Voyez p

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elles pouvaient être représentées, d'une manière générale, par l'union de deux signes, remplissant le même but que l'expression na, où n, nombre constant, désigne le rapport (différence) de la progression, pendant que a, nombre variable, indique successivement, depuis 1 , tous les termes de la progression. Enfin, il ne devait pas être difficile de trouver un symbole pour exprimer le nombre des angles ou des côtés du polygone, qui est, comme nous l'avons dit, indiqué par n + 2.

Les nombres tricmgulair^ , fournis par la progression où n (rapport) est = 1 , paraissent avoir particulièrement exercé Tesprit des pythagoriciens. Ils avaient sans doute remarqué que tout nombre triangulaire est égal à la moitié du produit de deux nombres consécutifs (deux facteurs ne différant Tun de l'autre que deTunité), ou, ce qui revient au même, à la moitié du tétragone (nom grec du carré), augmenté ou diminué de sa racine, suivant que celle-ci représente le plus petit ou le plus grand des deux facteurs. Ils ne devaient pas non plus être embarrassés pour , exprimer l'acquisition de oe résultat par un symbole quelconque, équivalant, soit à

(a4-l).<^ a* -ha . ^ (a — l).a a* — a

Le plus important des nombres polygones, au point da vue des doctrines pythagoriciennes, c'était le carré. Mais il importe de dire auparav^mt un mot de Topigine des proportions, d'un ai fréquent usiage.

Conception des proportions et des progressions.

Tout dépend ici, comme partout ailleurs, de la manière de concevoir les choses. Une quantité absolument isolée, qui ne se rapporte à rien, est un non-sens. Toutes les quantités sont donc liées entre elles, et ce que chacun y cherche en quelque sorte instinctivement, c'est leur com-

mune mesure. Cette commune mesure est, pour tous les nombres entiers , Tunité : ils sont tous divisibles p^r 1. Qu'y a-t-il donc de surprenant à ce que lunité revienne sans cesse dans les doctrines pythagoriciennes? « L'Un (xo îv) est le père des nombres, » dit Philolaûs, Tun des principaux disciples de Pythagore. Puis, ae plongeant dans ses idées cosmogoniques, il ajoute ; c< L'Un est donc le père des êtres, le père et le démiurge (ôijfAiovjpYo^) du monde. C'est lui qui, par son unité efficî^ce et perpétuelle, maintient éternellement la permanence des choses et des êtres de la nature*. >)

On ne pouvait mieux appeler l'attention sur le fonc^ tionnement de l'unité. En effet, toute quantité reçoit sa valeur du nombre d'unités qu'elle contient; et elle la reçoit, soit par voie additive, spit par voie multiplicative. Toute quantité implique donc deux termes : l'unité et le nombre d'unités. Ces deux termes comparés, — toute comparaison exige au moins deux termes, — forment un rapport^ le premier de tous ; mais, pour comparer deux rapports, il faut deux autres termes, ce qui fait au total quatre termes, et c'est là ce qui forme une proportion. Si le premier rapport n'est égal au second, ni additivement, ni multiplicativement, les quatre termes donnés n'auront aucun rapport entre eux , ils ne formeront pas une proportion. Si, au contraire, le troisième terme, pour former le quatrième, reçoit additivement le même nombre d'unités qu'avait reçu le second terme pour former le troisième, les quatre termes formeront ensemble une proportion, une proportion, arithmétique ou additive; d'où il résulte que la différence (rapport) entre le second et le premier terme est égale à la différence (rapport) entre le troisième et le second, ainsi qu'à celle qui existe entre le quatrième et le troisième, et que la somme des deux termes du milieu

1. Fragments de PhilolaûSy p. 137 et 169 (édit. Bœckh).— Ed. Chaignet, Pythagore, t. II, p. 11.

(termes moyens) est égale à celle des deux extrêmes. Les quatre premiers nombres de la suite naturelle, 1, 2, 3, 4, forment le type de la proportion arithmétique. Si la proportion est indéfiniment continuée avec le même rapport (différence constante), elle prendra le nom de progression arithmétique.

La proportion est géométrique^ si le troisième terme est contenu autant de fois, par voie multiplicative, dans le quatrième, que Tunité est contenue dans le second; d'où il est facile de démontrer que le produit des deux extrêmes est égal au produit des deux moyens, et réciproquement. Si, à partir de l'unité, on continue la proportion avec le même rapport (multiplicateur constant), on aura une pro^ gression géométriqi^e, série des puissances successives. Si la différence des deux termes moyens est égale à 0, le produit des deux extrêmes seraTéquivalent d'un carré (produit des moyens), ce qui s'exprime par a : b :: b : c, d'où ûc = 6^^ Cette proportion continuée donne la progression géométrique la plus remarquable. Soit, par exemple, a = 2; 1 étant contenu 2 fois dans 2, ce nombre, constant, sera le rapport ou la raison de la proportion ; car 1 est à 2, comme 2 est à 4, ou I : 2 :: 2 : 4 ; et en continuant la proportion , on aura : 2 : 4 :: 4 : 16 ; 16 = (2^)* = 2*; 4 : 16 :: 16 : 256 ; '256 = (2*)^ = 2^ Ces moyennes proportionnelles donnent la progression suivante : 1 , 2*, 2*, 2*, 2", 2", et d'une manière générale, a***; c'est-à-dire que si Ton donne à n successivement, la valeur de 0, 1, 2, 3, etc., on aura : a* a^ a* a* a" a'^, etc. Cette progression des moyennes proportionnelles ne contient aucun cube, ni, en général, aucune puissance à exposant impair.

Si nous avons cru devoir rappeler ces particularités élémentaires (que les Pythagoriciens devaient connaître), c'est parce que les expressions de [/effo-nriç et de àvaXoYta, employées par les anciens, ont vainement exercé l'esprit de la plupart des interprètes et des commentateurs. Le mot fAeaoV/iç, moyenneté^ nous parait signifier le rapport

ou la raison^ indiqué par les termes moyens d'une proportion, tandis que le mot àvaXoYia, ana/opie, désigne la proportion continue ou la progression *. Suivant Nicomaque, Jamblique et Théon de Smyrne, propagateurs de l'enseignement pythagoricien, il faut ajouter à la moyennetè^ ^t<s6vt\(;^ arithmétique et géométrique^ une troisième espèce, la moyenneté harmonique.

Qu'était-ce que Vanalogie harmonique^ àvaXoYia àpfAovtxv) ? On admet généralement que c'était une combinaison d'une progression géométrique avec une progression arithmétique. Mais, en tenant compte de l'esprit, beaucoup plus pratique qu'on ne se l'imagine, des pythagoriciens, — leurs spéculations théologico-cosmogoniques n'étaient au fond que des applications arithmético-géométriques exa gérées , — nous avons lieu de croire que Y analogie harmonique comprenait ce genre particulier de progressions qui donnent naissance aux nombres figurés (polygones, pyramides, polyèdres).

Ainsi, pour le rappeler, la suite des nombres triangulaires,

0, 1, 3, 6, 10, 15, etc.,

ayant pour différence,

1, 2, 3, 4, 5, etc.,

1. Le mot àvàXo^ov s'applique, d'après la définition d'EucIide, particulièrement à la progression géométrique. — Rappelons^ en passant, que M. Bienaymé a montré, dans une intéressante note sur deux passages de Stobée, jusqu'alors mal compris des interprètes, que le mot Sx6eai; signifie, non pas exposition, mais série. « Quelques-uns, dit Stobée, citant Moderatus [Eclogœ physieas, 1,9, vol. I, p. 20, édit. Heeren), ont présenté comme le prîncipe des nombres, twv dpiô^ûv àpxriv, la monade (tt?)v (lovaSa), tandis qu'ils présentaient VVn (xô êv) comme le principe des choses nomhrées (tûv àpi6(jiY)Tb>v) . Or, cet Un est un corps divisible à l'infini, de manière que les choses nombrées diffèrent des nombres proprement dits, comme les corps difierent des choses incorporelles. Mais il faut savoir encore que les modernes (ol veurepoi) ont introduit comme principe des nombres la monade «t la dyade, et que les anciens pythagoriciens avaient intro-

106 HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES,

(progression arithmétique de 1), donne, car Taddition successive de ses termes, les nombres pyramidaux (pyramide à base triangulaire ou tétraèdre) :

Q, 1, ^, 10, 20j 35, etc.*, différence, 1, 3, 6, 10, 15, etc.

Les nombres tétragones (carrés),

0, I, 4, 9, 16, 25, etc.,

ayant pour différence,

3, 5, 7, 9, etc.,

(progression arithmétique de 2), donnent, par l'addition des carrés au produit des v nombres naturels avec les nombres impairs, la suite que voici :

1, 2* + (lX3), 3« + (2X5), 4^+(3X7), etc., = 1, 7, 19, 37, etc.,

espèce de progression conjuguée {anharmonîque?) qui,

doit comme principes toutes les séries de termes successifs (Tràaaç irapà TO élYJç toç twv Ôpwv éxôéffeiç), par lesquelles se conçoivent les nombres pairs ou impairs. » Tel est le principal passage de Stobée. (Voy. M. Bienaymé, dans les Comptes rendits de V Académie des sciences, 3 octobre 1870.)

l. En sommant ces pr^iers triangulaires pyramidal^, on obtient \e^ seconds pyramidaux triax^gulaires; avec les sommes de ceux-ci, on a les troisièmes pyramidat^x triangulaires, etc. A leur tour, les sommes de» nombres pentagones donnent les premiers pentagones pyramidau»; les sommes 4q ceux-ci, les seconds pentagor^s pyrckmi^ dawoj, et ainsi de suite. Une chose digne de remarque, et qui ne de yait pas avoir échappé aux pythagoriciens, c'est le rôle fondamental que joue le triangle dans ces transformations, aboutissant à wn solide (pyramide) terminé par un polygone, qui lui sert de base, et par des plans triangulaires qui s'élèvent sur les côtés du polygone et qui vont tous se réunir en un même point, au sommet (sommet de la pyramide). De là à l'idée d'après laquelle le polygone régulier d'utt nombre infini de côtés est égal au cçrçle, et que les nombres pyramidaux de ce polygone forment le cône, il n'y avait qu'un pas.

par la sommation de ses termes, donne la série des nombres hexaèdres ou cubes*. Un cube renferme donc tous les cubes qui le précèdent, comme un carré contient tous les carrés antécédents, de même que tout nombre peut être considéré comme la somme-unité de toutes les unités simples dont il se compose. C'est sans doute dans ce sens qu'il faut prendre les expressions de fjLovèt<; -reptotwâouulvYi, unité de la première donnée (1" puissance), de fjiovà<; SsuTEpco^oufiiÉvY) , unité de la seconde donnée , de f^ovàç TptT(o$oufxév7) , unité de la troisième donnée.

Quoi qu'il en soit, Pythagore et ses disciples doivent avoir singulièrement approfondi la doctrine de la proportionnalité', sur laquelle repose la similitude des figure» géométriques. Leurs théories astronomico-acoustiques ' les avaient conduits sans doute à combiner entre elles des progressions géométriques et des progressions arithméti* ques, à harmoniser les unes avec les autres *.

la. triade.

La triade ou trinité, xpiàç, ouvre, comme nombre 3, la série de tous les nombres impairs de toutes les puissances à l'infini. La monade, ^î fAoviç, l'unité type, indivisible, était laissée en dehors de la série.

1. La formule générale de cette progression particulière de la différence de la série des cubes en nombres est 3a* + 3a H- 1> où a prend successivement la yaleur de 0, 1, 2, 3, 4, etc.

2. La propùrtionaH$é^ oomme fondement de la »lmilitude, avait certainement, dé» le principe^ fixé ^attention de» pythagoriciens. Ils savaient, entre autres, que « toute ligne parallèle à Tun des côtés d'un triangle divise les deux autres côtés en parties proportionnelles. »