Philolaûs, Fragm., p. 151 (Bœckh

pairs : 3, 5, 7, etc. La ceinture génératrice d'un carré, qui par sa forme rappelle Téquerre, le triangle rectangle du maçon, voilà le gnomon ^ Y^wfjwov, probablement ainsi nommé, parce qu'il figure un angle droit, de même que le gnomon proprement^ dit (stèle verticale) forme un angle droit avec son ombre projetée horizontalement. Au reste, s'il restait quelque doute sur la signification du mot yvw(*wv, le passage suivant d'Aristote (dans ses Catégorks)^ rapproché des passages que nous venons de citer, le ferait cesser immédiatement : k Quand on met, dit-il, un gnomon autour d'un carré ^ ce carré est augmenté dans sa dimension; mais l'espèce de la figure n'est pas changée, c*est-à-dire qu'elle reste un carré. ?>

Examinons le gnomon de plus près. La différence de deux carrés consécutifs, c'est-à-dire dont les racines ne diffèrent Tune de l'autre que de 1 , figure deux rectangles égaux qui se coudent à angle droit. C'est à eux que se rapporte évidemment la dénomination de tautomèqueSy TauTO(ji>ÎKÊi(; , ou de figures contenant chacune la même surface. Leur somme a -f- a = Sa est le type du nombre pair. Ces rectangles, les tâutomègues^ en embrassant toujours deux côtés de chaque carré antécédent, forment tous les nombres pairs à l'infini. En effet :

Mais le gnomon renferme encore un autre élément es-, sentiel : c'est le carré-unité, sur lequel s'appuient invariablement les deux rectangles, ou tttutOîïièqueSi égaux. Par l'addition de cet élément, les tautomèqUes deviennent hétéromèques, lTepo(jLYÎxetç*. C'est ainsi que l'unité, succes-

1. Nous signalerons ici aux interprètes une distinction importante

sivement ajoutée aux nombres pairs, donne, à partir de 1, comme nous Tavons déjà fait voir, tous les nombres impairs à l'infini.

Voilà comment s'explique, selon nous, le passage d*Aristote, d'après lequel « le pair est Tinfini, qui, entouré et déterminé par l'impair, donne aux êtres (hétéromèques) l'élément de l'infini. » L'infini devait donc, pour le rappeler, se comprendre dans le sens de la continuité d'une progression.

La série des gnomons étant la série des nombres impairs, la conception des carrés-sommes, c'est-à-dire des carrés composés eux-mêmes de deux carrés, devait se présenter d'elle-même à tout esprit quelque peu attentif. En effet, puisque la série des gnomons comprend tous les nombres impairs, elle doit nécessairement comprendre aussi tous les carrés impairs; et, comme chaque gnomon entoure un carré, il est évident que tout gnomon y égal à un carré impair , forme avec le carré (antécédent) qu'il entoure, un carré-somme^ c'est-à-dire un carré^somme de deux carrés. Ce n'est pas tout. Tout carré pair pouvant être décomposé en deux nombres impairs consécutifs , il en résulte que tout carré pair^ somme de deux gnomjons consécutifs^ forme^ ajouté au carré (impair) qui le précède (somme de tous les gnomons antécédents), le carré (impair) qui suit^.

à faire :- le x6 êTsp6v est le différent y mais le semblable ou de même espèce, tandis que ta ocXXo, Vautre j est le dissemblable ou d'espèce différente. Quant au mot Tavxèv, sa valeur n'est pas douteuse, c'est V égalité-identité. Ces mots sont d'un usage fréquent chez les philosophes grecs.

1. Ce que nous venons de dire sur les carrés impairs compris dans la série des nombres impairs^ et sur la formation des carrés pairs par la somme de deux nombres impairs consécutifs, semble donner la clef d'un passage de Proclus (Comment, sur Euclide, X, 29), obscurci par les interprètes, où il est question de deux méthodes, Tune de Platon, pour trouver les carrés pairs, et l'autre de Pythagore, pour trouver les carrés impairs, somme de deux carrés (carré de l'hypoténuse).

Mais sont-ce là tous les carrés, sommes de deux carrés, exprimables en nombres? Pythagore s'était certainement posé cette question. Pour y répondre, essayons de nous identifier davantage avec la méthode de construction que devait avoir suivie ce grand philosophe -géomètre.

On s'est demandé ce qu'il faut entendre par l'un premier ^ et Fun ayant une grandeur^ to irpwTov Iv, et to 2v jA8Y«ôoç e/ov (Philolaùs). Nous répondrons que Vun premier^ c'est la monade-germe ; il est distinct de Cun ayant une grandeur; celui-ci est l'unité qui se développe et qui, en grandissant, peut aller jusqu'à remplir le monde. La confusion est venue de ce que le même mot to Iv, Tt/n, a été également appliqué à la cause idéale et à la réalité sensible, à Dieu, à l'âme du mondé et au monde même. Cependant il ne devait y avoir aucune confusion dans l'es prit de ceux qui faisaient tout consister dans des rapports similaires, et qui enseignaient que le semblable n'est connu que par le semblable; que « nulle chose ne peut être connue si elle n'a pas au dedans d'elle l'essence dont se compose le monde, le fini et l'infini, dont la synthèse consti* tue le nombre*. » C'est là qu'on voit déjà poindre cette philosophie de l'identité absolue, à laquelle devaient plus tard se rattacher les physiciens et mathématiciens , qui considèrent tous les changements du monde comme des manifestations, diversement modifiées, d'une force unique et immuable, ou comme les différentielles d'une seule et même intégrale. Toutes ces conceptions se réduisaient, au fond, à dire que tout est dans tout.

Mais par quoi Pythagore et ses disciples ont-ils été conduits à cette doctrine, dont les esprits modernes ont hérité? Par la génération des nombres, et particulièrement par la génération des nombres triangulaires et des nombres carrés. Ainsi pour celui qui se représente les Nombres par des sommes de points (unités), une ligne comprend