Pline, Hwe. nat., \U, 38 (édit. Lemaire

2. Plutarque, Vie de Marcellus (t. II, p. 443, édit. Reiske). Comparez Valèr Maxime, VIII, 7.

b^au. Les Syracusaîns m'affirmaient qu'il n'existait point. A forée de recherches, J6 le trouvai enfin couvert de ronces et dé broussailles. Je fus guidé, dans cette découverte, par quelques lignes d'une inscription qu'on disait avoir été gravées sur le monument, et qui se rapportaient à une sphère et à un cylindre, posés au sommet du tombeau. Parcourant des yeux les nombreux tombeaux qui se trouvent vers la porte d'Agrigente, j'aperçus une petite colonne qui s'élevait un peu au-dessus des buissons : il y avait la figure d'une sphère et d'un cylindre. Je m'écriai aussitôt devant les principaux habitants de Syracuse qui m'accompagnaient: Voilà ce que je cherche ! Beaucoup se jetèrçrit alors sur les broussailles pour les couper et mettre l'emplacement à découvert. Ce travail achevé, nous nous approchâmes de la colonne. Nous vîmes l'inscription à moitié rongée par le temps. Ainsi, la plus noble et jadis la plus instruite des cités de la Grèce ignorerait encore la place du tombeau du plus ingénieux de ses citoyens, si un inconnu d'Arpinum n'était pas venu la lui apprendre *. » Ce fut, pouT le répéter, conformément à la dernière volonté d'Archimède qu'on avait fait surmonter son tombeau d'une Sphère enchâssée dans un cylindre (fîg. 15), comme pour montrer, en quelque sorte graphiquement aux passants oublieux, l'un des théorèmes qui l'avaient occupé pendant sa vie, à savoir, le rapport du cercle, de la sphère et du cylindre.

S'il faut en croire Plutarque, les anciens admiraient la clarté des démonstrations du grand géomètre. « Oa ne saurait, dit-il {Vie de Marcellus), trouver danë toute la géométrie, de théorèmes plus difficiles et plus profonds que ceux d'Archimède, et cependant ils sont démontré» de la manière la plus simple

Fig. 15.

'^trcn Quéest, Tusculj V.

et la plus claire. Les uns attribuent cette clarté à un esprit lumineux; d'autres latiribueht à un travail opiniâtre, qui donne un air aisé aux choses les plus difficiles. Il serait impossible de trouver, selon moi, la démonstration d un théorème d*Ârchimède; mais lorsqu'on Ta lue, on croit qu'on l'aurait trouvée soi-même sans peine, tant est court et aisé le chemin qui conduit à ce qu'il veut démontrer. » — . Les géomètres modernes sont loin de partager tous cette opinion de Plutarque, peut-être parce qu'Us ne se sont pas assez familiarisés avec les méthodes des anciens. On a voulu révoquer en doute les relations d'Ârchimède avec l'école alexandrine, en insinuant qu'Ârchimède n'avait probablement jamais visité Alexandrie. Cette insinuation, non-seulement ne repose sur rien, mais elle est formellement contredite par le témoignage d'un historien, compatriote du grand géomètre. Diodore de Sicile affirme qu'Archimède visita TÉgypte. Gomment ce géomètre aurait-il négligé de visiter Alexandrie, la ville où avait enseigné Euclide et où résidait Gonon? Euclide, qu'Archimède cite si souvent; Gonon, avec lequel il était lié d'amitié. Ge fut même pendant son voyage en Egypte qu'Archimède inventa la fameuse machine d'épuisement, destinée à retirer l'eau des galeries souterraines où travaillaient les mineurs ^

Travaux d'Archimède. — La plupart des ouvrages d'Archimède ne nous ont pas été conservés '. Geux qui nous

1 « Les mineurs trouvent quelquefois^ dit Diodore, des fleuves souterrains dont ils diminuent le courant en les détournant dans des fossés inclinés.... Ce qu'il y a de plus étonnant^ c'est qu'ils les épuisent entièrement au moyen des vis égyptiennes qu'Archimède, de Syracuse, inventa pendant son voyage en Egypte. » {Bibliothèque historique, V,37.)

2. S'il fallait ajouter foi au chroniqueur arabe Abulfarage, les Ro* mains auraient brûlé, après la prise de Syracuse, quatorze charges de manuscrits d'Archimède. Mais cette anecdocte paraît un peu suspecte quand on se rappelle que nous devons à ce même chroniqueur le

restent sont en grande partie écrits en dialecte dorien. En voici les titres :

De la sphère et du cylindre (1Iep\ tTJc v^aCpac xal xuXCv- Bpw) ; — Mesure du cercle (K6xXou [Uzç^fnç) ; — Des canoUdes et des figures sphéroïdes (llcpl xcovoet^cov xal 0}^Y)(iLaTCi>v v^aipoet8^>v) ; — , Des Spirales (nep\ l^ixonv) ; — De f équilibre des plans ou leurs centres de gravùé (flepl Ii7iic<&>v 2<ro^^ TttxoSv, ^ x£vTpa pap(ov l7rt7reStl>v) ; — £a quadrature de la parabole (TeTpaycoviatAoc irapaêoX^ç] ; — Uarénaire (V«fA(A(- TTiç) ; — Z)e5 corp5 flottants sur Veau (Ilepl tcov Cîaxi ^çcora- |Aiv(ov]. — Le livre des Lemmes (traduit de l'arabe en latin) passe pour non authentique *.

Archimède peut avec raison être considéré comme le plus grand génie mathématique de l'antiquité. Il fonda la géométrie supérieure et créa la mécanique. Il mérite donc, à tous égards, que nous insistions sur l'analyse de ce qui, de ses écrits, nous a été conservé.

Mais auparavant il importe de bien s'entendre sur la valeur des termes employés par l'auteur. Ainsi, bien que le mot parabole soit parfaitement grec, Archimède désigne toujours cette courbe par section du cane rectangle (ôpOoYov(ou xcovou TofA^}. Par cône rectangle^ il entendait un cône droit dont les côtés, c'est-à-dirs les intersections de sa surface convexe et du plan conduit par l'axe, forment un angle droit. Si ces intersections forment un angle aigu, le cône s'appellera acutangle^ et si elles forment un angle obtus, il s'appellera obtusangle. Il suit de là que si l'on

récit, si peu croyable, de l'incendie de la bibliothèque d'Alexandrie par un des lieutenants d*Omar.

1. Les ouvrages d'Archimède parurent pour la première fois, imprimés en grec, à Bâle (Herweg, 1544, in-4). Ils furent réédités en grec et latin par Rivault de Florence, précepteur de Louis XIII (Paris, 1616, in-fol.)* L'édition la plus estimée, mais rare, est celle de Torelli, Oxford, 1793, in-fol. Ils ont été traduits en français par Peyrard, traducteur d'EucIide, Paris, 1808,2 vol. in-8; et en allemand par Gutenaecker, Wurzbourg, 1828, in-8.

coupe chacun de ces cônes par un plan ^perpeadxciilair^ sur un des côtés de l'angle formé par le plan qui passe par Taxe, la section du cône rectangle sera une parabole^ puisque le plan coupant est paraUèle à l'autre côté du CÔne^ la section du cône acutâ,ngle sera une ellipse^ puisque le plan coupant rencontrera l'autre côté du cône^ et la section du cône obtusangle sera une hyperbole, puisque le plan coupant rencontrera le prolongement de l'autre côté. Mais, pas plus que du nom de parabole, Archimède ne s'est servi des noms grecs à^ellipse et d'%perbole. Ces deux courbes, il ne lés désigne, la première que par le nom de section au cane acutangle et la seconde par celui de section du cône çbtusangle, L^s noms de parabole^ d'ellipse et à*hyperbole n'ont été introduits dans la langue des géomètres que depuis Apollonius. Le paramètre^ nommé 6pÔta par Apollonius, et laim rectum par des géomètres moins anciens, est désigné par Archimède par la locution vague de ligne qui s'étend jusqu'à taxe; et de longues périphrases suppléent au^ mots d'ordonné et abscisse. U désigne le diamètre de la parabole par ligr^ parallèle au diamètre, et donne le même nom de diamètre à Taxe, bien qu'il ait établi une distinction entre l'axe et les diamètres de la parabole. Enfin, les géomètres grecs désignaient la tangente par ligne effleurant^ du cercle, ÎTUi^wouffx tou xvxXou, et ils n'avaient pas même de mot particulier pour désigner le rayon d^un cercle : ils l'appelaient la droite qui part du centre du cercle (eCOeia ex xévTpou Tou xuxXou].

Toutes ces périphrases, qui 'reviennent souvent dans les écrits d'Archimède, nuisent à la simplicité des proposition^ et embarrassent les raisonnements dont se .compose la démonstration. C'est le cas de répéter ce mot bien connu que le meilleur commentaire d'un auteur est une bonne traduction.

De la «pbère et du cylindre.

Pôar défflôïiti^èr les théorèmes et résoudre les problèmes contenus, îion-seûlement dans les deux livres de ta sphère et du eylindre^ adressés à Dosithée *, mais âftas tous ses autres écrits, Archîmède n'a employé que la géométrie élémentaire d'Euclide et un petit nombre de dfltocipes dont voici Ténoncé :

H « La ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les inêmes extrémités*. » Archimède ramène a ce ^încipe, entre autres, la démonstration de la première proposition du premier livre De la sphère et du cylindre^ â savoir que : « Le contour du polygone inscrit dans un èercle est plus petit que la circonférence de ce cercle. »

2^ « Deux lignes, qui sont contenues dans un plan et qui ont les mêmes extrémités, sont inégales lorsqu'elles sont Tunç ejb Ts^utre concaves du même côté (èn\ tic (xZxii xoîX<xi), et que l'une est comprise tout entière par l'autre^ et par ia droite qui a les mêmes extrémités que cette ^utre, ou bien lorsque Tune n'est comprise qu'en partie @t que Iç reste est commun : la ligne comprise est la plus courtfi. » ^w Dès la seconde proposition (le contour du polygone êireonsiBritàuncercle est fîûs grand que la circonférence dé 06 përclé), pe principe a trouvé son application.

â^ « ^areUlemenltj lorsque des surfaces ont les mêmes li^iitea dans un plan, la surface plane est la plus petite. * "

!. posUhie, au(juel Archimède avait adressé ou dédié ses principaux ouvrages, était natif de Colone. Il passait pour un géomètre astronome très-habile, p'après Censorinus, il perfectionna VOctaétéridê d'Eudoxe. Geminus et Ptolémée se servirent des observations qu'il avait faites sur les étoiles fixes, en l'an 200 avant notre ère. On voit^ ^après cette datç, que Dosithée survécut à Archimède, son ami.

i. Ce principe n'est point, Tsomme i*ont cru beaucoup de commentateurs, une définition de la ligne droite; c'est l'énoncé d*une de sei propriétés.

4° ce Deux surfaces qui ont les mêmes limites dans un plan, sont inégales lorsqu'elles sont Tune et l'autre concaves du même côté, et que Tune est comprise tout entière par l'autre et par le plan qui a les mêmes limites que cet autre ; ou bien lorsque Tune n'est comprise (wspi- XafjtêavTiTai) qu'en partie (xcvà (asv) et que le reste (Ttvi 5e) est commun, la surface comprise (éicicpavcta iceptXajA^avofjiévT)) est la plus petite. »

C'est au moyen de ces principes qu'Archimède a fait faire à la géométrie les progrès les plus étonnants. Il n'entreprit point de les démontrer ; comme il ne faisait pas usage de la considération de l'infini, il aurait d'ailleurs échoué dans cette entreprise, et même les géomètres grecs qui en faisaient usage (en supposant le contour d'un poly-r gone régulier d'une infinité de côtés égal à la circonférence du cercle) n'y réussirent point*. A moins qu'Archimède

1. C'est ce qui arriva à Eutocius et à d'autres commentateurs grecs. Pour démontrer^ par exemple, que « la somme de deux tangentes est plus grande que L'arc de cercle qu'elles embrassent»^ ils commençaient par partager l'arc en deux parties égales, et par le point de division ils menaient une tangente; puis ils partageaient les nouveaux arcs en deux parties égales, et par les points de division ils menaient de nouvelles tangentes, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'ara fût divisé en une infinité de parties égales. Voici maintenant leur raisonnement : la somme des deux tangentes est plus grande que le contour de la portion du polygone régulier premièrement circonscrit; le contour de la portion du polygone régulier premièrement circonscrit est plus grand que le contour de la portion du polygone secondement circonscrit; enfin, le contour de la portion du polygone régulier qui a été circonscrit Tavant-dernier, est plus grand que le contour de la portion du polygone régulier circonscrit en dernier lieu ; donc la somme des deux premières tangentes est plus grande que le contour de la portion du pplygone régulier circonscrit en dernier lieu. Or, le contour de la portion du polygone régulier circonscrit le dernier est égal à l'arc entier, puisque la portion d'un polygone régulier d'une infinité de côtés est égale à l'arc auquel il est circonscrit. Donc la somme des deux premières tangentes est plus grande que l'arc entier. — Mais pour que cette conclusion fût légitime, il aurait fallu que ces géomètres eussent démontré encore que la somme de deux tangentes menées en dernier lieu est plus grande que l'arc qu^elles embras-

n'eût considéré une courbe comme un assemblage d'une infinité de lignes droites, et un solide de révolution comûie un polyèdre terminé par une infinité de surfaces planes, ou comme un assemblage d'une infinité de troncs de cône, en un mot, à moins qu'il n'eût eu recours à la considération de l'infini, telle qu'on le comprend aujourd'hui, il lui aurait été impossible, sans le secours des quatre principes établis, de faire tant d'admirables découvertes. Mais l'esprit des anciens se refusait à des suppositions qu'on a contini]te à bannir de la géométrie élémentaire.

* En tète du traité De la sphère et du cylindre^ adressé à Dosithée, Archimède signale la démonstration des théorèmes suivants :

l"" « La surface d'une sphère quelconque est quadruple d'un de ses grands cercles. » Pour démontrer ce théo* rème, il s'est particulièrement servi des Principes 3 et 4, ainsi que des Propositions xxvi, xxxi, xxxiv et xxxv.

2^ ce La surface d'un segment sphérique est égale à un cercle ayant un rayon égal à la droite menée du sommet du sèment à la circonférence du cercle qui est la base du segment. » — A cette démonstration conduisent particulièrement les Propositions vi, xl,xlvii etxLVin.

3" « Un cylindre, qui a une base égale à un grand cercle de la sphère et une hauteur égale au diamètre de cette même sphère, est égal à trois fois la moitié de la sphère.» — A cette démonstration se rapportent spécialement les Propositions xiv et xxxvii.

« k!^ La^ surface du cylindre est aussi égale à trois fois la surface de la sphère. » La démonstration de ce théorème fait l'objet des premières Propositions du second livre De la sphère et du cylindre.

En se pénétrant de la beauté de ces théorèmes, on s'explique la dernière volonté d' Archimède. Ils sont en

sent. Et c'est ce quMls ne sont point parvenus à faire. (Voy. Peyrard, Préface des Œuvres d*Archimè<îe, p. 411.)

Quelque sorte hiéroglyphîquement symbolisés fîir h gure d*un cylindre cîr conscrit à une spfâre. La seule àisposîtion âe cette figure (p. 195) pouvait faire naître lé désir de connaître U rapport de la sphère au cyHndre cir* conscrU^ Ae savoir si, comme le théorème l'avait annoncé, la surïaçe de la spîière étant à la surface totale du cjliiïdre comme 2 est à 3^ les volumes de ces deux corps sont entre eux dans le même rapport. ^Partant dé là, tout esprit curieux aura pu ensuite pjir lui-môme se convaincre de l'exactitude des données suivantes : la liaute^r du cylindre est égale au diamètre de la sphère inscrite ; la î}ase du cylindre est égale au grand cercle (section équatoriâle) de la sphère, leurs diamètres étant égaux; par consécruent, la surface convexe du cylindre est égale au produit de la circonférence du grand cercle par son diainètre, et, comme conclusion, la surface de la sphère est égale à la surface latérale du cylindre circonscrit. -^ D'autre parj, la Surface de la sphère a été trouvée égale à quatre grands Cjerclesj la surface latérale du çylînc&e est donc aussi égale à quatre grands cercles. En y joignant le? ^eux bases qui valent deux grands cercles, on aura la surfecç totale du cylindre circonscrit égale à six grands cercles; conséauemment la surface de la sphère est %, la çurface du cylindre circonscrit comme 4 est à 6, ou, ce Çui revient au même, comme 2 est à 3. Voilà pour Jes surfaces. Quant au? yojumes, celui du cylindre est égal au produif du grand cercle par le diamètre, puisque là bï^ae du cylindre circonscrit est égale à Un grand cercle, eji sa hauteur jau diamètre, ur, il ^. été trouvé et démontré d'autre part que lé volume de la sphère est

égal à quatre grands cercles multipliés par le tiers du

rayoB, ee qui revient au produit d'an grand ^c^cdçi par ô

4» ÎI^19T^ W I di^ diaçiètre, Pq?iç |a sphère est f^u cylindre circonscrit comme 2 est à 3; conséquemment les

volume? de ces deux corps sont entre eux comme leurs surfaces. — Cette récapitulation des détails de la démoncrtraiion paf aiti^it aujourd'hui bieïi étéme»t«ire , à çeu? qui trouvent la science toute faite; mais ils avaient, jie rpujblians pas, une inounense valeur aux yeux de celui qm «yait tout à <»réer. £l'6$t là ce qu'il importait de rappeler. lyautfèfS liiéofèmèi^, qtli figurent depuis dans tous les traités élémentaires de géométrie, sans qu'on se doute cuvent 4e Je^r provenance, ont été trouvés et démontrés pur Arehimède ; tels sont : « Un cône est le tiers du cylindre q^l a la même l)ase et la même hauteur que le bône; une jiyramide est le tiers d'un prisme qui a la même l>ase ê^ la même hauteur que la pyramide ; une sphère est égsde à une pyramide dont la base est égale à la surface de la sphère, et la hauteur au rayon de la sphère. » — Ces théorèmes forment en quelque sorte le passage di;i traité Dç la sphère et du cylindre à celui qui fiuit.

î>e la mesure du cercle.

Tofjit çefcie e$t égal à m triangH reciangle dont un des côtés de fangk droit eU égal au rayon de ce cercle^ et dont f autre côté de Vctngle droit est égal à la circonférence de ce tnêmé cercle. Pour convertir cette importante proposition en Une vérité géométrique, Archimède a recours à une démonstration indirecte. Il fait voir d'abord que le cercle n« peut pas ^re plus grand que le triangle rectangle dont les dei^i cathètés* sont égalée^ Tune à la circoiîérence, l'autre au rayon de ce cercle; puis il démontre que le même cercle ne peut pas être plus petit; d*où il conclut que le cercle eét éçal i. ce triangle.

Au reste, comme il s'agit ici'd^ûn théorème fondamentsi^ ^ nous figura gi^ de ^r ^téraLB|p,eiat §ou ^uteujr*

1. L^ nom 4^ <HK^ 4ta^ encore |acozi^ : ^.chimède «e sert ici constamment de. cette piéript^s^ : ^ |h^) d^v ^gJ^^y^ k ffif4 €^uiour d9 l'angle droit.

Voici la démonstration textuelle d'Archimède, avec la reproduction des deux figures qui raccompagnent :

Soit ABrA le cercle proposé. Je dis que ce cercle est égal au triangle E.

• Que le cercle soit plus grand, si cela est possible. Inscrivons

dans ce cercle le carré Ar, et partageons les arcs en deux parties égales, jusqu'à ce que la somme des segments restants soit plus petite que l'excès du cercle sur le triangle <; on aura une figure rectiligne, qui sera encore plus grande que le triangle'. Prenons le centre H, et menons la perpendiculaire N3; cette perpendiculaire sera plus petite qu'un des côtés de l'angle droit du triangle £. Mais le contour de la ligne rectiligne est encore plus petit que l'autre côté de l'angle droit de ce môme triangle, puisque le contour de cette figure est plus petit que la circonférence du cercle. Donc la figure rectiligne est plus petite que le triangle, ce qui est absurde K

« Que le cercle soiti)lttS petit que le triangle £, si cela est possible. Circonscrivons un carré à ce cercle, et partageons les arcs pig 10^ en deux parties égales, et par

les points de division menons des tangentes. Puisque l'angle OAP est droit, la droite OP est plus grande que la droite MP, par la raison que MP est égal à PA. Donc

1. Ceci se rattache à la Proposition vi du I** livre de la Sphère et du Cylindre : • Un cercle. et deux quantités inégales étant donnés, circonscrire i ce cercle un polygone et lui en inscrire un autre, de manière que la raison du polygone circonscrit au polygone inscrit soit moindre que la raison de la plus grande quantité à la plus petite. •

2. Conformément au Principe 1, d'après lequel « la ligne droite est ta plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités ••