LIVRE QUATRIÈME

Après les conquêtes d* Alexandre le Grand, le centre de la civilisation changea encore de place; il se transporta dans la ville nouvellement fondée par le grand conquérant macédonien. Alexandrie devint un moment le siège de la culture intellectuelle. Nous avons déjà dit ailleurs * comment Ptolémée, l'heureux lieutenant d'Alexandre, avait, pour consolider sa dynastie, intérêt à attirer en Egypte les savants et les philosophes, alors dispersés dans les rares parties civilisées de TEurope et de l'Asie.

Alexandrie donna son nom à deux écoles célèbres, qui devaient avoir une influence prépondérante sur le mouvement scientifique. Dans la première dominaient les mathématiquefc et l'astronomie; dans la seconde, l'esprit spéculatif, représenté par le néo-pythagorisme et le néoplatonisme, revêtant une forme mystique, semblait l'emporter sur l'esprit d'observation. Nous allons passer en revue les maîtres qui ont illustré ces deux écoles.

l. Histoire de V astronomie^ p. 142.

CHAPUBE l

PREMIÈRE ÉCOLE d'aLEXANDRIE.

De Técole d'Alexaadrie, qui (lorissait sous Ptolémée, fils de Lagus, et sous le règne de ses descendants, sortirent Euclîde, Ârchimède et ApoUonius de Perge, qui peuvent être considérés comme les véritables fondateurs de la géométrie.

Enclide.

On a fort peu de renseignements sur la vie d'Euclide. On sait seulement qu'il habitait la Grèce, peut-être Athènes, avant de venir se fixer à Alexandrie, attiré par la générosité de Ptolémée I (qui régna de 323 à 283 avant J. G.}. Pappus nous le dépeint comme doux, modeste, et gardant, dans ses rapports avec le roi Ptolémée, toute sa liberté. Ge prince lui ayant demandé un jour si, pour apprendre la géométrie, il n'y aurait pas de chemin plus facile que la route ordinaire, « non, répondit Euclide, il n'y a pas en géométrie de route faite tout exprès pour les rois. »

Euclide eut l'inappréciable mérite d'avoir le premier réuni en un corps de doctrine toutes les vérités élémentaires de la géométrie, jusqu'alors éparses, d'avoir ajouté

aux découvertes de ses prédécesseurs les siennes propres, et d'avoir surtout donné des démonstrations inattaquables de ce qui n'avait pas encore été rigoureusement démontré. Il est souvent cité par Archimède , par Apollonius , par Pappus, etc., ainsi que parles plus grands mathématiciens des temps modernes, tel§ que Pascal, Fermât, Descartes, Leibniz, Newton. Ces derniers parlent en quelque sorte avec vénération des Éléments d'Euclide, qui avaient formé la base de leur éducation géométrique. Lagrange disait que celui qui n'étudierait pas la géométrie dans Euclide ferait comme celui qui voudrait apprendre le latin et le grec dans les ouvrages modernes écrits dans ces langues.

Il y a dans toutes les parties de l'ouvrage d'Euclide un enchaînement tel, que chaque proposition a des relations nécessaires avec les propositions qui la précèdent et qui la suivent. Et cet enchaînement, si goûté de tous les esprits logiques, se fait remarquer dès le début.

Ainsi, le premier livre commence par les Définitions (^poi). Chaque définition a son numéro d'ordre. La première porte : « Le point est ce qui n'a pas de parties ; » définition, il est vrai, toute négative et sujett,e à critique ; mais on n'en a pas encore trouvé de meilleure » à moins qu'on ne lui substitue celle-ci : « Le point est l'extrémité d'une ligne droite. » — La définition n* 2 est celle-ci : « Une ligne (fpaixfx^) est une longueur sans largeur (arjxoç àizka- Tèç). Citons encore les définitions n° 15 et n° 16 : « Un cercle est une figure plane (ayîifxaeTCiTreSov), comprise sous une seule ligne [utco (xtSç Ypa[A{jLY)(; Trepie^^ofAsvov), qu'on nomme circonférence (îrepiçepeia) ; — toutes les droites qu'on mène à la circonférence en les faisant partir d'un point situé au centre de la figure, sont égales entre elles. »

Euclide a le premier, par ses définitions, précisé la valeur des mots de : 1* iTgpofXTjxeç, rectangle, « quadrilatère rectangulaire (ôpÔoYwvtov), mais non équilatéral (pour le distinguer du carré, qui est un quadrilatère rectangulaire • et équilatéral); » 2° fofjiêo;, rhombe^ « quadrilatère équi-

latéral, mais non rectangulaire*; » 3** po^ouBtç^ rhomboïde^ ce quadrilatère qui a ses côtés et ses angles opposés égaux entre eux, et qui n'est ni équilatéral, ni rectangulaire; » 4° Tponcs^iov, trapèze^ « quadrilatère qui est en dehors des autres quadrilatères, » c'est-à-dire qui a ses quatre côtés inégaux*; 5** icapaXXnXoi, parallèles, « droites (eOôeïai) qui, étant situées dans le même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté, ni de l'autre (èm fjir,SéT£pa cuu.7riTrrouffiv dXX^QXatc). » — Tous ces noms, avec leurs définitions, ont été depuis longtemps universellement adoptés.

Puis viennent les Postulata (alTT^fAaxa), seulement au nombre de dix. C'est là qu'on trouve ces propositions fondamentales : ce Tous les angles droits (dpôai Y<*>v(ai) sont égaux entre eux » (PostuL iv). — « Deux droites ne renferment point un espace » (PostuL vi).

Les Notions communes (xoivai Iwoiai) qui suivent sont ce qu'on a depuis appelé acciomes. Voici l'énoncé de la première : « Les grandeurs égales à une même (troisième) sont égales entre elles. » La dernière (n° 9) est : « Le tout (to oXov) est plus grand que la partie. »

Toutes ces vérités, ainsi que les propositions qui s'y rapportent^ sont rigoureusement liées entre elles ; et c'est là- dessus que repose la Démonstration (àicoSei^iç) . Celle-ci est fondée sur la réduction à Vabsurde, c'est-à-dire sur la méthode qui consiste à prouver que toute supposition contraire à une proposition énoncée conduit à quelque contradiction. Pour démontrer, par exemple, le Théorème du carré de V hypoténuse^ l'auteur a d'abord soin d'exposer toutes les vérités et propositions démontrées qui y aboutissent, et qui, pour le cas donné, sont : l*" « Tous les

1. Le mot rhomhe est synonyme de losange y mot relativement moderne , que Scaliger fait dériver de laurengia, parce qu*on a trouvé à cette figure quelque ressemblance avec la feuille du laurier.

2. Ce n'est que beaucoup plus tard que le mot trapèze^men^ula (petite table); été appliqué au quadrilatère qui n'a que deux côtés parallèles.

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES GRECsi 171

angles droits sont égaux ; S*" Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils seront égaux ; 3° Si à une droite, et à un point de cette droite, deux droites, non placées du même côté, font les angles adjacents égaux à deux droits, ces deux droites seront dans la même direction (Propos. XIV du I" livre); (à'^Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux; 5® Les parallélogrammes construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux {Propos . xxxv) ; 6° Si tin parallélogramme a la même base qu'un triangle, et s'il est dans les mêmes parallèles, le parallélogramme est double du triangle » [Propos, xli).

Pour faire bien comprendre cette méthode, qui consiste à concentrer, à masser en quelque sorte sur un point donné une somme de vérités acquises , et pour montrer en même temps à ceux qui semblent l'ignorer que toutes les propositions de géométrie élémentaire ne sont que des copies des Éléments d'Euclide, nous allons reproduire ici intégralement, avec la figure qui l'accompagne dans le texte grec, la Proposition xlvii (l'avant-dernière du I®' livre) , concernant le fameux théorème auquel se rapportent les données précédentes.

Proposition (npdTaatç).

Dans les triangles rectangles, le carré du côté opposé à l'angle droit est égal aux carrés des côtés qui comprennent Taogle dioit.

Exposition (Ix6caiç). Soit ABr un triangle rectangle, et que BAr^ soit Tangle droit; je dis que le carré du côté BF est ég^l aux carrés des côtés BA, AT,

Construction (xataaxewi?!). Décrivons avec Br le carré BAËF, et

1. Rappelons qu'Euclide a toujours soin de pl.acer la lettre qui désigne spécialement Tangle au milieu des deux lettres qui désignent les côtés. Cet exemple a été depuis universellement suivi.

avec BA, Ar les carrés HB, BV ; et par le point A conduisons AA parallèle à l'une et à l'autre des droites B^^ TË; et joignons AA, Zr. Démpnstration (ànôSti^i;). Puisque chacun des angles BAF, BAH est droit, les deux droites AT,* AH, non placées du même côté, font avec la droite BA, au point A de cette droite, deux angles adjacents (içeÇYÎ; ywvia;), égaux à deux angles droits j donc la droite TA est dans la direction AH; la droite BA est dans la direction A6 par la même raison. Et puisque l'angle ABV est égal à l'angle ZBA, étant droits l'un et l'autre, si nous leur ajoutons l'angle commun ABP, l'angle

entier ABA sera égal à l'angle entier ZBF. Et

puisque AB est égal à BF, et ZB à BA (comme

côtés d'un même carré), les deux droites AB, AA

sont égales aux deux droites FB, BZ, chacune

à chacune ; mais l'angle ABA est égal à l'angle

ZBF ; donc la base A A est égale à la base ZF,

et le triangle ABA est égal au triangle ZBF.

Mais le parallélogramme BA est double du

triangle ABA, car ils ont la même base BA, et

ils sont entre les mêmes parallèles BA, AA; le

Fig. 14. carré BH est double du triangle ZBF, car ils ont

la même base BZ, et ils sont entre les mêmes

parallèles ZB, HF ; et les grandeurs, qui sont doubles de grandeurs

égales, sont égales entre elles ; donc le parallélogramme BA est égal

au cafrré HB. Ayant joint A£, BK, on démontrera semblablement

que le parallélogramme FA est égal au carré 0F; donc le carré entier

BAEF est égal aux deux carrés HB, 6F. Mais le carré BAEF est décrit

avec BF, et les carrés HB, 6F sont décrits avec BA, AF; donc le carré

du côté BF est égal aux carrés des côtés BA, AF.

Conclusion (<jv(jiiigpa(7(i.a). Donc, dans les triangles reclangles,etc. *.

Cette division méthodique, qu'on remarque dès la i" Proposition des Éléments d'Euclide, se continue par la simple indication des alinéas. Elle fait, comme nous venons de voir, converger toutes les vérités antérieurement acquises vers la démonstration et la conclusion finales, qui s'imposent à tout esprit attentif, sous peine de tomber dans Pabsurde ou dans la contradiction. Mais l'attention des jeunes gens se fatigue aisément au milieu de cet enchevê-

1. Dans toute démonstration il y a pour ainsi dire un point lumineux, qui doit servir de guide au milieu d'obscurités apparentes. Dans le cas cité, ce point est que « les carrés des cathètes sont égaux à deux rectangles qui composent le carré de l'hypoténuse. »

trement de détails démonstratifs, et les adultes ont souvent de la peine à se graver dans la mémoire les vérités qu'il importe de se rappeler. Et voilà pourquoi l'étude de la géométrie, cette palestre de la logique, ne sourit qu'à un petit nombre d'esprits.

Lorsqu'on essaye de s'identifier avec le plan de l'autenr, on arrive à distinguer dans son ouvrage quatre parties principales. La première Partie traite des figures qu'on peut décrire dans un plan, ainsi que de leur grandeur respective, fondée tantôt sur l'égalité, tantôt sur l'inégalité. Dans le premier cas, la démonstration par l'identité suffit. Pour le second cas, il faut quelque chose de/plus : il est nécessaire de mesurer l'inégalité. C'est là le rôle du nombre, qui est la mesure de toute grandeur. Les recherches sur le nombre font l'objet de la seconde Partie. Mais le nombre ne suffit pas pour mesurer toutes les grandeurs dont s'occupe la géométrie ; car il y a des figures, de longueur ou de surface, qui n'ont aucune mesure commune avec une autre grandeur de même espèce, sans cesser pour cela d'être des grandeurs. Ce sont là les grandeurs incommensurables^ ainsi appelées par opposition à celles qui sont exactement mesurables par l'unité. Ces grandeurs composent la troisième Partie de l'ouvrage. Enfin, dans la quatrième Partie^ l'auteur abandonne le champ restreint de la planimétrie pour s'élever aux considérations des rapports des espaces en général, et examiner la position et la grandeur relative des surfaces et dés corps *.

Tel est le plan général des Éléments (dTpot/eîa) d'Euclide, divisés en treize livres. Le I*' livre a pour objet les parties essentielles de la constitution des figures planes rectilignes, les lignes droites qui se coupent mutuellement ou forment avec une troisième ligne un triangle , la formation des quadrilatères, particulièrement des parallélo-

1. Maurice C&nXor, Euclid und sein Jahrhundert; Leipzig, 1867, iD-8.

i7^ HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES.

gramn^es. Les propriétés des parallélogrammes, associées \ celles des triangles, amènent ensuite, à partir de la Prorposition XLV (« construire dans un angle rectiligne donué un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée »), là notion de Téquivalence des espaces superficiels non congruents. Le Il« livre , où il s'agit principalement de « décrire uu carré qui soit égal à une figure rectiligne donnée quelconque, » n'est en quelque sorte qu'un commentaire du célèbre théorème pythagoricien qui termine le I*'' livre. Le IIP livre est entièrement consacré aux propositions concernant le cercle. Le IV« livre a pour objet Iça polygones réguliers, ainsi que les polygones inscrits et circonscrits au cercle.

Les dix premières propositions du II® livre, les V% VI% VIP, YIIP et IX® livres entiers, traitent de l'arithmétique, que les anciens avaient, à certains égards , bien plus approfondie que les modernes. Nous en parlerons pliia loin^ ainsi que du X® livre, consacré aux quantités incommen-» surables.

Avec le Xp livre commence l'exposé de la Stéréaxnétri^. Partant des droites et des plans qui s^ coupent mutuellement, l'auteur arrive aux angles solides, y consacre l^a Propositions xx, xxi, xxii, xxiu, et s'élève de là jusqu'au prisme en -passant par le parallélépipède. Le XIP livre con-t tient la doctrine concernant la mesure du volume dei^ corps, de la pyramide, du prisme, de la sphère, du cylindre et du cône. Il y est démontré, entre autres, que les cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres. On y fait voir aussi que toute pyramide est le tiers d'un prisme qui a la même base et la même hauteur qu'elle , de même que le cône est le tiers d'un cylindre qui a la même base et une hauteur égale. Le livre se termine par cette Proposition que « les sphères sont entra elles en raison triplée de leurs diamètres. » Le XIIP et dernier livre traite des solides réguliers, après avoir défini Y analyse et la synthèse.

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES GRÇCS. \75i

«Dans l'analyse on prend, dit l'auteur, comme accorda ce qui est demandé, parce qu'on arrive de là à quelque vérité qui est accordée. Dans la synthèse^ on prend ce qui est accordé, parce qu'on arrive de là à la conclusion ou à l'intelligence de ce qui est demandé. »

C'est en vain que des géomètres modernes ont essayé de réformer ou d'arranger autrement les Éléments d'Euçlide. A. Ch. Wolf, qui l'avait tenté, convint lui-même que cette entreprise ne saurait se faire sa^s supposer des choses qui ne sont pas encore démontrées ou sans affai* blir la rigueur des démonstrations euclidiennes.

Après les Éléments viennent les Données (AsSofA^'vot) à'ISw" clide. Les Données sont des quantités connues qui, par lep conditions du problème , amènent la détermination de quantités encore inconnues. Il y a, suivant l'auteur, des données de grandeur, des données d'espèce, et des données de position. Ainsi, un cercle dont le rayon est donné, est dopné de grandeur. Uï^ triangle dont chacun des angles est donné, est donné de grandeur. Un triangle dout chacun des angles est donné, et dont les rapports de leurs côtés entre eux sont connus, est don9é d'espèce. Une ligne dont l'inclinaison avec une autre est connue, est donnée de position. C'était là le langage des géomètres anciens, leur langage algébrique : pour résoudre un problème, ils le réduisaient à des données, SeSausvot^. Cette méthode était un premier pas vers la géométrie transcendante ou analytique. Newton faisait le plus grand cas des Données d'Euclide, qui comprennent quatre-vingt-quinze Propositions. De quelques-unes de ces propositions on peut facilement déduire la résolution des équations du second degré, qu'oi^ retrouvera dans Diophante * .

1. H. Chasles a montré qu'Euclide emploie, dans ses Données, une expression embarrassante, et dont le sens est difficile à saisir dans la définition qu'il en donne. Euclide dit (Définition ii) : « Une grandeur est plus grande à l'égard d'une autre d'une donnée qu^ en raison, quand

Dans beaucoup d^éditions, les Données sont suivies d'un petit traité d'Hypsiclès, en deux livres, Sur les cinq corps. Nous dirons plus loin un mot d'Hypsiclès, qui n'était pas contemporain d'Euclide.

Plusieurs géomètres modernes ont reproché à Euclide, comme trop mécanique, l'emploi de la superposition ou congruence, 6:pàp{xoffcç, pour démontrer certaines propositions. Mais il s'agit ici d'une superposition mentale, et, pour exprimer l'égalité (identité), il n'y a pas de moyen plus simple que celui-là. D'autres ont critiqué ses démonstrations consistant dans la réduction à Vabsurde, Mais il y a beaucoup de propositions qu'on ne saurait démontrer autrement.

Certains défauts reprochés à Euclide s'expliquent par de simples transpositions. Tel est le cas du Postulatumy (« Si une droite, en coupant deux autres droites, fait les angles internes inégaux, ou moindres que deux angles droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits »). Il est certain que, placé à la suite des Définitions, ce Postulatum ne se comprend guère. Mais, placé après la Proposition xxvi du l^ livre, où l'auteur démontre que ce si les angles internes sont ensemble égaux à deux angles droits, les lignes ne sauraient concourir, » il acquiert presque l'évidence d'un axiome.

Enfin aucune de ces critiques n'a empêché que l'ouvrage d'Euclide ne soit pour ainsi dire l'Évangile de la géométrie élémentaire.

la grandeur donnée étant retranchée^ le reste a avec Tautre une raison donnée. » Ainsi, soit A plus grand que B d'une donnée qu'en raison;

soit c cette donnée, et (i la raison, on aura — 5— ^ jx. On voit par là

qu'Euclide a voulu énoncer, sous forme d'une égalité à deux termes, une équation à trois termes. M. Chasles a signalé cette particularité, parce que la définition citée se trouve aussi dans Apollonius et dans Pappus, et qu'elle a été employée même dans des ouvrages du dixhuitième siècle. (M. Chasles, Aperçu historique, etc., p. 11, note 1.)

L'arithmétique d'Euclide.

Après avoir traité, dans les quatre premiers livres de ses Eléments^ de Tégalité des lignes et des surfaces, Fauteur aborde, dans les cinq livres suivants, la question de mesurer Tinégalité par le nombre. Mais il ne faut pas oublier que les dix premières Propositions du II® livre se rattachent également à Tarithmétique , ainsi que la très-bien montré M. Nesselmann*. Ces propositions, où les nombres sont figurés par des lignes, peuvent être aujourd'hui plus commodément représentées par des expressions générales, algébriques. Ainsi, la r* Proposi-^ tion.{o\i il est dit que « si de deux droites données Tune est coupée en tant de parties que l'on voudra, le rectangle contenu sous ces deux droites est égal aux rectangles contenus sous la droite qui n'a point été coupée, et sous chacun des segments de l'autre ») peut être exprimée par ab-^-ac-^-ad-}- .., = a(ô-[-c-|-rf-j-...). Soit, par exemple, a = 2, 6 = 3, e = 4, d = b. Il est facile à démontrer que 2X3+2X4 +2 X 5, ou 6 + 8 +1 0 = 2 X

La II® Proposition (« Si une ligne droite est coupée à volonté, les rectangles contenus sous la droite entière et sous l'un et l'autre segment sont égaux au carré de la droite entière ») a pour expression : (a + 6)'^= (a +6) a + (a+6)6. Soit, par exemple, a = 3, 6 = 4; on aura (3+4)^ =(3-j-4)X3 + (3 + 4)X4, ou 21+28 = 49.

La iii« Proposition (« Si une ligne droite est cçupée à volonté, le rectangle contenu sous la droite entière et l'un des segments est égal au rectangle contenu sous les segments et au carré du segment premièrement dit >)) peut être représentée par (a'^b]a == a6+a^ Cette formule, comme les précédentes, est également facile à vérifier avec des