ECOLE ITALIQUE OU PYTHAGORICIENNE

Pythagore. Sa vte ef ses ^ravaux.

On n'est pas d'accord sur la vie de Py^bagore, qui paraît être tombée de bonne heure dans le domaine de la légende*. Les uns, comme jlôth, le font naître en 569! avant J. G., dans l'île de Samos, et mourir à Tarente en 470, à Tage de quatre-vingt-dix-neuf ans^. Les autres, comme Brandis, le font mourir octogénaire, pei; de temps après l'an 609 avant notre ère'. Gomme Thaïes, IJythagore fit un long séjour en Egypte, et il fut même, dit-on, agrégé au collège des prêtres 4^ Thèbes (Diospolis), sur 1^ recommandation de folycrate, tyran de Samos, allié d-^ipasis, roi d'Egypte. « C'est là qu'il apprit, raconte Diodore, la géométrie, la doctrine d^es nombres et la transmigration de l'âme dans le corps de toutes sortes d'animaux. 5> Au rapport de Jamblique (Vie de Pythagoré)^ il séjourna vingt ans en Egypte, et, lors de la conquête de ce pays par Gambyse, il partagea

1 . Chassang, Histoire du roman dans V antiquité grecque et latine, p. 232 et suiv. (Paris, 1862, in-8-).

2. Rôth, Geschichte der Griechischen Philosophie, 1. 1, p. 286 (Mannheim, 1 858, in-8'»).

3. Brandis, Geschichte der Entwickelung der griechischen Philosophie, 1. 1, p. 158 (Berlin, 1862, in-8*)

le sort de la caste sacerdotale, emmenée en captivité à Babylone, où il aurait appris Fastrologie et l'astronomie des mages et des prêtres chaldéens. Mais ce récit est contredit par un autre biographe de Pythagore, par Porphyre, qui, après son séjour en Egypte, le fait tranquillement revenir en lonie. Quant à la rencontre de Pythagore avec Zoroastre, et son voyage dans l'Inde, ce sont de simples contes * .

Dans cet intervalle, bien des événements avaient changé Taspect de la Grèce. La prospérité de Tlonie avait passé en Sicile et dans l'Italie Inférieure, connue depuis lors sous le nom de Grande Grèce. Aucune ville du Péloponnèse et de TAttique ne pouvait à cette époque rivaliser en puissance avec Sybaris, Crotone, Tarente, Syracuse, Agrigente. C'est ce courant de la civilisation que Pythagore devait suivre après son retour dans sa patrie. Accompagné de sa mère, d'un disciple, son homonyme, du Thrace Zalmoxis et de deux esclaves, il aborda, vers 510 avant J. C, à Sybaris, visita Tarente et ouvrit une école à Crotone. La nouveauté de son enseignement fit, dit-on, accourir auprès de lui tous les habitants ; Yenthousiasme était si vif, que les matrones et les jeunes filles, enfreignant la loi qui les excluait des assemblées, vinrent pour l'entendre. Parmi ces personnes se trouvait aussi la fille de son hôte, la jeune etbelle Théano, que Pythagore, quoique sexagénaire épouSa par la suite, et qui lui succéda dans la direction de son école. C'est peut-être dans cette différence d'âge, de sexe et de classe de ses auditeurs, qu'il faut chercher l'origine de la division de son enseignement en deux catcgorics. La première catégorie comprenait les simples auditeurs, dxoua-

1. Voy. Lassen, Indische Àlterthumskunde, p. 12 et suiv. — Eugène Burnouf, Commentaire sur le Taçna, p. 424 et suiv. ~ Th. H. Martin, Examen de V ouvrage de Cantor (Mathematische Beitràge, elc, p. 19).

Tixoi, où, comme nous dirions aujourd'hui, les amateurs^ tandis que la seconde catégorie, moins nombreuse, se composait des intimes, des étudiants proprement dits , appelés mathématiciens, uaÔTjaaTixol (de fxàôr.ffiç, étude). Ceux-ci s'appelaient aussi Pythagoriciens, nuOayopixol, pour se distinguer des Pythagoriens^ IIuOaYopetot, ou des Pythago^ ristes, noms donnés à ceux de la première catégorie et à leurs disiftiples. Ces diverses dénominations, indifférentes aujourd'hui, n'étaient point confondues chez les anciens.

L'enseignement exotérique ou externe était une préparation morale et religieuse à la vie du citoyen. Il comprenait en même temps les éléments de la musique et des mathématiques. Pythagore fais^^it le plus grand cas de la musique : il l'appelait la médecine de Vâme, « Il avait, dit Jamblique {Vie de Pythagore]^ inventé des chants qui devaient s'appliquer aux différentes situations de l'esprit : les uns étaient propres à relever le moral abattu; les autres à calmer la colère, etc. » Dans ces chants, le vers sei'vait-il au*musicien à marquer la mesure, ou la mesure musicale était-elle indépendante du rhythme de la poésie? On l'ignore. Quant aux mathématiques, l'enseignement externe se bornait aux opérations du calcul fondées sur quelques règles générales, dont l'énoncé ne nous a pas été transmis.

Cette espèce d'instruction primaire terminée, les élèves passaient sous la direction immédiate du maître : d'externes, ils devenaient internes. Ainsi déclarés en quelque sorte majeurs, ils pouvaient rompre le silence du noviciat, observer, chercher eux-mêmes et se mouvoir librement dans leur sphère d'idées. La durée de l'enseignement ésotérique ou interne était de trois ans, pour rappeler, dit-on, la fête triennale de Dionysos-Osiris. Les initiés avaient un caractère sacerdotal ; c'est pourquoi ils portaient le surnom de religieux^ oeêadTtxoi. Leur genre dévie ressemblait à celui des prêtres d'Egypte, dont nous

parle Hérodote, et leur morale avait beaucoup d'analogie avec celle de Socrate.

Pythagore, s'il faut en croire Stobée et d'autres écrivains, est Fauteur du poëme qu'on attribuait généralement à Orphée et qui renferme la Légende sacrée (îepbç Xoyoç). Ce poème débute, en effet, par Tinvocation d'un principe tout pythagoricien : « Salut, nombre fapaeux, générateur des Dieux et des hommes ! » En voici les principaux dogmes, parfaitement d'accord avec l'enseignement de l'école pythagoricienne. L'intelligence s'efforce vainement d'épuiser la série des causes et des effets ; mais la raison, qui cherche l'unité dans la variété des choses, nous oblige de nous arrêter à une cause première. C'est là ce que Pythagore appelait la cause primordiale, créée d'elle-même, autogène : c'est le Dieu qui a pour corps l'univers, et qui est à la fois un et quadruple ; son nom est tetractys ou quadrinité. Il se nommait ainsi, parce qu'il contenait en lui-même : P Téther, principe actif ou mâle par excellence, appelé aussi monade; 'SL'^ la matière, principe femelle ou passif, qui s'appelait aussi dyade^ parce qu'on la supposait composée d'eau et de terre ou de poussière suspendue dans l'eau, état chaotique de la matière, universellement répandue dans l'espace ; 3** le temps, qui s'appelait trinité, parce qu'il renferme le passé, le présent et l'avenir ; 4° la loi universelle ou l'inexorable destin: elle devait embrasser tout l'univers, l'espace, le temps et la matière * : c'était le contenant^ to Tcepié^ov, la reine Tetractys,

Ces idées, qui étaient des innovations intolérables pour les pontifes du polythéisme grec, attirèrent sur Pythagore et ses disciples la haine des fanatiques. Répandus dans tous les pays civilisés d'alors, les pythagoriciens for-

1. Voir, pour plus de détails, notre article Pythagore dans |a Biographie générale.

maient une véritable confrérie ; ils se reconnaissaient, diton, à certaines pratiques et iftême à certaini^ signes extérieurs.

Voici, à cet égard, une histoire racontée par J^iftblique, qui la tenait d'auteurs plu^ anciens. Un pythagoricien entra un jour, après une longue marche, dans une hôtellerie. Epuisé de fatigue, il tomba malade. L'hôtelier, touché de compassion, Tentourait des soipg les plus affectueux. Cependant; la maladie s'aggrava ; le pythagoricien, qui était pauvre, sentant sa fin approcher, inscrivit un symbole * sur une tablette, qu'il remit à son hôte en l'engageant à l'exposer 4^ manière que tous jes passants pussent l'apercevoir. « Vous ne regretterez pas, }ui dit-il, de m'avoir fait du bien ; ce symbole en répondra. » Le malade mourut, et l'hôtelier l'ensevelit honorablement. La tablette était déjà depuis longtemps exposée comme enseigne, lorsqu'un jour un voyageur y reconnut le symbole sacré : c'était un pythagoricien; il descendit chez l'hôtelier et le rémunéra largement.

Suivant le scolaste d'Aristophane (dans les Nuées) ^ et Lucien [Pro lapsu in salutando)^lG symbole qu'employaient les pythagoriciens pour se reconnaître, était le pentagone étoile (fig. 3).

On connaît l'histoire de Damon et Phintias, et comment Denys le Tyran voulut être admis dans Tamitié de ces deux pythagoriciens. Il y avait, en effet, honneur et profit d'appartenir à cette b^lle association, qui réalisait Fig. 3.

le rêve de beaucoup de philanthro- ' pes, association où les riches devaient partager leurs biens avec les pauvres, en entendant par richesses, non

1 . Ce symbole s'appelait aussi pentctgrammey parce qu'on s'appliquait à le tracer d'un seul trait {•^pà\kp.a signifie trait ou %n«). Les membres de là confrérie qui s'en servaient symbolisaient par là le

pas celles que recherchent « les habiles du monde », mais les richesses de Tintelligence et du cœur qui seules attestent la véritable noblesse de l'homme.

Cette union des pythagoriciens était nécessaire pour faire face aux hostilités des hommes d'État et des pontifes, inquiets de la nouveauté de l'enseignement scientifique, politique et religieux. Les disciples de Pythagore avaient en commun, non-seulement leurs biens, mais surtout leurs idées. Cette solidarité intellectuelle, dont ces antiques francs-maçons offrent l'exemple le plus saisissant, explique pourquoi il est si difficile, au milieu des lambeaux de texte conservés par les anciens, de distinguer ce qui appartient en propre au maître, ou ce qui doit être mis sur le compte des disciples.

Idées pythagoriciennes.

Bien mettre en lumière l'influence de Pythagore sur le progrès des mathématiques, c'est une entreprise extrêmement difficile et qui a été jusqu'ici tentée en vain. j La principale difficulté tient au défaut de documents directs et positifs. Ajoutons que les fragments des écrits de - Pythagore ou des plus anciens pythagoriciens que nous ont conservés Aristote, Diogène de Laérte, Cicéron, Plutarque, Sextus Empiricus, Jamblique, Proclus, Stobée, Théon de Smyrne, Nicomaque de Grélase, etc., sont loin de se compléter quand ils ne se contredisent pas les uns les autres. Cependant ces fragments suffisent pour mettre hors de doute que Pythagore considérait les mathématiques comme la base de toutes les connaissances humaines^ ou, pour nous servir du langage de l'école ionienne (dont

mot salut : 5> av^iêoXtd icpà; coù; Ô(aoo6^ou; ix^yxo, TriEIAi 7cp6c àuTÛv cbvopidUTo. C'était le cura ut valeas des Romains ou notre souhait de bonne santé l

Pythagore avait hérité) ^ il regardait ks rapports des quarttités (véritable définition des mathématiques) comme le principe de toutes choses^.

Une chose non moins incontestable, c'est que les idées pythagoriciennes ont donné la première impulsion aux tentatives de combiner l'arithmétique avec la géométrie *. Mais pour comprendre ces idées et en concevoir toute l'importance, il faut faire abstraction de tout ce qui a été acquis dans l'intervalle qui nous sépare de l'antiquité, il faut, en un mot, nous transporter à l'époque de Pythagore et essayer de nous identifier en quelque sorte avec cet homme de génie par l'assimilation de ses idées. La chose n'est pas y)solument impossible, à la condition que l'esprit, livré à lui-même, se débarrasse un moment de toute la science moderne. La science d'aujourd'hui est un miroir trompeur, en ce sens qu'elle ne pourrait rendre que très-infidèlement la physionomie de la science primitive. Il faudra donc soi-même se mettre à l'œuvre, comme s'il s'agissait de créer la science des nombres, au risque de se donner la fièvre arithmétique^. Mais pour réussir dans cette laborieuse entreprise, il importe de ne jamais perdre de vue les trois points suivants :

!• Pythagore était, avant tout, un observateur philoso-

1. Il importe de rappeler ici que le mot grec àpi6{ià;, d'où vient le mot rhythme» ne signifie pas seulement nombre, mais quantité et rapport. Voy. Aristote, Métaphys., I, 5. — Cicéron, Acad. QtMSSt,, IV, 37. — Sexlus Empiricus, IJypotyp,, III. — Stobée, Eclog., I, p. 289 (édit. Heeren).

2. Elles reçurent de Pythagore une importante application à Tacoustique, comme nous l'avons montré ailleurs {Histoire de la Physique, p. 71^ et Histoire de VÀstronomiey p. 105).

3. Que ce mot ne fasse pas rire le lecteur. La fièvre arithmétique existe, bien que la nomenclature pathologique n'eu fasse pas mention. C'est une maladie très-réelle et souvent très-longue, caractéri sée par une absorption complète et constante de l'esprit, noyé nuit et jour dans un océan de chiffres sans bornes. Experto crede Roherto,

phe, et, comme tel, il devait particulièrement fixer son attention sur le fonctionnement des facultés humaines. Ces facultés comprennent naturellement, d'une part les sens qui. nous donnent les impressions externes; de l'autre, Tintelligence et la raison, facultés assimilatrices, qui élaborent, intérieurement les impressions reçues du dehors. Tel est Voutillage dont l'emploi crée la science et assigne à rhomme sa vraie valeur. Or, il n*est pas nécessaire d*être un Pythagore pour savoir comment fonctionnent les sens, ces qrganes de préhension de Tintelligence, facultà digestive de la pensée. Non-seulement les sens ne perçoivent rien en dehors des conditions de l'espace et du temps, mais les perceptionçt sensorielles ne sont claires qu'à la condition d'être distinctes ou discontinues, c'est-à-dire séparées par des intervalles bien appréciables. Ainsi, dans l'évaluation mathématique des phénomènes qui tombent sous les sens, tout se ramène à une unité comme à une mesure commune, dont les nombres, les poids ou les mesures exprimés, sont des multiples ou des sous- multiples. Quant aux facultés assimilatrices ou généralisatrices (intelligence et raison), à juger par leurs produits qui se nomment idéeSy abstractions, piHncipes^ lois, etc.^ elles ont pour but d'imprimer aux perceptions . SQ4^orielles le caractère de la vérité ou de la continuité indéfîiiie par l'élimination des conditions accidentelles de l'espace, du temps, de la matière et des grandeurs définies. Mais cette élimination n'empêche pas de concevoir les quantités (points, lignes, plans) comme projetées ou se mouvant dans l'espace; c'est ainsi que par sa propre intuition l'esprit supplée au défaut de l'intuition sensorielle, son premier point d'appui. Ce sont là des considérations que nous avons déjà signalées au commencement, et sur lesqiielles on ne saurait trop insister.

Yoilà donc comment du fonctionnement dès sens et de l'intelligence, notre outillage naturel, découle la division des mathématiques en arithmétique et en géométrie. Pytha-

gore fut-il le premier à se* servir de cette division? Nous l'ignorons. (Ge qu'il y a de certain, c'est que les noms d'arithmétique, àpt6[XY)Tix^, et de géométrie^ Y6(»)fxsTp{a, sont fort anciens, et que dès le siècle de Platon ils s'appliquaient aux deux parties fondamentales des mathématiques pures, parties spéculatives, auxquelles correspondaient, dans la pratique, la logistique^ Xoykitixjj (calcul), et la géodésie, ^ÊwSeaia. Mais, de même que les facultés, sensorielles et intellectuelles, se trouvent réunies dai^s un même tout, composant l'individu, de même aussi l'arithmétique et la géométrie, représentant cps facultés, n'étaient jamais . séparées Tune de l'autre : elles formaient pour ainsi dire un corps harmonique, organisé, vivant.

2^ Le monde, 6 xocfAoç, ce contenant de toutes choses, étant réputé sphérique, toutes les figures géométriques devaient être primitivement considérées comme inscrites dans un cercls, section de la sphère, image du monde. Mais la sphère-monde contenait aussi, comme œuf universel, tous les germes de la vie avec leurs indices de développements variés , ainsi que Ips combinaisons de la matière inerte, cristallisée ou géométriquement régulière, avec la matière diversifiée, ondulée, vivante. Ces conceptions et analogies ont été exagérées par l'école néoplatonicienne, qui a tant emprunté aux doctrines de Pythagore.

3° Tout étant en mouvement dans le monde, icav àsl xtvou(A6vov, la génération ou le devenir, to YivecOat, par progressions, tant discontinues que continues, devait être la principale préoccupation des premiers philosophes-géomètres, particulièrement de Pythagpre et de son école. La recherche du point de départ ou de l'origine de ce qui se développe, à l'instar d'un ge^me, devait donc figurer en tête de leur programme d'études. Une fois ce point de départ (rapport de la progression) trouvé, le mouvement devait continuer, comme de soi-même, à l'infini, sans jamais s'arrêter. L'infini, ainsi compris, n'est pas abso-

lument distinct du fini, bien qu'il échappe à toute détermination sensiblement ou matériellement quantitative.

En prenant pour guide les trois points ci-dessus indiqués, on pourra hardiment aborder le problème de la reconstitution de la science pythagoricienne avec les fragments qui nous en restent.

L'arithmétique combinée avec la géométrie.

Les nombres qui reviennent le plus souvent dans les doctrines pythagoriciennes et qui ont la valeur de principes, sont : un ou Vunitéy deux ou la dyade^ trois ou la triade^ quatre ou la tétrade^ enfin les nombres huit et dix.

Au milieu des obscurités naturelles ou calculées dont les pythagoriciens enveloppaient leur langage, on parvient cependant à comprendre qu'ils distinguaient Twn, to £v, de Yunité monade, i\ (/ovàtç. h* un était le Tout un ou le grand Tout, La monade était Tunité génératrice de tous les nombres. En effet, chaque nombre contient autant de fois Tunité que sa valeur l'indique ; et si l'on représente l'unité par un point, les nombres ne seront que des sommes de points déterminées. La disposition de ces unités-> points, également espacés, dans le sens vertical^ ne devait pas être tout à fait arbitraire. En prenant pour modèle le corps de l'homme dans lequel les membres, organes du mouvement, sont situés latéralement, à droite et à gauche des parties qui forment la ligne médiane, on représentera dichotomiquement ou par voie dualistique, à commencer par la tête et les deux bras, disposés en triangle (élément géométrique), la génération de tous les nombres. Les nombres pairs ou symétriques sont produits par la sommation des points latéraux (horizontaux), après la suppression de la ligne médiane verticale. Ainsi, dans la figure ci-dessous, on a (en commençant par en haut) toute la série des nombres pairs, 2, 4, 6, etc.,

par la lecture (sommation) horizontale des points (unités) latéraux, symétriques.

En y introdjUisant les points médians, à partir de Tunitépoint, figurant la tête, on a parla même lecture ou sommation horizontale : 1, 3, 5, 7, etc., c'est-à-dire toute la série des nombres impairs ou asymétriques, (Voy. le groupement des points ci-dessous.)

La figure ainsi obtenue est, comme on voit, celle d'un triangle rectangle isoscèle, composé lui-même de deux triangles rectangles isoscèles égaux. La sommation ou lecture verticale de la ligne médiane (côté commun des deux triangles rectangles isoscèles) donne 1,2, 3, 4, etc., ou la suite naturelle des nombres^ qui est encore donnée par la sommation des points (unités) formant les côtés du triangle rectangle.

Si, à partir du premier point, égal à 1 , on additionne à la fois horizontalement et verticalement tous les points ainsi groupés, on aura, par cette sommation successive, une série de triangles exprimés par les nombres 1, 3, 6, 10, etc. En effet,

1 4- 2 + 3 + 4 = 10, etc. =

mST. DES MATH.

Oes nombres ont reçu le nom de nombres triangulaires. En les additionnant à leur tour, on obtient les nombres 'pyramidaux 1, 4, 10, 20, etc.

1 + 3 + 6 + 10 = 20 etc.

La formation des nombres pyramidaux par des points se démontre comme celle des nombres triangulaires. Si Ton prend, par exemple, une pyramide équilatérale et triangulaire, et qu'on la divise par des plans parallèles et équidistants, formant des triangles parallèles à sa base, il sera facile de montrer que, si le premier de ces triangles contient 3 points, le second en contiendra 6, le troisième 10, etc., enfin que le nombre des points de chacun de ces triangles sera un nombre triangulaire. Ainsi, la pyramide initiale, celle qui a le premier triangle pour base, contiendra 1+3=4 points, la seconde 1+3 + 6 = 10 points, le troisième 1 + 3 + 6 + 10 = 20 points, etc.

Les nombres pyramidaux appartiennent à la classe des nombres solides^ comme les nombres triangulaires appartiennent à la classe des nombres plans^ et la suite naturelle des nombres (progression arithmétique de 1) â la classe des nombres linéaires.

Pythagore connaissait-il les nombres dits figurés ou polygones; connaissait-il les nombres linéaires (figurés du premier ordre), les plans (figurés du second ordre}, et les solides (figurés du troisième ordre) ? Incontestablement , s'il faut en juger par l'enseignement de l'école pythagoricienne, dont Euclide faisait partie.

Il est permis de douter que Pythagore et ses disciples immédiats se soient appesantis sur les nombres pyramidaux pour se rendre compte de la génération des puissances soliàes (stéréodynamies)^ à partir du cube. Mais on

pourra admettre comme certain que la connaissaiiGe qu'ils avaient des progressions arithmétiques devait les pousser vers une étude approfondie des nombres polygonaux, à commencer par les nombres trigones ou triangulaires qui, comme nous venons de voir, résultent de la sommation des termes de la progression arithmétique, dont le rapport ou différence est 1 (suite naturelle des nombres). La progression, dont la différence des termes successifs est 2, comme 1,3, 5, 7, etc. (suite des nombres impairs), fournira, par le même procédé de sommation, la série des nombres tétragones on carrés 1, 4, 9, 16, etc., ainsi figurés :

i 4 , ••. •*•« etc.

1 4 9 . 16, etc.

La progression arithmétique 1,4, 7, 10^ etc., dont la différence des termes successifs est 3, donnera, par le même procédé, la série des nombres pentagones, 1, 6, i2f 22, etc.; la progression de 1, 5, 9, 13, etc.<, ayant 4 pour différence constante (rapport), donnera la âérie des noinbtes hexagones, 1, 6, 15, etc. On trouvera par la même méthode les nombres heptagones, octogones^ ennéagones^ etc.

Pour représenter un pentagone, un hexagone, etc*^ par des points (unités), on commencera par tracer un petit polygone régulier, qui ait le nombre de côtés qu'on demande; ce nombre reste constant pour une même série de nombres polygones, et il est égal ,à 2 + ^î ®û désignant par d la différence (rapport) de la projgression arithmétique qui a produit la série. Les deux figures de la page suivante (fig. 4 et 5), indiquant Tune les nombres pentagones , l'autre les nombres hexagones , nous dispensent de plus longues explications.

Par leur division en triangles et leurs transformations,

ces polygones pouvaient fournir matière à des considérations fort curieuses, auxquelles les pythagoriciens avaient

Fig. 4.

Fig. 5.

été très-probablement conduits. Peut-être avaient- ils également tiré parti, avant Archimède, des polygones inscrits et des polygones circonscrits à un cercle.

Pour exprimer la formation générale des nombres, que nous venons de passer rapidement en revue, Pythagore et ses disciples employaient-ils des symboles particuliers, remplissant le même but que nos expressions algébriques? Très-vraisemblablement. Ainsi, par exemple, un signe convenu pouvait fort bien remplacer la formule 2 a, qui donne tous les nombres pairs, si a prend successivement la valeur de 1, 2, 3, 4, etc. Ce qui tendrait à prouver que Técole pythagoricienne avait un signe équivalent, c'est que le mot qui signifie le pair^ to àpxiov, pris au neutre, fait sous -entendre, non point le mot àpiôuo;, ô, nombre déterminé, mais celui de gtoi/jîov, symbole ou élément des nombres (pairs). La même remarque s'applique à la série des nombres impairs, dont l'élément ou principe générateur, to icipiTtov (conception abstraite), pouvait avoir pour symbole une expression correspondante à 2a 4- 1) ou à 2a — 1. Le nombre 2 constant (coefficient) représentait, pendant que a variait , la fonction de la dyade, Sua^. Quant à l'unité, elle conservait son rôle de

générateur de tous les nombres, comme le montre le groupement des points-unités ^

Les nombres impairs « avaient, suivant la doctrine de Pythagore, un commencement, un milieu et une fin, tandis que les nombres pairs manquaient de milieu*. » Cette doctrine s'accorde parfaitement avec ce que nous venons de dire des nombres symétriques et asymétriques*.

Qu'était-ce que le pair-impair^ to opTioTreptaeiov, sur lequel les commentateurs ont tant discuté? C'était sans doute les nombres pairs, multiples des nombres impairs par 2 , d'après cette formule : »

Les nombres de cette classe ne sont divisibles que par 2 (la dyade), tandis que tous les autres nombres pairs sont divisibles par 4 (la tétrade). Cette connaissance ne devait pas être indifférente pour Fesprit spéculatif des pythagoriciens ; d'abord elle montrait que tous les nombres pairs peuvent être ramenés aux nombres impairs d'où ils émanent par voie de multiplication dyadique^ et cela explique pourquoi les nombres impairs, inattaquables, indivisibles par 2, passaient pour le type de la perfection qui devait les rapprocher de la divinité; puis elle pouvait, comme nous le ferons voir, donner une idée exacte de la constitution des carrés nombres impairs, qui, diminués de 1, sont tous divisibles par 4.

Tous les carrés en général, tant pairs qu'impairs, pouvaient être figurés, d'une manière générale et comme symbole, par D , signe identique à aa ou o*.

Quant aux progressions arithmétiques, qui, par la sommacion de leurs termes, donnent les nombres polygones,

l.Aristote, Métaphys., I, 5: Toû oèàpiOpioû CToixsîa, xô àpxiov xalxô népixxav.... Tèv 6è àpiô(i.ôv ex xoO évo;.

2. Tennemann, Geschichte der Philosophie, t. I, p. 103 (édit. de Wendt, 1829).