Proclus, CommenU in Eueîid., p. "23 (édit. de Bâle

Ajoutons que cette distinction a plus d'importance qu'elle n'en a l'air.

Speusippe d'Athènes était neveu de Platon. On ne sait rien de sa vie, si ce n'est qu'il accompagna son oncle dans son troisième voyage en Sicile e't qu'il se conduisit à la cour de Syracuse avec tac et modération. Il avait écrit un ouvrage Sur les nombres^ dans lequel il s'étendait particulièrement sur le nombre dix. Les nombres étaient, selon ce philosophe, les idées mêmes du Dieu créateur, et avaient servi de modèle à tout ce qui avait été créé par lui. Choisi par Platon pour son successeur, Speusippe dirigea l'Académie pendant huit ans (de 347 à 339 avant J. G.).

Mmechme ^ dont la vie est inconnue, est, d'après le témoignage d'Eratosthène et de Geminus, Tinventeur des sections coniques (xojxai x(Dvixai), qui devaient, deux mille ans plus tard, jouer un si grand rôle dans la conception du mécanisme de l'univers. Il résulte d'un passage de Geminus, cité par Eutocius, que du temps de Menechme on engendrait le cône par la rotation d'un triangle rectangle autour d'une de ses cathètes, mode de formation qu'on retrouve dans Euclide. Les triangles obtenus par les sections suivant l'axe, de mêm« que les cercles formés par les sections parallèles à la base des cônes, étaient des sections coniques. Mais Menechme alla plus loin. Le cône était dit aigu, droit ou obtus, suivant que le sommet du triangle (section conique) formait un angle aigu, droit ou obtus. Gela étant établi, en faisant sur chacun de ces trois cônes une section perpendiculaire à un des côtés, Menechme obtenait, avec le cône aigu (sommet à angle aigu), y ellipse; avec le cône droit (sommet à angle droit), la parabole, et avec le cône obtus (sommet à angle obtus), ï hyperbole. Quant à la part que Menechme pourrait avoir eue à la découverte des propriétés de ces courbes, tout se

réduit , en absence de documents positifs , à de simples conjectures*.

Dinostrate^ frère de Menechme, était également disciple de Platon, On ne le connaît que par Proclus et par Pappus. Il suivit les traces d'Hippias en tentant la multisection do Tangle, et il inventa une courbe particulière, qui porte le nom de ïgTpaYOJviî^oudat, c'est-à-dire de Quadratrice. C'est une courbe mécanique qui, d'après ce que nous en apprend Pappus, s'engendre de la manière suivante': Que, dans un quart de cercle, .^ on fasse mouvoir uniformément HsT^Ï!^ ^

et circula irement le rayon CB (fig. 13), en passant par les situations Grf, Ce, Ce, jusqu'à celle de CA ; qu'on imagine en même temps une ligne G^

se transportant parallèlement à ^ « » *.

elle-même et uniformément de pjg^ 13^

la situation CB^, par qm^ rn, so

jusqu'en Ap; la courbe EFGHA, formée par l'intersection continuelle du rayon avec ces parallèles, c'est la quadratrice de Dinostrate, queMontucla est porté à attri buer à Hippias^ La démonstration qu'en donne Pappus est une réduction à l'absurde. Si elle est réellement de Dinostrate, il faudra admettre que ce genre de démonstration était déjà en usage avant Euclide.

La génération de cette courbe montre qu'il y a même raison de Gq à GA que de l'arc Bd à BA, et que, d'une manière plus générale, un arc quelconque sera divisé en même raison que la partie correspondante du

1. Bretschneider, Die Géométrie und die Geometer vor Euklides, p. 156.

2. Pappus, Collect, math., IV, Propos, xxvi. M. Chasles, Aperçu historiquej etc., p. 7 et 30. Bretschneider, Vie Géométrie xind die Geometer vor Euklides, p. 157.

3. Montucla, Histoire des Mathématiques, t. I, p. 181 (2* édit.).

HIST. DES MATH. Il

rayon, c'est-à-dire que Bd sera à Bc comme Gq est à Gr.

Mais d'où vient le nom de quadratrice donné à cetta courbe? Il vient de ce que le point E, où elle se termine sur le rayon GB, est situé de façon que CE est à GB comme GB est au quart de cercle BA; enfin, de ce que cette courbe donnerait la quadrature du cercle^ s'il était possible de trouver ce point par une opération géométrique.

On voit que la quadratrice est une courbe transcendante, décrite sur le même axe que la courbe principale^ dont les demi-ordonnées, pour parler le langage des géomètres modernes, étant connues, servent à trouver la quadrature des espaces qui leur correspondei^t dans l'autre courbe. Elle paraît avoir été inventée pour résoudre le problème de la trisection de Tangle.

Il ne nous reste aucun détail sur Hermotime de Golophon ni sur Aristée^ dit V Ancien. Ges géomètres appartenaient à l'école platonicienne plus récente, à laquelle on fait re^ monter, entre autres, la découverte des lieu>x géométriques.

Nous ne connaissons Aristée que par Hypsiclès dans Euclide, et par Pappus (Collections mathématiques^ livre Vif, Introduction) ; mais du peu qu'ils en disent, nous pou-vous induire que c'était un géomètre de premier ordre, Buclide paraît avoir beaucoup profité des travaux d' Aristée : ce que lui et Hypsiclès enseignaient sur les cinq son lides réguliers^ avait été déjà traité par Aristée dans uq ouvrage spécial. Le même géomètre avait aussi écrit uii ouvrage en cinq livres Sar les sections coniques (qui paraît avoir servi de base à Apollonius), et un autre, également en cinq livres. Sur les lieux solides^. Malheureusement aucun de ces ouvrages ne nous a été conservé. Viviani a conjecturalement rétabli, sur quelques données de Pappus, le traité des Lieux solides (de Locis solidis secunda divinatio geometrica in quinque libros injuria temporum amissos Aristxi senioris, etc.; Florence, 1701, in-fol.).

1. Bretscbneicler, Die Georr^etrie und die Geometer vor Euklides, p. 172.

Aristote et ses diselples.

Tbéophraste. Eudème. Autolycus. Dicéarque.

I^e chef de Técole péripatéticienne, dont nous avons déjà dit un mot dans notre Histoire de l'astronomie (p. 137), s'était moins intéressé à la conception pure des mathématiques qu'à leur application, comme l'attestent son traité du Ciel [Usç\ Tou oùpàvou), ses Questions mécaniques (npoêXiQfjiaTa |xy))^avixà), et ses Àusoultatiofis physiques ('Axpoaastç (puortxal). Malheureusement les principes qu'il y a essayé d'établir sont presque tous erronés, et il a fallu d'autant plus de temps pour les faire rejeter, que les péripatéticiens étaient comme fascinés par Tautorité du maître. Ainsi, dans le traité du Ciel^ où l'auteur combat la doctrine pythagoricienne du mouvement de la Terre, il est dit ce que le Ciel doit être nécessairement sphérique, parce que la sphère, étant engendrée par la rotation du cercle, est de tous les corps le plus parfait. 5> Ailleurs (dans les Questions mécaniques)^ lorsqu'il s'agit d'expliquer pourquoi le levier ou la balance à bras inégaux met en équi* libre des puissances ou poids inégaux, Aristote en cher-*che la raison dans les propriétés merveilleuses du cercle ; « il n'est pas, ajoute-t-il, surprenant qu'une figure si féconde en merveilles en produise une qui mette en équilibre des puissances inégales. » Enfin quand il dit « que deux puissances, qui se meuvent avec des vitesses réciproquement proportionnelles, exercent des actions égales, » il émet un pri^cipe dont il était loin d'entrevoir toute la portée.

ThéQphrasts ô!lËTk^^ successeur d'Aristote dans l'enseignement péripatétique, écrivit sur les mathématiques divers. outvragift»> qwi tom oût pôri. Nous avons particu-

lièrement à regretter la perte d'une Histoire de la géomé" trie et de V arithmétique.

Eudème était également* un disciple immédiat d'Aristote. Il édita et commenta le premier les écrits de son maître. De son Histoire de la géométrie et de l^ astronomie, il ne nous reste que des fragments conservés par Proclus, Simplicius, Théon de Smyrne, etc. Ces faibles fragments sont tout ce que nous connaissons de l'histoire des sciences mathématiques dans l'antiquité.

Les ouvrages à'Aulolycus^ de Pétane, Sur la sphère en mouvement^ et Sur le lever et le coucher des astres (dont les fragments ont été publiés par G. Dasypodius, Strasb., 1572, in-8), que nous avons mentionnés dans notre His^ toire de V astronomie (p. 13B), n'ont rien ajouté aux progrès des mathématiques. On n*y trouve aucun vestige de la trigonométrie, qui seule aurait pu fournir une solution complète des questions posées par l'auteur sous la forme de théorèmes obscurs.

Dicéarquey nommé par Gicéron comme disciple d'Aristote, écrivit Sur la mesure de la hauteur des montagnes un livre mentionné par Suidas. Il ne trouva aux monts Gyllène et Pélion, dont les légendes avaient exagéré la hauteur, que 1 250 pas d'élévation perpendiculaire, ce qui revient à environ 1100 mètres*.

Byrson. — Alexandre. — Nombres cy cliques,

Byrson ne nous est connu que par les commentateurs d'Aristote, Jean Philoponus et Alexandre d'Aphrodisie. Il s'était occupé de la quadrature du cercle par l'inscription et la circonscription simultanées d'un carré. On ignore