Fragment de Philolaûs, tiré de Théon de Smyrne

aussi il appliqua le mouvement organique ou manuel (xivi)ffiv épyavixijv) à la construction de figures géométriques, en essayant de trouver, par la section du demi; cylindre (fiA.TYJç toja^ç tou i^fjiixoXiv^pou) , deux moyennes proportionnelles (Suo [xédaç avà Xdyov) pour la duplication du cube (sic Tov Tou xuêou SiiuXao'iacrp.ov] . » Ce passage est à la fois trop concis et trop oJsscur pour être bien compris K Heureusement on en trouve la clef dans ^ une citation d'Eutocius, commentateur d'Archimède, reproduisant un fragment de l'histoire de la géométrie d'Eudème. Il en résulte qu*Archytas se servait le premier d une courbe à double courbure pour résoudre le problème des deux moyeanes proportionnelles. Voici la description de cette courbe : « Que, sur le diamètre de la base d'un cylindre droit circulaire, on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la base du cylindre; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans ce mouvement circulaire, le demi-c«rcle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à celui de la base du cylindre ; ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la surface cylindrique en un point: la suite de tous ces points, formera la courbe à double courbure en question. » Archytas coupait cette courbe par un cône de révolution autour de l'arête du cylindre, menée par l'extrémité fixe du diamètre du demi-cercle mobile ; le point d'intersection donnait la solution cherchée*.

Voici les considéi'ations d'Archytas sur Vinfini^ d'après des fragments de son ouvrage llept TcavTo; (du Tout), consulté par Eudème et Aristote, et cité par Simplicius':

ce Si je me suppose, se demandait Archytas, placé à la

1 . Bretschneider, Die Géométrie und die Geometer vor EMkj^ides, p. 150-152 (Leipzig, 1870, in-8«).

2. M. Ghasies, Aperça historique sur Voriginè et le développemen des méthodes en géométrie, p. 6 (Bruxelles, 1838, in-4").

3. Chaignet, Pythagore et la philosophie pythagoricienne, î, p. 273-

limite extrême du monde, pourrai-je ou non étendre K main ou une Jdaguette au dehors ? Dire que je ne le puÂs. pas, est absurde ; mais si je le puis, il y aura. donc quelque chose en dehors de ce monde, soit corps, soit liau. Et peu importe comment nous raisonnerons ; la même qae«r tion se renouvellera toujours : s*il y a quelque chose sujC quoi puisse porter la baguette, alois évidemment Tin-» £ni existe. Si c'est un corps, notre proposition est dém^OBr trée. Est-ce un lieu ? Mais le lieu est ce en quoi vusl corps est ou pourrait être ; et il faut alors^ s'il e&i&te en puissance, le placer au nombre des choses éternelles^ et Finfîni serait alors un corps et un lieu*. » — Ces considérations reviennent à dire que Vinfim est c& qui n'a aur Gune grandeur assiynaèk^ ou €6 qui est phis grand ou^plus petit que toute quomlité donnée. C'est la définiition, si définition il y a, aujourd'hui généralement adoptée.

Parmi les philosophes plus récents, qui ont porté le nom à'Archyt<is, il importe de distinguer celui qui se trouve cité dans la Géométrie de Boèce. Ce pseudo-Ajrckyftas écrivait en latin, et.il parait avoir été comtemipoi^aKa de Vitruve (l*"' siècle de notre ère)*.

Hippocrate de Chios y qu^il ne £aut pas confondre avec son homonyme, le célèbre médecin natif de Cos (l'une des Sporades), forme en quelque sorte le passage de l'école de -Pythagore à celle de Pkton. Il viva^ vers 440 avant notre ère. Aristote le donne pour un bon géomètre,- mais d'un esprit simple. « C'est un fait connu, dit-il, qu'il y a des gejïs qui se montrent très-incapables dans certaines choses, tandis qu'ils sont ailleurs tres-intelligents. Ainsi Hippocrate était u^ bon géomètre, niçois

1. Voy. Cantor, Mathematische Beitrâge, etc., p. 191 et suiv.

incapable, de gérer sa fortune, puisqu'il perdit, dit-on, une fortQ sozmne d'argent par sa trop- grande confiance envers, un collecteur des douanes de Byzance ^ » Suivant le commentateur d'Aristote, Jean Philoponus, Hippociate se livrait, au commerce mai:itime, lorsqu'un de ses navires fut capturé par des corsaires athéniens K Pour se &irè i:endre son bien, il se rendit à Atbèiiies, y fréquen(ia les écoles des philosophes, se perfectionna dans Tétude^ de là géométrie, et s'attq,qua au problème da la quadi^ture du cercle. Enfin, d'après JambUque^ H^pocrate.de Ghiosfut exclu de. la société pythagoricienne pour avoir enseigné la géométrie à prix d'argent, contvairement aux st^^tuts» de cette société- Suivant Eudémus, cité par Simplicius, Hippoerate, au liem d'aborder directement le. problème de lac quadrature du cercle, s'y prit d'une façon détournée, en carrant le ménisque., fAviviaxoç , ou la lurmle^^ c'est-à-dire un espace compris entre deux arcs de cercles inégaux (rSA de la fig. 10)- Laissons parler ici le commentateur d'Aristote : « La démonstration est, dit-il, la suivante. Qu'on élève au-dessus d^ la (Jroite AR le demi-cercle ArB; que si^r le milieu A de AB on élève la perpendiculaire Ar, et que de T on tire la droite A^' : cell^ ci sera le côté d'un carré inscrit dans un cercle., ifi^t AFB est la moitié ; enfin qu'au-dessus de Ar PA <3feïiyç le demi-cercle Agr. Qr, comme iç ca^ré ( to I[<tpv) 4ç, AB (hypoténuse d'un triangle rectangle) est égal ay, çg^rç. de