SI

Ce qui donne d*un côté :

17+19=36, (dyade axile)

Et de Tautre :

l + 3+îr+7 + 9=.25 = (9 — 4p.

Par conséquent,

Ainsi, la formule (2a6)*+ (a* —5')'= (a'+6*)' donne tous les carrés, sommes de deux carréa; ces carrés-sommes sont pairs, si a et 5 sont tous deux pairs ou impairs ; ils sont impairs, si a et 5 sont l'un pair et Tautre impair*.

Un dernier point à signaler. Soit (a* — b^y=(P. Il est évident, d'après la formule indiquée, que c[2=:(a*+6^)* — (2a6)* exprime l'intervalle (différence) qui sépare le carré, somme de deux carrés, de Tun de ses carrés composants. Cet intervalle se composera d'un seul gnomon (nombre impair), ou de 2, de 3, de 4, etc., gnomons (nombres impairs), si a et 6 (racines de a* et b^) diffèrent Tun de l'autre, soit d*une seule unité, soit de 2, de 3, de 4, etc., unités. Voilà ce que le schéma ci-dessus indique clairement. Mais

1. pour éviter les quantités négatives^ il faudra que a soit toujours plus grand que h.

12 3 4 5.... rf. 1. * ,

(P est aussi égal à 1+3+5+7+9.,. d* c'est-à-dire à la somme des gnomons ou nombres impairs, sommés depuis 1 inclusivement. II y a donc une distinction très-importante à faire entre Y égalité-identité et VégaUté^équivalence. Ainsi, dans l'exemple cité, la diflférence de 13* — 12*= 25 est un seul nombre impair, véritable gnomon, toujours identique avec lui-même. Mais 25 ou 5* est aussi égal à la somme de 1+3+5+7+9, somme de 5 gnomons.

Si la formule suffit pour mettre en lumière Tégalité-identité, elle laisse complètement dans T ombre Tégalité-équivalence. Celle-ci n'est mise en évidence que par des constructions, familières aux anciens, constructions qui n'ont rien de commun avec les transformations de formules algébriques qui leur étaient inconnues : les premières vont du particulier au général; celles-ci suivent, au contraire, la voie inverse, et cette voie-là, à coup sûr, n'était point celle des plus anciens investigateurs. Que les pythagoriciens aient créé de toutes pièces la science dont l'histoire nous occupe, ou qu'ils l'aient empruntée à je ne sais quelle antique race disparue, peu importe; ce qu'il y a de certain, c'est qu'ils ne pouvaient suivre que la voie d'avance tracée par la raison à tous les esprits curieux* et indépendants , la voie des constructions arithmético-géométriques qui parlent aux sens, soit au sens de la vue par des figures ou symboles, soit au sens de l'ouïe par les spns ou la musique, avant de s'adresser à la faculté gênéralisatrice, qui seule crée des méthodes et établit des principes. .

Carré de l'hypoténuse.

Après avoir parlé du régime par lequel Pythagore et ses disciples s'interdisaient, entre autres, l'usage des fèves, Diogène de Laërte, Plutarque et Athénée arrivent à citer deux vers d'ApoUodore, poète ionien, surnommé le

12â HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

CalctUatev/r, 6 XoYirrixoc, dont les écrits ne nous sont point parvenus. Voici ces vers :

*HvCxit nu9ây6pQiç t6 ire^i)(Xtic tOpetd Yp(£{l(JLtt

Lorsque Pythàgoi-fe eut dêcoiivert la célèbre ligné, il offrit poUr eela [aux dieux] un magnifique sacrifice.

Dans d^autres vers, qui n'ont pas été conservés, Àpôllodorô paraît avoir lui-même expliqué cette découverte ; car Diogène de Laerté et Athénée ajoutent, en guise de commentaire, que Pythâgore avait offert ce sacrifice pour avoir trouvé qUe « le côté qui sous-tend , ^ ÔTûoteivoucra itXeupà, V angle droit d'nln triangle rectangle (xptYwvou ôp8oytovibu), mut autant^ i<ïov Jovatai, que les côtés qui entourent i angle droit {Tâîç ir6pi63(^ou<7atç tV ^pô^v). »

Les côtes entourant t^anglé droit reçurent plus tard le nom de cathètes^ au lieu de celui de perièchhises (lés entourantes)^ qu'elles auraient dû recevoir d'après ce texte. Quant au côté qui sous-tend cet angle, il a conservé la dénomination de sous-tendûnte, &TroTeîvou<ra, hypoténuse, Po.ur cô.qui concerne V égalité quHniplîquent les mots de idov SuvaTdtt, il s'agit ici (le mol iffov signifie très-souvent carré) du carré de l'hypoténuse, égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle rectangle. Cela résulte cîaire-

î. Diogène de Laërte, VIII, 1, p. 207 (édit. Cobfet, delà Bibliothèque grecque d*A. Flrmin Didot). — Athénée, Dêiptiosoph,, X. — Plutarque (dans le petit traité intitulé : Non posse suaviter vivi secundnm Epicurum), t. X, p. 501, édit. Reiske. Les vers cités par Plutarque ne diffèrent de ceux cités par Diogène que par \ii\hi:pfiv, splendide, au lieu de xXeivYjv. Plutarque remarque que la célèbre ligne d'ApoUodore (qu*il appelle Àpollodote) pourrait se rapporter aussi au problème de la quadrature de la pûrabolej TtpoBXripia Tiept tou x<^P^^^ '^^'^ itûcpaéoXTj;. Rôth, Geschichte der Griethischen Philosophiey p. 581, a induit de ce passage que Pythâgore connaissait les sections coniqueSi Mais cette opinion est réfutée par A. Bretschneider {die Géométrie und Geometer vor EuklideSj p. 19, note 1.

ment des Commentaires dé Procllis sur Euclide {Cômment, in Euclid., I, 47, édit. de Bâle, p. 111), ainsi que de divers passages de Vitruve [De architec^ura, IX, prâefat, 5-7) et de Plutarque (VIII, 4). Le passage le plus important de Plutarque, qui paraît attribuer aux Égyptiens la découverte en question, est ainsi conçu : <« Les Égyptiens paraissaient s'être figuré le monde sous la forme du plus beau des triangles ; de même que Platon, dans sa Politique^ semble Tavoir employé comme symbole de Tunion matrimoniale. Ce triangle (le plus beau des triangles, twv Tpiywvwv to xccXXkjtov) a son côté vertical composé de 3, la base de 4 et l'hypoténuse de 5 parties, et le carré de celle-ci est égal à la somme de carrés des cathètes. Le côté vertical symbolise le mâle, la base la femelle, et Thypoténuse là progéniture des deux, etc. * » Ce passage semble montrer que le célèbre théorème et sa démonstration furent trouvés en même temps. Par suite de quelle série de recherches Pythagore y était-il parvenu ? Les anciens se taisent là-dessus. Nous avons* essayé de suppléer à ce défaut de renseignement , en partant du fait que la géométrie n'était à son début que la traduction intuitive, sensible, des nombres par des points, des lignes, des plans et des solideii. Cela se voit encore dans Êuclide, où la plupart des propositions géométriques sont des fonctions arithmétiques de l'espace . Une chose qui nous semble certaine , c'est que la première démonstration du carré de l'hypoténuse devait être fort simple et s'imposer en quelque sorte par le seul aspect d'une construction géométrique. Un carré sur les côtés duquel on élève quatre carrés égaux, pouvait remplir ce but (fig. 8)*. La division du carré central par la diagonale AB donne deux triangles rectangles isoscèles égaux.