Plularqué, t. VIII, p. 866 (édit. de Reiske

les écrits de Platon, elles forment le fond naème de ses doctcines cosmogoniques.

Tout cela vient à Tappui de Tunion intime, de la. philosophie avec les mathématiques, dont les origines se retrouvent, comme nous Tavons montré, dans le fonctionnement même de nos facultés. On sait que, d'après Platon, 'le corps n'est qu'un obstacle temporairement opposé à la compréhension de la vérité objet de Tâme immortelle. Get^e soumission temporaire des sens à l'intelligence, de la faculité particularisatrice à la faculté généiralàsatrice, géomè^ trique^ a été magnifiquement exposée dans tous les SiaJ^r ^ues die. Platon^ notam;ment dans le Tkéétète^ et dans U Républiiqtbe, Mais c'est surtout dans le Timjé^ qu'on remarcpuè le développement de cette teniiamse pytbagoricieniie à rattacher, par des rapports de quantités, le fo2li;tionn^ment de l'âme individuelle au mouven^ient général de l'âme dnA monde.

Problème arithmétique de* Fâme.

L'tKme, plu» ancienne que le corps auquel elle doit commander, a été constitué^ selon Platon^ de la maniière suivante : ce II (le Dieu de Platon) sépara d'aJ)ord du Tout urne partie ; puis une autre, double de la première ; puis une troisième, valant une fois et demi ]ia seconde et trois foia la première ; une quatrième, double de la seconde ; unft cinquième, triple de la troisième; une sixième, valant huit Ë>is la première ; une septième^ valant la premièïe vingt-sept fois. 5>

Ce passage du Timée est facile à saisir : il donne les trois, premiers termes de la série naturelle des nombres,, suivis des carrés de 2 et de. 3, puis des cubes de 2. et de 3 ; soit : 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27. Jl y a là deux progressions géométriques, dont l'une a pour raison 2, et l'autre 3. Seulement leurs termes sont emmêlé^ de manière que, entre 2t et le carxé de 2 vient se placer 3 ; de même qu'en-

tre le carré et le cube de 2 (4 et 8) vient se placer le carré de 3 (9) ; enfin le cube de 2 est suivi du cube de 3 (27).

Mais voyons la suite. « Puis il (Dieu) remplit les intervalles des doubles [termes de la progression de 2) et des triples [termes de la progression de 3) en en retranchant encore des parties et en les plaçant dans ces intervalles, de manière qu'il y eût dans chaque intervalle deux moyennes (\i.6<s6xTf\xaç) ^ dont Tune surpassât le terme précédent et fût surpassée de la même quantité par le terme suivant. Ces combinaisons avec les intervalles précédents , donnant des intervalles d'un, d'un et demi, d un plus un tiers, d'un plus un huitième, il remplit l'intervalle d'un plus un tiers par l'intervalle d'un plus un huitième, laissant de chaque intervalle une partie, de sorte que cette partie fût en rapport de distance avec les termes 243 et 256; et le mélange .d'où il retrancha ces parties se trouvait alors complètement employé. Tout ce «système double (Çùfftaaiv TcSaav SiTtXîjv) , il le coupa suivant sa longueur, et, rapprochant les uns des autres en forme de ^ les termes moyens, c'ést-à-dire les termes également éloignés des deux extrêmes (fi.fcnf)v Tcpôç {xs'oiqv ixocTepav àXXiiXaic oTov x*^)» i^ l^s courba en cercle, unissant les termes équidistants du milieu ; il les enveloppa ainsi deux par deux dans un mouvement de contour (TcepiaYOfAevT) irépi^) par cercles concentriques. » ,

Ce passage a fait le désespoir des commentateurs, tant ancieds que modernes. Les premiers, particulièrement Chalcidius et Cranter, cités par Plutarque, voulaient que l'on construisît un triangle, et qu'on mît au sommet l'unité, puis sur un côté la progression de 1, 2, 4, 8, sur l'autre la progression 1, 3, 9, 27, afin de montrer que ces deux progressions sortent, comme un large fleuve, de l'unité, représentant Dieu, être simple, auteur de toutes choses. Parmi les modernes, nous ne nommerons que M. Th. H. Martin, qui veut voir dans le passage cité l'expression, assez obscure, du canon musical

de Pythagore ou la théorie mathématique de la musique d'après Platon *. Mais cette opinion nous semb'e, en plus d'un endroit , faire dire au texte ce qui ne s'y trouve point.

Voici l'explication qui nous paraît la plus naturelle : • Dans le chapitre des Origines de^ mathématiques, nous avions dit (p. 36) que l'invention des logarithmes repose sur une idée simple , qu'elle a dû venir à plus d'un esprit méditant sur l'accroissement d'un nombre quelconque multiplié une fois, deux fois, trois fois, etc., avec luimême. Eh bien, c'est dans cette voie-là que, croyonsnous, Platon s'était engagé, lorsqu'il nous parle de la division des mouvements de l'âme. En lisant attentivement tout le passage, dont nous n'avons; cité que la principale partie , on peut se convaincre qu'il y est question d'une progression arithmétique servant à nombrer les termes d'une progression géométrique concomitante, qui pouvait commencer par 1, 2, 4, ..., aussi bien que par 1, 3, 9, .... ou par 1, 10, 100, .... Platon devait être frappé comme d'un Irait de lumière, en voyant qu'il suffisait, par exemple, d'additionner deux termes quelconques (exposants) de la progression arithmétique, pour avoir immédiatement le produit des deux termes correspondants de la progression géométrique; et pour montrer en même temps — ce qui devait être pour lui un objet de non moindre surprise — que les termes extrêmes, également distants les /uns des autres, sont égaux aux deux termes moyens, additivement pour la progression arithmétique, multiplicativement pour la progression géométrique, enfin que, lorsque le milieu ou le centre ne se compose que d'un seul terme (ce qui arrive lorsque les termes sont en nombre impair), il faut doubler ce terme dans la progression arithmétique, e't le multiplier une

1. Th. H. Martin, Études sur le Timée de Platon, t. I, p. 383 et suiV.

142 HIBTOÎRE DES liiATHÉMATIQlJJHB.

fais avec lui-même (1 -élever uu carré) dans la ^progression géométrique. Les termes équidistants du centre étaient réunis par des arcs de cerdle. Les nombres de ^56 et 24^ indiquaient que la progression de 2 était poussée jusqu'à la 8* puissance, et celle de 3 jusqu'à la 5*, et que ces nombres pouvaient servir à Topération démonstrative de l'égalité des termes symétriquement disposés autour des termes moyens. L'auteur du Problème mithmélique de l'dme devait ainsi arriver à la double combinaison suivante :

Termes de la progression Termes correspondants

arithmétique (exposants). de ta progression géométrique.

4 doubla = 8 16 X 16 = 256