*.»