Philolaùs^ Fragm., p. 62 (Bœckh

rinfinité des nombres. C'est k un. ayant gpandêup^ to 8v {ji^eBoç êyov. De même, le triangle (fig. 6) qu'on peut supposer ici infiniment grand, contiendra tous les triangles semblables ou proportioniiels ; de même aussi le

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Pig. ï.

carré (fig. 7), que Von pourra supposer aussi gr^uid quft Ton voudra, contient tous les carrés plus petits. C'est ce. qui résulte d ailleurs de la génération des carrés par leur8 gnomons, comme nous l'avons fait voir.

Ainsi, lorsqu'on suit attentivement le mode de formas^ tion des carrés, on arrive à démontrer que tous les carrés à riîifini ne forment, en réalité , qu'un seul et unique carré, C'était là le to îv fiéyedoç iyQ^^ le un ayant granrr 4eur. Descendre de ce carré-monde , contenant tous les carrés, à 1^, 1$ un premier^ tq irpwTQv h (mondergerme)j c'était le. une conception aussi hardie que- féconde.

Cette idée àHnvolution pouvait s'appliquer à toutes les figures géométriques. Elle n'empêchait pas d'évoluer, de ^détacher du grand Tout les divers contenus, limités ^ de considérer chacun isolément, de les décomposer et de lea soumettre au calcul. C'est ce que les Pythagoriciens paraifc sent avoir spépialemeiit fait pour la génération des carrés.

Les carrés successifs ou les carrés dont les racines ne diffèrent l'une de l'autre que d'une unité, étant altemati-? vement impairs et pairs, ils forment par leur (^ifférence, comme nous rq,vons vu, la sérip des nombres impairs * ; et

1. La somme ou la différence de deux nombres, dont l'un est pair et l'autre impair, est toujours un nombre impair; de même que la

la différence (différepee seconde) de la différence wçaé-»' diate (différence première) donne un nombre eons^ta,ft1;, qui est 2 ou la dyade. Ce nombre était la raison^ ô 3^(Îyq€, dQ la progression (arithmétique) des nombres impairs. Si Ton combine la dyade ou le nombre constant 3, suc|$eia-> sivement avec Tunité (différence constante ou raisQn df^lft progression naturelle des nombres), on aura :

série de nombres que représente mécaniquement \m mouvement uniformément accéléré par 2, dans une m^^ unité de temps.

En indiquant par la suite naturelle dea no-mbrea (nom-^ bres suscrits) les rangs respectifs qu'occupent lea tenues de la série des impairs (nombres souscrits) , on a :

Et en additionnant ces termes; les uns avec les autres successivement, depuis et y compria 1, on a, pour le répéter, la série des carrés 1, ^, 9, 16, 25, 36, 49,.., autre^ ment exprimés par 1, 2% à^, 4% 5*, 6*, 7^..,, c'est-à-dire les espaces uniformément parcourua àms 1, 2, 3^ 4...^ unités de^ temps *. On voit que les çommea de çea i^nitési,

somme ou la différence de deux nombres, soit pairs, soit impairs, est toujours un nombre pair. Cependant le produit d'un nombre pair par un nombre impair ou réciproquement, est toujours pair, et le produit de deux facteurs impairs est toujours impair. Ce sont là de ces principes élémentaires que l§s anciens ne perdaient jamais (î> vue.

1. Si Pytbagore avait sii que la génération des carrés représente la loi de la chute des corps, et que cette même loi régit le mouvement

qui, comme nombres ordinaux, désignent le rang occupé par les termes de la série des impairs, sont en même temps les racines ou les côtés des carrés successifs.

Si Ton décompose les nombres impairs comme nous venons de le faire (p. 110 et suiv.), et qu'on en fasse un tableau, divisé en deux colonnes, dont la première comprendrait le nombre constant 1 , et la seconde les nombres pairs qui, depuis 0, s'augmentent de 2 à chaque unité, il suffira de jeter un coup d'oeil sur ce tableau pour en déduire les données suivantes, qui démontrent arithmétiquement la construction géométrique des carrés à Taide des gnomons-équerres : 1® Les sommes successives des nombres pairs, 2, 6, 12, 20, etc., sont chacune le double des nombres triangulaires correspondants*. — 2° Ces mêmes sommes de nombres pairs représentent chacune (par le retranchement de la somme des unités composant la racine) le carré correspondant, diminué de sa racine, ou, ce qui revient au même, le carré antécédent augmenté de sa racine (voir la note 1 ci-dessous). — 3*^ Le produit de deux nombres pairs successifs (ne différant Tun de l'autre que de 2) est égal au produit de deux nombres consécutifs (facteurs ne différant l'un de l'autre que de 1), multiplié par 4; et le produit 4 (aXa+ l) = 4a*-|-4a, augmenté de 1 , donne tous les carrés impairs, ayant pour racine la somme des facteurs tt+û+l = 2a+l. Ainsi, (1X2)X4 = 8; 8+l = (l + 2)«; (2X3)X4 = 24; 24+1 = (2 4-3)^, etc.; et, d'une manière générale : (4a* + 4a) -}-l=(2a+l)*. Telle est la génération des carrée impairs^ (2a4-l)*, qui, multipliés par 2*, par 2*, par 2®, etc., don-

des astres, il se serait certainement cru en possession de la vérité universelle.

1. Voy. plus haut, p. 97 et 102. — Ces mômes sommes peuvent être représentées par les produits de deux nombres consécutifs (ne différant Tun de l'autre que de 1), comme 2=1X2; 6 = 2X3; 12 = 3x4, etc., et d'une manière générale, a x (a— 1) = a* — a, ou a X (a + 1) = a=» + a.

nenttous les carrés pairs. — 4« Les nombres (triangulaires doubles) (1X2), (2X3), (3X4), (4X5)..., ou 2, 6, 12, 20.^., pas plus que leurs multiples par 4, n'ont point de racines carrées exprimables en nombres fondés sur la rai" soUf Xoyoç, d'uue progression arithmétique; c'est pourquoi les nombres par lesquels on voudrait exprimer de pareilles racines seraient irrationnels^ Skofou Les pythagoriciens avaient certainement connaissance de ces données. Revenons maintenant à la question des carrés-sommes, qu'il importe de généraliser. Il est d'abord évident, comme nous Tavions dit, que la différence de la suite des carrés doit, en tant que série de tous les nombres impairs, 204-1, comprendre également tous les carrés impairs. Ceux-ci correspondront au (a 4- 1)**°*' gnomon (a étant le nombre ordinal qui désigne le rang occupé par les termes de

la série des impairs), si Ton suppose a=^^ — ' ,

Soit, par exemple, a = — ^ = 4; 4 -j- 1 ou le 5'*°"* gnomon

correspondra au carré (2X4)-j-l=3*; 8ia= = 12,