Plutarque, Sympo*., VIII, Quaest. n, c

2. M. Chasles a parfaitement mis en lumière le grand principe de la dualité dans les sciences mathématiques {Aperçu historique, etc., p. 408, note XXXI v).

Géomètres eoBtemporalBS ou disciples de Platon.

Antiphon, Eudoxe/ Hippias, Léodamas, Théétète,' Speusippe, Mensechme^ Dinostrate^ Hermotime^ Aristé.

Le nom d*Antiphon est commun à plusieurs écrivains grecs, qui ont été souvent confondus entre eux. Celui qui nous intéresse ici est mentionné par Aristote comme s'étant occupé de la quadrature du cercle. Le commentateur Simplicius nous a conservé, dans un fragn^entd'Eudème, le procédé employé à cet effet par Antiphon. Ce procédé consistait à inscrire un carré dans un cercle, à tirer du milieu de chaque côté une perpendiculaire à la circonférence, à réunir par des droites les points touchant la circonfé* rence, de manière à former un octogone, et à continuer ainsi d'inscrire et de circonscrire au cercte des polygones réguliers d un nombre de côtés indéterminé. Mais ce procédé fut déjà critiqué par Eudème, en montrant que le côté du polygone circonscrit touche la circonférence toujours en un point, tandis que le côté du polygone inscrit la touche en deux points, et qu*il est impossible de mesurer une courbe circulaire par l'adaptation d*une droite (àouvaTov e!vai eùd&îav èqpap(xd<rat icepicbepei^) ^. » — Cependant le procédé d* Antiphon est digne de remarque : il fut repris par Archimède, qui le premier en déduisit des conséquences inattendues.

Suivant Themistius, autre commentateur d* Aristote, Antiphon partit, non pas du carré, mais du triangle équilatéral, inscrit dans un cercle '. Mais on ne nous dit pas si Antiphon eut Tidée de considérer le cercle comme égal à un triangle ayant pour base la circonférence et pour hau-

1 . Simplicius, Comment, in oeto Aristotelis Physiese Auseultationis lihros (Venise, 1526, fol. 12* et suiv.).

2. Brandis, Seholia in Aristot., p. 327 — Brelschneider, Die Géométrie und die Geometer vor Evtclides,\t, 124.

teur le demi-diamètre ou rayon de ce cercle. Ce n'aurait plus été là, il est vrai, la quadrature qu'on cherchait, maié la rectification ou la Réduction du cercle à une figuré rectiligne. Le quadrateur aurait été comme Talchimiste qui, en cherchant la pierre philosophale, trouva la porcelaine.

Oti n'a aucun renseignement sui* la vie d'Antiphon le géomètre. On sait seulement qu'il était contemporain de Socrate et de Platon.

Endoxe de Cnide, dont nous avons déjà parlé dans notre Histoire de Vastronomie (p. 134-136), paraît avoir été l'un des disciples préférés de Platon/Si les sphères qu'il avait imaginées étaient nuisibles plutôt qu'utiles au progrès de l'astroiiomie, elles pouvaient avoir leul* utilité en géométrie pure. Cependatit, à juger par les fragments d'Hip-^ parqiie, commentant les Phénomènes d'Eudoxe qu'Aratus paraît avoir seulement mis en vers, Eudoxe n'était guère versé dans la géométrie, en dépit des éloges que lui décernent Gicéron, Ptolémée, Proclus et Sextus Empiricus. Mais la théorie de ses sphères astronomiques n'était peut-être qu'une erreur de sa jeunesse. Car il s'occupa de la duplication, du cercle, et on lui attribue la conception des sections coniques et l'invention des courbes en général. Archimède, dans son Traité de la sphère et du cylindre^ nous apprend qu'Eudoxe était l'auteur de Içi mesure de la pyramide et du cône, et qu'il s'était livré avec succès à l'étude des solides. Suivant Théon de Smyrne, il avait imaginé plusieurs nouvelles espèces de rapports, qui ne paraissent pas avoir beaucoup contribué au progrès de la Science. Il ne tious reste rien des Écrits géométrie ques (rewjxerpo jjAeva) d'Eudoxe, cités par Proclus et d'autres commentateurs,

Hippiasd'tïléey qui vivç^it à Athènes vers 420 avant J. C, paraît B*être le premier occupé du problème de 1» triseC"

LES MATHÉMATIQUES CJIEZ h\^S QREGS. 15?

tion des angles. Suivant Proclus, il inventa une courbe transcendante pour diviser non-seulement tout angle rectiligne en trois parties égales, mais pour le diviser en un îioinJ)re quelconque de parties ayant entre elles un rapport donné *.

Léodamas^ qu'il ne faut pas confondre avec rorateur Léqd^mas, disciple d'Isocrate, a été compris par Proclus d^ns h liste des philosophes qui ont bieu mérité de la géométrie. Nous^gavons seulement qu'il reçut de Platon, son ipfiiîtfe, la méthpde analytique.

Théétète d'Athènes, dont il ne nou§ reste que le npni, écrivit, selon Suidas, un ouvrage Sur les cinq solides^ qu'Euclide paraît avoir mis à profit pour la composition du XIIP livre de ses Éléments.

On sait que Platon a donné le nom de Théétète à un de ses Dialogues. Or, à juger par ce Dialogue, les disciples de Socrate se livraient plutôt à la métaphysique des quantités qu'à l'étude de la géométrie proprement dite. Ainoi, on y trouve, entre autres, une distinction d'une remar-^ quahle finesse entre les nombres perçus par les sens et les nombres conçus par la pensée. Après avoir comparé l'âme, où se gravent les. impressions sensorielles, à une tablette de cire, et fait avouer à Théétète qu'on est moing exposé è^ se tromper sur les objets connus par la pensée que sur ceux connus par les sens^ Socrate interpelle le géoçiètre en ces termes 3

.... Ne suit-il pas de là qu'on ne prendrai jamais le nombre onze, qu'on ne connaît que par la pensée, pour le nombre doune, qui n'est pareilleinent eonnu que par la pensée ? Allons, réponds à cela.

Théétète^ Je répondrai qu'à l'égard des nombres qu'on voit ou qu'on toucbe, o^ peut se tromper el prendre onxe pour douze; mais jamais cette confusion n'aura lieu pour les nombres qui ne sont que dans IsT pensée.