plutarque, de hide et Osirij c. LVt

2. Il est à remarquer que le carré portant un carré sUr chacun de ses côtés rappelle la fameuse croix ansée des Égyptiens.

Fig. 8.

Prenons lin de ces triangles auxquels la diagonale sert d'hypoténuse, et construisons sur celle-ci un carré. Ce

carré (carré de Thypoténuse) sera égal à la somme des carrés élevés sur les cathètes.

Il suffit, en effet, d'un simple coup d'œil pour se convaincre que le carré de l'hypoténuse contient quatre demi -carrés (triangles rectangles isoscèles), égaux aux deux carrés élevés sur les autres côtés du triangle. De là il était facile de déduire, comme corollaire, que la diagonale d'un carré est le côté d'un carré double de ce carré *. Mais si cette démonstration est géométriquement évidente, il est impossible de l'expliquer arithmétiquement. Car il résulte de ce qui a été dit plus haut que la somme de deux carrés égaux n'est jamais un carré : le quaternaire^ employé comme diviseur, pouvait, entre les mains des pyliagoriciens, servir à le démontrer.

Cependant il y a des nombres carrés qui se compo« sent de deux carrés (inégaux),' et, comme nous l'avons vu, le premier de ces carrés-sommes se rencontre presque dès le début de la série : le nombre 25 ou 5^ = 3- +4^ est en effet celui que Pythagore a dû d'abord rencontrer comme démonstration arithmétique du théorème du carré de l'hypoténuse. Avait-il ensuite trouvé, par une méthode particulière, tous les carrés du même genre, que nous donne la formule de {^by+ (a*— 6*)2=:(a>-|-6»)«? C'est ce qu'il est difficile de décider. Quoi qu'il en soit, les ra-

1. Pour généraliser la démonstration^ on pouvait s'appuyer sur le rapport qui existe entre les quantités proportionnelles et les côtés homologues de triangles rectangles semblables.

cines de ces carrés représentent les côtés des triangles rectangles, exprimables en nombres ordinaires (rationnels). Les carrés construits sur ces côtés ont pour commune mesure 1^= ["]♦ Si, par exemple, l'hypoténuse se

compose de 5 parties égales (unités) , Tune des cathètes de 3 et Tautré de 4, le carré de Thypoténuse contiendra 25 de ces petits carrés-unités ; les cathètes en contiendront Tune 9 et l'autre 16, et la somme de ces deux nombres est 25 (fig.9).

On voit que cette construction est impossible avec une somme de 1^, représentée par les sommes de deux carrés égaux, à moins de diviser l'unité ou de fractionner ce qui avait été posé comme indivisible. Mais alors il n'y aurait plus de commune mesure : les unités de racines et leurs carrés n'auraient plus entre eux aucun rapport; en un mot, ils ne seraient plus exprimables en nombres ordinaires ou rationnels.

L'impossibilité d'exprimer le carré de l'hypoténuse numériquement lorsque les deux cathètes sont égales, devait faire naturellement partager les nombres ou quantités en deux cathégories, en comrmmwrables (xà jjLSTpTjxa) et en incommensurables [xk àfiieTpa).

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Fig. 9.

Méthode de démonstration.

Ce qui distingue la science mathématique des autres

connaissances humaines, c'est que toutes ses propositions portent le cachet de la certitude, et ce cachet leur est donné par la démonstration. C'est là ce que ne devaient pas dédaigner des philosophes comme Pythagore et ses disciples. Et, en effet, les anciens s'accordent à présenter Pythagore comme ayant le premier introduit la logique^ partie essentielle de la philosophie, dans les mathématiques, en insistant sur l'usage de Yhypodictiqus^ ôtuoosixtix^^ , qui est la méthode démonstrative^.

Ahacus. Logistiqrie,

Après avoir, pour exprimer les nombres, imaginé des signes, variables suivant l'esprit des nations, une grande difficulté restait à résoudre : il s'agissait de faciliter le calcul en représentant les nombres les plus élevés par le moins de signes ou de chiffres possibles. De là l'origine de YAbacus*^ ou tablette à calculer.

L'invention de la tablette (àêaxiov), qui servait à compter les points au jeu de dés, a été attribuée à Palamède, ce qui veut dire qu'elle est fort ancienne. L'art de comp-