correspondra au carré (2Xl2)-f-l=5', représenté
par le IS'*"'^ gnomon, ainsi que l'indique cette double
série :
1, 2, 5, 4, 5, «, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.... (nombref ordinaux) 1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19,21,23, 25.... (nombres impair.)
Quant à la somme de deux termes consécutifs (de la série des impairs), elle est toujours un multiple du quater^ naire. Ainsi 1+3=1. 4; 3+5=2. 4 ; 5+7=3 . 4, etc.; et d une manière générale, (a+1)*— (a— l)«=4a. Notons que si, dans le premier membre de cette équation, l'intervention dé l'unité est évidente, elle disparaît entièrement dans le produit 4a : elle y est visiblement absorbée^ aX 1 ne se distinguant point de a. C'est là, selon nous, ce que les
pythAgoricieiis nommaient fi xottaicdo-tç ^ Vabsorption ou Vtwakment de l'unité, expression en apparence étrange, qui a jusqu'ici vainement exercé l'esprit deâ commentateurs. Nous Tenons de l'expliquer.
Sij dans 4o, a est =ta;', c'est-à-dire un nombre carré quelconque, 4a sera nécessairement un carré, et un carré pair 3= (2a?)*, puisque 4 est égal à 2^. Car il est démon-^ tré, et les anciens le savaient comme nous, que le produit de deux facteurs carrés est toujours un carré , ûûl^y^ aaa (xyY ; de même que le produit de deux nombres non earrés, ou nop réductibles à des carrés, n'est jamais un càiré, lors même qUe Pun des facteurs serait un carré*
La somme de deux impairs consécutifs, multiple du quaternaire par 1, =» 4axl, s'appellera la dyade généror trice^ pout nous conformer au langage pythagorique ; ce sera la dyade axile ou primey égale à la dyade seconde, puis à la 3'^"% à là 4**'"*, etc. Les deux éléments (nombres impairs) dont se compose chaque dyade, viennent se placer symétriquement, à droite et à gauche de la dyade axile ; car la série des impairs est, il ne faut pas l'oublièf j une progression arithmétique , conséquemmënt la somme des termes extrêmes est, couple par couple, égale au couple moyen.
Ce tait fondamental a dû de bonne heure éveiller l'attention de tout esprit curieux de trouver quelque rapprochement entre les nombres et les phénomènes physiques; Un pythagoricien pouvait le comparer aisément aux oscillations d'un fil à plomb, pendule primitif simple, aussi indispensable au maçon que l'équerre^ Ces oscillationsj qui décrivent autour de l'axe (ligne verticale) des
1. On a voulu faire remonter l'origine de la franc-maçonnerie à l'époque de la construction du temple de Jérusalem par le roi Salomon. Il serait, selon nous, plus simple de la faire remonter à la confrérie pythagoricienne, dont les membres se reconnaissaient à certains signes, et qui présentait plus d'un point d'analogie avec la francmaçonnerie moderne.
triangles semblables (îsoscfeles à base sphérique), se composent chacune de deux excursions en sens contraires ou de deux demi-oscillations (à droite et à gauche de Taxe), que Ton pouvait représenter par n'importe quels signes conventionnels équivalant à + et à — .
Or, ces oscillations, chronométriquement à peu près égales, devaient faire songer immédiatement à Tégalité arithmétique des dyades symétriquement groupées autour de la dyàde axile. Rien n'empêchait les pythagoriciens de symboliser ce fait important par un secteur de cercle ou par le balancement d'un fil à plomb. Nous l'exprimerons par (a-f.6)2 — (a— 6)2 = 4a6; d'où kab +(a— 6)2=(a-t-6)\ C'est la généralisation de la formule (a+ 1)* — (a^Y = 4a, où 1 est remplacé par 6. Dans cette formulé, à désigne l'élément, la dyade prime ou axile, b le nombre des oscillations ou des dyades latéralement symétriques (nonibre égal à celui des unités dont b se compose), et kab, multiple du quaternaire, est égal à la somme des dyades dont les composants impairs peuvent être réunis pat des arcs. Soit, pare3çemple,a=5 et 6 = 2; on aura (5 + 2)* — (5 — 2)^, ou 49 — g=(2X5)X4 = 40, ou 7 + 9 f 11-f lg=40. Dans
ce cas (9 + 11) forme la dyade axile, el (7 + 13) la dyade latérale symétrique, te qui porte le nombre des dyades à 2, comme l'indiqué 6^=2.
Si à et 6 sont l'un et l'autre des carrés, notre formule générale donnera tous les carrés-sommes à l'infini. Soit par exemple a=4=:2', et t^al^ (unité carré-type); on aura (4^1)«-^(4:^l)2-.4>;<4ti2l6=r7 + 9; d'où (4—1)^ + 16 3=25=52.Get exemple d'un carré, somme de deux carrés, est le premier qui se présente dans l'infinité des nombres. Il est d'autant plus remarquable que les carrés 9, 16, 25 ont pour racines les nombres 3, 4, ô, qui jsuivent immédiatement 1 , 2 , seuls nombres consécutifs qui , dans la suite naturelle, soient en progression géoiliétrique. Autre exemple. Soit a=:9, et b=k. Là formule don-
uera: (9-i-4}«— (9 — 4)*,oul69— 25 = (9X4)X4,ou 144 = 12*. Le schéma ci-dessous Texpliquera plus clairement :
