Die Algehra der Griechen, p. 15't (Berlin

nombres. La même remarque s'applique aux expressions générales des propositions qui vont suivre.

La IV* Proposition (« Si la droite est coupée à volonté, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments ») peut être exprimée par

La v' Proposition (« Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments inégaux de la droite entière avec le carré de la droite placée entre les sections est égal au carré de la moitié de la droite entière ») peut être formulée par

La VI* Proposition (« Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le rectangle compris sous la droite entière avec la droite ajoutée, et sous la droite ajoutée avec le carré de la moitié de la droite entière, est égal au carré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite ») pourra se traduire ainsi :

Lavir Proposition {^<^ Siuneligne droite est coupée d'une manière quelconque, le carré de la droite entière et le carré de Tun des segments, pris ensemble, sont égaux à deux fois le rectangle compris sous la droite entière et ledit segment, et au carré du segment restant ») pourra s'exprimer par

La viir Proposition (« Si une droite est coupée d'une ma- nière quelconque quatre fois, le rectangle compris sous la droite entière et Tun des segments, avec le carré du segment restant, est égal au carré décrit avec la droite entière et ledit segment, comme avec une seule droite ») peut avoir pour expression :

La IX® Proposition (« Si une ligne droite est coupée eu parties égales et en parties inégales, les carrés des segments inégaux de la droite entière sont doubles du carré de la moitié de cette droite et du carré de la droite placée entre les sections ») pourra se formuler par

Enfin la x* Proposition (« Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le carré delà droite entière avec la droite ajoutée, et le carré de la droite ajoutée, étant pris ensemble, sont doubles du carré de la moitié de la droite entière, et du carré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite ») peut être représentée par

On remarquera combien lia simplicité du langage (algé*brique) moderne contraste avec la prolixité du langage ancien. On pouvait donc déjà, dès Tépoque d'Euclide, avoir songé au moyen d'abréger le langage géométrique, par un moyen analogue à l'algèbre.

Dans les VI% VII% VIII" et IX" livres, exclusivement consacrés à la doctrine arithmétique, Tauteur continue à se servir des lignes pour exprimer les nombres. Mais là les lignes ne sont plus réunies pour former des figures

géométriques comme elles Tétaient dans les dix propositions que nous venons de citer ; elles demeurent disjointespou r faciliter la généralisation.

Le V" livre, qui traite spécialement des quantités proportionnelles, renferme plus d'un passage obscur ou difficile à interpréter. La définition vi y a été, entre autres, signalée comme trop compliquée. Il y est dit que « des grandeurs sont proportionnelles ou en même raison , la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples (Icaxiç TuoXXaTcXacia ) quelconques de la première et de la troisième, et d'autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième, sont tels que les premiers équimultiples surpassent les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois. » A cette définition, qui ne laisse que pas d'être obscure, Montucla ajoute ce qui suit, en guise de commentaire : « Si Euclide n'eût pas voulu généraliser sa définition, et les démonstrations qui en sont la suite, il se serait borné à dire que quatre grandeurs sont en même raison, quand elles sont telles que des équimultiples semblables de la première et de la troisième sont respectivement égaux à des équimultiples semblables de la deuxième et de la quatrième. Et je me crois fondé à dire que c'est là la manière la plus simple et la plus commune de composer ensemble des grandeurs inégales. En effet, parcourons nos campagnes ; verronsnous dire à nos paysans que la mesure de Paris est à celle de Meaux, par exemple, comme 20 est à 21 ? Non ; ils diront que 21 mesures de Paris en font 20 de Meaux. Ouvrons tous les livres de commerce où il y a des rapports de poids, d'aunage, etc. ; on y lit que 100 aunes d'un tel endroit en font 103, par exemple, d'un autre; que 50 livres ou 50 quintaux de tel pays en font tant d'un autre. Ainsi, la définition d'Euclide, en tant qu'elle concerne des quantités telles qu'un multiple de Tune puisse égaler un multiple d'une autre, est non-seulement exacte, mais

conforme à la manière la plus triviale de s'exprimer. D'ailleurs, il y a dans la géométrie une multitude de grandeurs telles que jamais un multiple quelconque de l'une ne peut égaler un multiple de l'autre. Telles sont les quantités incommensurables. Il fallait les comprendre dans la définition, et c'est ce qu'Euclide a fait par cette addition, qui la complique à la vérité, mais nécessairement ; sans quoi on aurait pu lui objecter que ce qu'il démontrait pouvait être vrai à l'égard des quantités rationnelles entre elles, mais ne l'était peut-être pas de celles qui sont incommensurables. Or le plus grand défaut d'une démonstration géométrique est certainement de ne pas comprendre tous les cas contenus dans l'énoncé de la proposition*. » Le VP livre est presque entièrement consacré à la doctrine de la. proportionnalité ou de la 5imf/ît«d«. Les lignesnombres sont ici employées à la construction des figures rectilignes semblables (ojxoia), c'est-à-dire « des figures qui ont les angles égaux chacun à chacun (xari fjLfav) , et dont les côtés autour des angles égaux sont proportionnels » (Définition i) .Ainsi, une droite, menée parallèlement à un des côtés d'un triangle, coupera proportionnellement les côtés de ce triangle (Proposition ii). Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels (àvaXoYov eiciv aî TuXeupai), et les côtés qui sous- tendent les angles égaux sont homologues (ôfxdXoyot) (Proposition iv).Dans un triangle rectangle, les triangles adjacents à la perpendiculaire tirée de l'angle droit sur la base, sont semblables entre eux et au triangle entier; d'où Ton déduit que la perpendiculaire est moyenne proportionnelle entre les segments de la base, et que chaque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre la base et le segment contigu (Proposition viii). Enfin, trouver, soit une troisième proportionnelle, deux droites étant données; soit une quatrième proportionnelle, trois droites

étant données; soit une moyenne proportionnelle, deux droites étant données (Propositions xi,xii, xiii), ce sont là des recherches qui rentrent dans la géométrie aussi bien que dans l'arithmétique ou l'algèbre.

Les trois livres suivants sont purement arithmétiques, et les opérations continuent à se faire avec des lignes. Le VII* débute par la définition de Tunité et du nombre. « L'wm^^ (ftov^ô est^ dit l'auteur, ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une (xa6' 4i^ £x«<rTov twv <Jvtwv iv XéytTai). » — « Le nombre [àpi^itha) est une somme ((TOYxetucvov wX?)^) d'unités. » Puis l'auteur divise les nombres eninégaux, les uns mesurables, les autres non mesurables l'un par l'autre; en pairs, en impairs^ en pairement pairs, en impairement pairs ^ en impairement impairs, en nombres premiers (àpi6,uo\ TcpwToi), en nombres composés (wv9eToi), en nombres carrés, en nombres cubes, en nombres proportionnels, en nombres plans (IttCweSoi), en soH^ des ((TTepeol), et en parfaits. « Le nombre parfait (r^Xeioç) e«t, dit -il, celui qui est égal à ses parties. »

La démonstration des différentes propositions par la méthode linéaire est fort simple. En voici un spécimen. « Si deux nombres mesurent quelque nombre, le plus petit qu'ils mesurent mesurera ce même nombre » (Propos. xxivh). « Que les deux nombres A,B mesurent quelque nombre TA, et que E soit le plus petit nombre qu'ils me-

A li

surent; je dis que E mesure FA. Car si E ne mesure pas FA, E mesurant ZA, laissera un reste FZ plus petit que lui-même. Puisque les nombres A, B, mesurent E, que E mesure AZ, les nombres A, B, mesureront AZ. Or ils mesurent FA tout entier; donc ils mesureront le reste PZ, plus petit que E, ce qui est impossible ; donc E ne peut

pas ne point mesurer FA ; donc il le mesure. C'est ce qu'il fallait démontrer. y>

La proposition et sa démonstration se réduisent à ceci : Tout produit, ab, est divisible (mesurable) par ses facteurs a et 6, et à plus forte raison a et b diviseront-ils mab^ c'est-à-dire un multiple du premier produit.

Le Vni* livre continue la doctrine des proportions. Il y est traité aussi des nombres plans^ produits de deux facteurs inégaux, assimilables à des rectangles^ qui sont plus grands ou plus petits qu un carré. La racine (nom encore inusité) s'appelle toujours le côté du carré ou du cube. Si le nombre mesure le côté du carré ou le côté du cube, le côté mesurera le carré, le carré mesurera le cube (Propositions xiv-xvii) . Les nombres solides sont des produits de trois facteurs, qui s'appellent les côtés du solide. Ainsi 30 est un nombre solide, ayant pour côtés (facteurs) 2, 3, 5 ; 2X3X5=30. Les nombres solides semblables sont ceux qui ont leurs côtés homologues proportionnels; par exemple, 30 et 240 (240 = 4X6 XlO) sont deux nombres solides semblables; car 2, 3, 5 sont entre eux comme 4, 6, 10 (Propos, xix).

Le IX* livre, très-important pour la connaissance de Tarithmétique des anciens, est celui dont Fermât et Pascal faisaient le plus grand cas. L'auteur commence par établir et démontrer que le produit de deux nombres plans semblables est un carré, et, réciproquement, que si un carré est le produit de deux nombres (inégaux), ceux-ci seront des nombres plans. Il cite, comme exemple, les nombres plans 3 = (1 X 3) et 12= (3X4), dont le produit est un carré : 3 X 12 = 6*. La question se réduit donc à décomposer les nombres plans, a, 6, dont le produit

ab est égal à a?^, en deux facteurs égaux, wa = — ; par conséquent {maY = l—j s=zab.

Les Propositions suivantes du IIP livre établissent que

le produit de deux nombres carrés ou de deux nombres cubes est toujours un nombre carré ou un nombre cube, ayant pour racine {calé du carré ou du cube) le produit de leurs racines. Cette vérité est applicable à toutes les puissances : a" 6** = (ab^.

C'est dans ce même livre que se trouve une locution, employée depuis par les mathématiciens, pour définir Yinfini : « une quantité plus grande que toute quantité donnée. » Euclide se sert de cette locution pour dire que « les nombres premiers sont en nombre infini » (Prop. xx), et il en donne une démonstration très-simple.

La dernière Proposition (Prop. xxxvi), portant sur la distinction des nombres premiers et des nombres parfaits, a singulièrement exercé l'esprit des commentateurs. En voici Pénoncé : « Si, à partir de l'unité, tant de nombres qu'on voudra sont successivement proportionnels en raison double, jusqu'à ce que leur nombre soit un nombre premier, et si cette somme, multipliée par le dernier, fait un nomlîre, le produit sera un nombre parfait, » ce qui signifie que si Ton prend les termes de la progression géométrique de 2*, savoir 1, 2, 4, 8, ..,, dont la somme (1 +2+4 + 8...) est 2"+*— 1, le produit de 2* (2*+^ — 1) sera un nombre parfait chaque fois que 2**+* — 1 est un nombre premier.

La méthode linéaire, employée par Euclide, ne donne qu'une démonstration embarrassante ; mais l'exemple en nombres, emprunté au texte, est plus propre à faire bien saisir la question. Les parties aliquotes du nombre parfait sont les termes de la progression de 2*. Que l'on commence par l'unité et que l'on continue cette progression jusqu'à ce que la somme des termes soit un nombre premier :l+2 + 4 + 8+16=31.Si l'on continue la progression en partant de 31 , nombre premier pris pour unité, on aura la série : 31, C2, 124, 248. Enfin, si l'on multiplie le deuxième terme de la première série avec le dernier de la seconde, on aura un produit égal à celui du der-

nier terme de la première série avec le premier terme de la seconde : 2X248 = 16X31=496. C'est là ce qu'Euciide appelle un nombre parfait. Ce nombre ne se produira pas, si la somme des termes de la première série, prise pour unité, n'est pas un. nombre premier*.

Le X® livre, le plus étendu de tous, développe, en cent dix-sept propositions, les différentes espèces dHncommensurahles ou les grandeurs qui n'ont aucune mesure commune. On y voit pour la première fois l'expression ' à: irrationnelles^ appliquée aux lignes et aux nomlDres incommensurables. Mais il ne faut pas prendre ce mot dans son acception vulgaire : irrationnel {akoyoy) signifie ici ce qui n'a pas de rapport avec les quantités ordinaires.

La proposition qui termine le livre donne la démonstration de l'incommensurabilité du côté du carré avec la diagonale de celui-ci. Cstte démonstration repose sur l'impossibilité qu'il y a à ce qu'un même nombre soit à la fois pair et impair. « Je ne sais, remarque Montucla, si la démonstration directe, car il y en aune, force l'assentiment d'une manière aussi complète*; et par cette raison il me semble que ceux qui, dans des éditions d'Euclide, ont changé sa démonstration, ont eu tort. Quoi qu'il en soit,

1 . La démonstration donnée par Euclide peut, comme l'a montré M. Nesselmann {Die Algehra der Griechen, p. 163), être facilement conduite de la manière suivante : Soit 2"+'— l un nombre premier, désigné par p; et que 2"p, c'est-à-dire la somme des facteurs du nombre 2"(2""'— 1), soit désigné par S ; on aura :

Or, H-2H-4....^"-'=2-— 1;

1+P = 2"+» = 2X2"; donc

Il résulte dé cette démonstration que la proposition n*est point vraie si p est un nombre composé, c'est-à-dire un nombre qui ne soit pas un nombre premier.