II. V

Il était aiî^e cte voir que les intervalles de nombres, compris entre les termes successifs de la jprogression géométrique, grandissent à mesure qu'ils s'éloigiient de l'unité :

Or, si l'on veut remplir, par exemple, les intervalles

LES Wi.TÈ.ÈMAVîQfm^ 'CHEZ LES GRECS. 148

compris entre î et 4, entre 8 et 16, entre 16 et 32, etc., où entre 1 et 3, Ô et 27, 27 et 81 , etc., pat les ndinbres qui manquent, et les mettre en rapport avec la progression arithmétique, les termes correspondants de celle-ci seront nécessairement des nombres fractionnaires d'un genre particulier. Enfin rien n'empêdhe d'a«similer la progression arithmétique à un mouvement uniforme, et la progression géométrique correspondante à un mouvement accéléré. Le premier sera, comme l'appBlle Platon, le mouvement de la nature du même , çopà ttj; xauToo <putfswç, et l'autre, ïe mouvefnent de la nature de Vautre^ çopà vfi^ ôaTcpou <pu(Tg(«)<;. Ces échappées de vue étaient bien propres à faire naître des réflexions spéculatives d'un grand intérêt, mais incompréhensibles pour ceux qui n'en avaient pas la clef.

Les triangles éléments.

Platon cojnmence ptir poser, comme évident pour tout le monde (^îjXov ttœv^I), que le feu. la terre, l'eau et l'air sont des corps (Qtls^axa)^ et que tout corps ^solide) est nécessairement limité par des plans. « Tout plan ou surface plane se compose, ajoute-t-il, de triangles, et tous les triangles tirent leur origine de deux triangles dont chacun a un angle droit tandis que les deux autres angles sont aigus. » {Timée). Tout triangle peut, en effet, se décomposer en deux triangles rectangles. Pour le démontrer, il suffît d'abaisser du sommet de l'un quelconque des trois angles une perpendiculaire sur le côté opposé;, perpendiculaire qui est moyenne proportionnelle entre les deux parties de ce côté. Ce sont ces triangles rectangles que Platon nomme dTotj^eîa, éléments ou surfaces élémentaires. Il Içs divise en deux espèces : P les triangles rectangles isoscèles^ ou qui ont deux côtés égaux, comme ceux qui fortûent les deux moitiés d'un carré partagé en deux par la diagonale ; 2" les triangles rectangles

scalènes, qui ont les trois côtés inégaux. Dans les premiers, le carré de l'hypoténuse (diagonale du carré) est inexprimable en nombres rationnels ; car la somme de deux carrés égaux n'est jamais un carré. Soit^ par exemple, chacun des deux carrés = 1' *; il sera facile de montrer que leur somme, 2 , ne saurait être uû carré, car il n'y a pas de nombre qui, multiplié avec lui-même, donne 2. Soit, par

exemple, I-ou -la racine carrée de 2; en multipliant

- avec lui-même , on aura — = - = 2 - ; la racine de - 2 ' 2* 4 4' , 2

sera donc de - trop grande. Si Ton prend 1 ^ ou - pour

racme carrée de 2, on aura —=--. = 1 - ; - est donc une

racine trop petite. 0« pourrait ainsi continuer à essayer de tous les nombres fractionnaires intermédiaires entre 1 et 2, sans jamais parvenir à trouver la raciile carrée exacte. Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle isoscèle est donc inexprimable en nombres rationnels, ou, ce qui revient au même, la diagonale (racine du carré de l'hypoténuse du triangle rectangle isoscèle) est incommensurable avec le côté du carré.

Quant aux triangles rectangles scalènes, qui forment la seconde espèce, ils peuvent, pour la plupart, être exprimés en nombres ordinaires ou rationnels. Parmi ces triangles il y en à qui sont , suivant l'expression de Platon, les plus beaux de tous; ce sont ceux dont deux (ABC, AGD) ou six réunis (AFE, BEP, BEC, CED, DEG, EGA) forment un triangle équilatéral BAD (fîg. 12).

l.N^oublions pas que 1 peut être à la fois un carré et la racine de ce carré. Si, au lieu de 1, on voulait choisir un carré quelconque, le résultat serait le môme ; les nombres 8 = 2» -f 2', 18 = 3' 4. 3-»^ 32 = 4'+ 4^ etc.^ne pourront jamais être représentés comme des produits de deux facteurs égaux.

Les nombres qui sont ensuite mis en avant poiir établir le rapport des triangles recta,ngles, présentent beaucoup de difficultés à l'interprétation*. Ces difficultés tienn^t, selon nous, à une véritable transposition de deux passages, où il est dit, d'une part, que « le carré du plus grand côté est toujours triple du carré du moindre (to 8è TpmArjV xaxà SuvafAiv l^ov t^ç AoIttovoc tI)v (XEiCot) TcXcupàv dei); tandis que, d'autre part, l'auteur du Timée présente l'hypoténuse comme double de la longueur du

FlR. 12.

moindre côté (ttiv uTcoTEivouaav t^ç eXoittovoç

TrXeupSç SnrXaaiav f/w [xt^xei). »— Examinons la question

de plus près.

Que signifient les nombres 1, 2, 3, 4 (carré de 2), qui reviennent si souvent chez Platon et les pythagoriciens ? Leur interprétation est facile, si l'on veut bien se graver dans l'esprit que les anciens, à ^éfaut d'un langage algébrique, se servaient généralement des premiers termes d'une progression pour, exprimer une loi mathématique. Quand la progression était arithmétique ou géométrique, l'indication des quatre premiers termes suffisait pour en avoir le rapport, et continuer la progression à l'infini. S'il n'y^ a que deux termes de donnés, il peut arriver qu'ils appartiennent à une progression tout à la foi s arithmétique et géométrique ; il faut alors choisir. C'est le cas des nombres 1, 2. Si on l'applique, par exemple, à la première espèce de triangles rectangles (triangles rectangles isoscèles), on aura, en doublant les racines, la progression arithmétique de 2, 4, 6, 8, etc., série des pairs, qui contient en même temps tous les carrés pairs ; tandis que, en doublant les carrés, on a une progression mixte (ni arithmétique, ni géométrique): 2, 8, 18, 32, etc., pro-

1. Th. H. Martin, Études sur le Timée de Platon, t. II, p. 235 et suiv. ■

146 histoire; RES MATHÉMATÎQUE^S.

grpssiôn dont aucun terme n*est ufi carré (exprimable en nombres)*.

Quand Fénoncé de la loi impliquait u^e de ces progressions qui, n'étant ni arithmétiques, ni géométriques, participent à la fois des unes et dps autres, progressicAs conjuguées comprises sous la dénomination vague d'anharmoniques^ les deux premiers termes donnés étaient des indices bien obscurs. C'est à dessein, comme ppur' cachet un mystère aux yeux du profane, que Platon — et i\ aimait à s'en vanter — s'exprimait obscur émexi,t^ «craiwoç. Sj notre conjecture est fondée, les nombres 3, 4 et 5, qui succèdent à I et 2) devront donner la clef d'une progression particulière , propre à fournir les nombres carrés, somme de deux carrés à racines inégales, et qui reritrent, par conséquent, dans l'espèce des triangles recta^gles scalènes.

Proclus, dans son Commentaire sur Euclide (p. 111, édition de Bâle), nous apprend que « la méthode platonicienne (^ TuXaTwvixy)), pour trouver les côtés rationne}s des triangles rectangles, part des nombres pairs (airo twv apTiwv £7rt)^etp£t). 5) Mais la description, d'ailleurs trèssommaire, que Proclus donne de cette méthode, dont Planton n'a noiUe part parlé dans ses écrits, est loin de s'appliquer à tous ces triangles ^.

1 . Tous les termes de cette progression mixte (sommes de deux carrés égaux), étant divisés par 4 (2'), donnent les uns, tels que^^, 18, 50, etc., pour quotient un nombre fractionnaire, et les autres, tels que 8 , 32, 70, etc. , un quotient pair, mais finalement indivisible par 4; tandis que les carrés pairs, étant divisés par 4, donnent toujours finalement un nombre entiçr, impair (carré impair). Cette démonstration ressort directement de la connaissance exacte ^e la structure numérique des carrés, connaissance familière aux anciens.

2. Voici ep quels termes le commentateur d'Euclide explique la méthode qui devrait s'appeler proclienne plutôt que platonicienne; Aaêoùaa tèv Soôévxa dpTiov, TÎ8nfi«7iv aùxov à? jtiav TcXeupàv t»v, Tcspi TT)v ôpOT)v, xal ToOxov Siexoûera St^* **^ TeTpaywviaaaa to "Îîijlkju (xovàôa |i.àv Tto TETpaycovq) Trpoffôcîffa icoiel tyjv OiroTeîvouaav, fiovàSa 8è àçsXoûda ToO TExpaycavou uoist XTgv éxépav xtâv 7cep£ xriv op6r)v* oîov Tov xéffcjapa Xaêoûaa xal toutou tôv ^îjjikjvv tov P T£TpâYwvC(r«<ja

LES MATHÉMATIQUES CH£Z LÇS GB^ECS. 147

Voici comment nous concevons la méthode p^atpnicienne. Prenons 2X3 = 6, corpme point de dépar^ d*une progression arithmétique, dont le rapport soit 4; nous aurons la série suivante de nombres pairs : Ç, 10, 14, liS, 22, etc. ; et d'une manière générale, kn -f- 2. Si, ei^ nièmé temps, noua partons de 1X3=^2 (double du prépaie^ nombre triangulaire) multiplié par 4, et qup nous continuions à multiplier par le quaternaire tpus les nombres triangulaires doublés, nous aurons une progression mixte, dont les termes sont représentés par la série suivante dg nombres pairs : 8, 24, 48, 80, 130, etc., et d'une manière générale (n^-\-n) X4 = 4n* -f- ^^« t'GS termes de ces deux séries, allant à l'infini, sont les racines ou les côtés (cathètes) dq triangles rectangles scalènes, dont les carrés réunis (sommes des carrés des cathètes) donnent les carrés de l'hypoténuse en nombres rationnels , ayant pour racines [(2n-f'l)*+*]- S^' P^^ eiemple, dans la formule, [(^« -f-1)^ 4-1] *=:(4n -f- 2)^ + (4n^-f-4n)^, oa iissigne à « suGC|essiy^r m«pt k valeur de 1 , ê, 3, k^ etc., ou aura : 10? == 6? -f- 8* • 2j5*

xai 7twYÎ<iai<Ta aÙTov S, wpgXoO-ja jasv piovàSa iroieî tov~y, irpoeyBeTaa II Tcotet TÔv ê, xal ly^ei tô àurô Yev6{Jievov xpîywvav, 6 xai sx tïîç é«tlpàç àTcexe^eïTo jjlsOôSou; c'est-à-dine que si Ton prend un nombre p*ir$t qu*on îe pose comme égal A l'une des cathëtes ; p^ ensuite on partage ce nombre en deux, qu'on en élève la moitié au carré, et qu'on ajoute à ce carré une unité, on aura l'hypoténuse; si, au contraire, on ôte de ce carré une unité, on aura l'autre cathète. Qu'on pr6im«, par exemple, le nombre 4; la moitié sera 2, e-t son c|krré A; là sQvfitraction d'une unité de ce carré donne 3, «t l'addition 5. On obtjç^t ainsi le même triangle rectangle que par l'autre méthode [celle dfe •P.ythagore) . »

La méthode indiquée par Proclus se réduit à la foïmule : {^HiPi^'Af = k'n? -f (2n2 — 1)^ ; elle est .'loin de donner.itous les carrés impa^rp, sommes de deux carrés (dont l'un pair et l'autre impair). Ainsi, dans la série de ces carrés, tels que (2^ + 1)2 = 32+4^; (4^ -H 1)^= (2X4)^ 4- 15=; (6* + 1)2= (2X 6)2 + 35'; (8= + \)^={2x è)« H- 632,. etc., ^obtenus par cette méthode qui paraît avoir été celle de Pythagore, il 'manque: 132=122 -f 5'; 252 = 242 + 7*; 412=402 + 92, 612=602+.U^ etc. La méthode de Pythagore « qui commençait par les impairs^», complétait ainsi celle de Platrn « qui commençait par les p^iro ».

= 10* + 24»; 50* =14* + 48*; 82* = 18* -f 80*, etc. Enfin

avec ^ J — , — r — et -^ , cest-à-dire en

prenant la moitié des racines (côtés) de tous les carrés donnés parla formule,ona5*=3»4-4*;J3*=:5*4- 12*; 25» = 7*-H 24*;41*=9*-|-^^'7 ®*Cm c'est-à-dire la série qui complète celle de Pythagore (voy. la fin de la note précédente) ^

Les deux séries de carrés-sommes impairs, (2n*-|-l) (méthode de Pythagore) et (2n-[-l*4- 1)* (méthode de Platon)', séries dont 5* = 4* + 3* est le commun point de départ, rentrent dans la formule générale que nous avons donnée plus haut.

Les solides ou polyèdres réguliers. » Lieux géométriques.

Après avoir présenté le triangle rectangle (isoscèle et scalène] comme le plan élémentaire, Platon cherche à construire avec cet élément les solides géométriques qu'il assimile aux principes constitutifs du monde. Mais comment un corps solide peut-il se composer de plans, puisque avec autant de plans que Ton voudra on ne formera jamais la moindre épaisseur? Voilà Tobjection faite par Aristote à Platon. Il lui reproche, en outre, d'avoir considéré comme indivisibles les triangles élémentaires dont" se composent les plans des solides, et d'avoir ainsi renouvelé l'indivisibilité — inadmissible selon Aristote — ■ des atomes de Démocrite. Mais ces objections ou reproches même montrent combien Aristote avait Tesprit peu géométrique. H est certain qu'avec un nombre donrié

1 . La méthode de Pythagore était fondée sur ce que, comme nous l'avons montré plus haut, les sommes de deux nombres impairs consécutifs [différences de deux carrés consécutifs) peuvent être des carrés pairs, tandis que la méthode de Pythagore reposait sur ce que de simples gnomons (de la série des nombres impairs) peuvent être des carrés impairs.

de plans, quelque grand que soit ce nombre, il est impossible de former un solide ; mais si ce nombre est supposé infini, c'est-à-dire plus grand que tout nombre donné, toute objection tombera. Seulement il importe de ne point perdre de vue qu*il s*agit ici de Tinfini en puissance, exprimable par des séries allant à Tinfîni. Conformément à cette idée, devenue si féconde entre les mains des analystes modernes, le plan peut être considéré comme composé d'une infinité de lignes, et la ligne comme formée d'une infinité de points. Mais Platon, avec son esprit géométrique, s'était il élevé à la hauteur de cette conception? Nous le croyons, et on verra plus loin pourquoi.

L'égalité implique la régularité. Après avoir vu comment on peut inscrire, dans un cercle, des figures planes anguleuses,' ayant leurs faces et leurs côtés égaux {polygones réguliers), Platon a dû répéter les mêmes essais avec les corps solides réguliers, avec les polyèdres, en cherchant à les inscrire dans une sphère. C'est ainsi qu'il fut probablement le premier à découvrir qu'il n'y a que cinq solides ou polyèdres réguliers qui puissent être inscrits dans une sphère, ou auxquels on puisse circonscrire une sphère dont la surface touche tous les angles solides de ces corps. Ce fut là une véritable découverte; et l'on comprend que, dans son enthousiasme, Platon ait présenté ces corps comme les éléments mêmes du monde. Il en forme d'abord un premier groupe naturel, comprenant le tétraèdre, Yoctaèdre et Vicosaèdre. Toutes les faces dé ces polyèdres sont des triangles équilatéraux. L'angle solide du tétraèdre est formé avec trois angles de ces triangles ; l'angle solide de l'octaèdre, avec quatre, et celui de l'icosaèdre, avec cinq angles de ces triangles. Il e*st impossible de former un plus grand nombre de polyèdres réguliers avec des triangles équilatéraux ; car six de ces triangles valant quatre angles droits, ne peuvent former d'angle solide. Tout cela était parfaitement connu de Platon : « La réunion de quatre triangles équilatéraux,

iéÔ iâiSTOIRE dès MATtiÈMATliQUÈ'S.

dbiit trois angles concourent à la formation de l'àdgle solide, produit, dit-il, quatre angles solides égaux, et CQmpose ainsi le solide de la première espèce (to icpioTûv eîSoç ^TÊpsov], qui partage en parties égales et seiiiblatles toute la surface de la sphère dans laquelle il est inscrit. » C'est le tétraèdre (nom qui n*est pas employé par Platon), ou Ik pyramide triangulaire à quatre faces égales^ éléhient solide , qui dÎBvait correspondre aii feu. tJomme çhaqiie triangle équilatéral comprend, ainsi que nous avons vu plus haut ()p, 144), six éléments (triangles) scalènes, le tétraèdre se coinpose de vingt-quatre éléments scalènes.

« Le soUde de , la seconde espèce (to Seurepov) se compose, continue Platon, des mêmes triangles (scalènes), réunie en hiiit triangles équilatérâux (ce qui f^tit quaraiitéhùit éléments scalènes) ; quatre angles dé ces triangles tôi^mantun angle solide, et six de ces angles solides étaiit ainsi produits, la constitution du second corps (ffw|xa) se trôiivé àccoinpiie.» — C'est ce qû*oh a noinmè depuis Tociaèdrè^ qui devait correspondre à l'air, bii peut le considérer coihin'e formé dé deux pyramides quadrahgulairès adossées par leur base commuiié.

a Lé troisième corps (correspondant à Yéau) est, dit IPlàlôh, composé de ceiit vingt éléments, (rroij^sCot (éléments scàlèriés), liiiis ensemble de inanière à produire vingt triangles équilatérâux ou faces (padeiç) sur lescjuels le solide puiàse se jposér, et qui, groujpés par cinq, forment douze angles solides, dont chacun est formé par cinq angles des triangles équilatéi'aux. » — Ce troisièine soUde estlïco^aèdre; oh peut le considérer comme coinpose de vingt pyramides triangulaires dont les sommets se rencontrent au centre d'une sphère, et qui ont leurs hauteurs et leurs baàes égales. Avec ce, troisième solide se trouve, pour nous servir de l'expression de Platon, épuisé le tôle des éléments sci}.lènes ou des triangles équilatérâux.

Le second groupe de solides réguliers comprend V hexaèdre et le dodécaèdre.

LES kAflîÉMAtlQUES CHEZ LES GRECS. 151

L 'hexaèdre bu 'ciibe est ckrâctérîsé par le triangle rectangle iâdscèlé, jpârcé (Jue tout carré peut être divisé par !a diagôriàlè en aeUjc triangles isofecèles égaux, ou, comine è vieut Platon, éii qliktre de ces triangles, par les deux diagonales se coupatit à angle droit. « C'est, dit Platon, le triangle isoscèle qui engendra la quatrième espèce de corps (to laoffx&^sç Tpiywvov EYewa f^v tou TEtaptou cpu(nv). Ces triangles sont combinés par quatre (xtàtrà tsTrapa), de telle façon (Jue les angles droits se réunissent en un téîragône équilatèral, îcïoTuÀsupoy terpaYtovov ; et six de ces tétragones (carrés) forment, par trois à trois (xat-^ rpteTç) , huit angles solides. La'Çgure résultant de cette composition est le cube («JX^f^a xuStxov) , dont lés bases sont six tétragones équilatéraux (carrés). » — Le cube représentait la terre ou l'élément terrestre^

Lé cinquième corps est le dodécaèdre. Ne pouvant le faire entier ni dans le système des triangles rectangles îsoscêles, ni dans celui des triangles rectangles scalènes, Pktou s'est borné à le signaler comme étant, celui dont Dieu s'était servi pour tracer le plan de l'univers (to w5v 5iàCa)Ypût<{>wv).Les douze faces de ce solide sont formées par des pentagones réguliers dont les angles, en se groupant îpàr trois à trois, composent leé angles solides. On peut cbnsidérlBr le dodécaèdre comme consistant en douze J3yramides pentagones dont les sommets sont au centre du dodécaèdre, c'est-à-dire de la sphère qu'on peut imaginer circônfecrite à ce solide. Alcinoûs, dans son Introduction à la doctrine platonicienne^ s'est emparé du mot 5taCto.Yp«©wv pour assimiler les douze faces du dodécaèdre aux douze signés du zodiaque. Suivant l'auteur de VEpinomis^ le dodécaèdre représente la forme de Véther,

Platon termine sa stéréologie par cette remarque importante, « qu'il faut concevoir ces corps comme tellement petits, que chacun, comme une unité de son genre (ôç xaô' Iv êxaax.ou fxlv td\j y^vouç Ixadxou), est, à cause de sa petitesse, insensible à notre œil. » Ces paroles, contenant en

germe la géométrie des infiniment petits, répondent à la question que nous avons posée plus haut (p. 149).

Enfin, par quel fait Platon a-t-il pu être conduit à as* similer les cinq corps réguliers de la géométrie à ce qu'il considère comme les corps élémentaires de la matière du monde? Ce ne peut avoir été que par Tobservation des formes cristallines (cube, octaèdre ,. dodécaèdre , pyramide, etc.) propres à beaucoup de substances minérales et aux métaux mêmes. Quoi qu'il en soit, c'est probablement dans cette assimilation qu'il faut chercher Ja raison du mot célèbre attribué à Platon, et qui a servi à Plutarque d'en-tête à un chapitre de son Banquet^ à savoir, « que te Dieu (créateur) fait toujours dé la géométrie^ tov Oeov àet YfiWfAexpsTv*. »

On a attribué à Platon la découverte des lievx géométriques,Mai^'û faut reconnaître que dans aucun de ses ouvrages il ne parle de ce qu'on appelle lieu géométrique^ c'est-à-dire d'une suite de points dont chacun résout une question proposée, ou qui jouit d'une certaine propriété dont ne jouit aucun autre point pris en dehors de ce lieu,. Cependant le seul fait des points de la circonférence du cercle, tous situés à une égale distance (rayon) du centre, aurait pu facilement conduire Platon, comme tout autre philosophe géomètre, à la conception des lieux géométriques.

La duplication du cube. — Problème Déliaque.

Le problème de la duplication du carré, résolu par le théorème du carré de l'hypoténuse, devait avoir fait également soulever la question de la duplication du cube par Pythagore ou ses disciples. Ceux-ci paraissaient déjà avoir reconnu que, si la somme de deux carrés peut être un carré, la somme de deux cubes, en nombres, n'est ja-