Voy. plus haut, p

j'ai vu bien des personnes, même instruites en géométrie, ne donner pour démonstration de cette incommensurabilité que l'impossibilité d'extraire la racine carrée de 2 par approximation décimale. Mais qui a suffisamment prouvé que cette approximation est indéterminable ? Aussi ai-je connu un homme (c'était un architecte) s'aheurter à la suivre, espérant toujours qu'il arriverait à la fin. Il en était déjà, me disait-il, à la 100* décimale. Que de peine il se serait épargnée s'il avait lu et entendu Euclide * \ »

Par cette analyse, un peu détaillée, des livres arithmétiques d'Euclide, nous avons voulu ranimer un genre d'étude qui était fort goûté des mathématiciens du dix-septième siècle et que ceux de nos jours paraissent avoir entièrement perdu de vue.

Ouvrages d'Euclide perdus ou d'une authenticité douteuse.

De tous les ouvrages perdus d'Euclide, le plus important était son traité des Porismes ^. Pappus nous en a transmis un aperçu dans la Préface de son VIP livre des Collections mathématiques; mais l'idée qu'il en donne est, faute de développements et de figures, si obscure que Halley, quoiqu'il fût très -versé dans la géométrie ancienne, avouait lui-même n'y rien comprendre, et R. Simson, malgré ses efforts, n'était pas parvenu à bien l'éclair^ cir. C'est alors que M. Chasles, placé au premier rang des géomètres de notre époque, entreprit de combler cette lacune, dans un livre mémorable intitulé : Les trois livres de Porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois d'après la notice et les lemmes de Pappus (Paris, 1860, in-8).

Après avoir tracé un court exposé historique, M. Ghasles signale l'analogie qui existe entre les porismes et les

2. Le mot porisme, nopiaiia ou nopi(r[x6:; signifie acquisition ou donnée (de itopCÇa), j'acquiers ou je donne). Les lexicographes Tont inexactement rendu par corollaire.

données. « Elle existe, dit-il, non-seulement dans la pensée d'où dérivent les deux classes de propositions, mais aussi dans leur but commun, dans les définitions qui leur sont propres et dans la forme même de leurs énoncés, où il est toujours dit que telles choses sont don^ nées de grandeur ou de position. Cette forme se trouve dans les Lieux plans d'Apollonius, dont Pappus nous a conservé les énoncés, et qui sont des Porismes^ comme il le dit expressément; elle se trouve aussi dans la notice de Proclus sur les porismes d'Euclide , insérée dans son commentaire du premier livre des Éléments.,.. Enfin, Diophante cite, dans ses Questions arithmétiques^ sous le nom de Porismes^ des propositions extraites d*uu ouvrage, apparemment un Recueil de Porismes^ qui ne nous est pas parvenu. » Or ces propositions ont, dans leurs énoncés, la forme des données, et cette forme, M. Ghasles Tattribue avec raison aux Porismes. En résumé, « les Porismes sont des théorèmes non complets^ exprimant certaines relations entre des choses variables suivant une loi commune.... Le traité des Porismes d'Euclide était donc une collection de propositions servant à passer ainsi d'une expression connue d'un lieu à une autre expression du même lieu, et plus généralement servant à passer des conditions connues qui déterminent un système de choses variables assujetties à une loi commune , à d'autres conditions déterminant les mêmes choses variables. » Après avoir ainsi précisé le sens de la matière en question et rappelé le texte de Pappus, l'éminent historien de la Géométrie procède à la restauration du traité d'Euclide, divisé en trois livres, comprenant deux cent vingt porismes. En étudiant ce remarquable travail, on aperçoit sans peine la nature des difficultés qui s'étaient jusqu'alors opposées à l'intelligence des énoncés de Pappus et au rétablissement des propositions d'Euclide,

Parmi les autres écrits d'Euclide dont nous avons à regretter la perte, nous -devons citer les deux livres Sur les

lieux à la surface^ les deux livres de Perspective^ les quatre livres des Sections coniques, le livre Sur les divisions (Ilepl oiaipécxewv) , et son traité des Apparences (Ilêpi ^j'suoapuov). Dans ce dernier ouvrage Tauteur exhortait les commençants à se garder des faux raisonnements ; c'était une sorte d'Introduction à l'étude delà géométrie.

Les écrits, d'une authenticité douteuse, qui nous sont parvenus sous le nom d'Euclide, ont pour titres : Division de Véchelle harmonique (KaxaTou.:?! xavovoç) ; — Principes de musique (K^tà fxouaix^v cToiyeicoaeiç); — Phénomènes célestes (^aivofxeva) ; — un traité d'Optique ('0:tTtxà); — un traité de Catoptrique (KaroTtTptxà). Ces différents écrits se trouvent imprimés dans l'édition la plus complète et la plus correcte des Œuvres d'Euclide (Eùx^eiôou rà cwÇdixfiva ) , donnée par David Gregory, d'après les manuscrits légués par H. Savile à l'Université d'Oxford. Cette édition, parue à Oxford, 1703, in-fol., devait faire partie d'une réimpression des géomètres grecs. Outre les ouvrages attribués à Euclide, on y trouve la traduction latine du traité de Divisionibus (sur les divisions des polygones), de Mohammed de Bagdad, que Ton croit traduit d'Euclide, et d'un fragment en latin de Levi et Ponderoso, écrit fort médiocre, attribué sans raison au grand géomètre d'Alexandrie.

COMMENTATEURS D'eUCLIDE. — BIBLIOGRAPHIE.

L*histoire des ouvrages d'Euclide est, en partie, l'histoire même de la géométrie depuis le quatrième siècle avant J. C. jusqu'à l'époque de la Renaissance. Euclide eut de nombreux commentateurs. Parmi les plus anciens, on cite Héron, Pappus, Énéas d'Hiérapolis^ Théon le jeune d'Alexandrie et Proclus. Théon donna, outre un commentaire important, une nouvelle édition des Éléments j avec quelques additions et de légers changements : c'est lui-même qui nous l'apprend dans son commentaire sur Ptolémée. Parmi ses additions, il signale, dans la dernière proposition du VP livre, ce qui est rela-