Cela résulte de l'application du Principe

le triangle POn est plus grand que la moitié de la figure OZAM*. Que les segments restants soient tels que nZA ; et que la somme de ces segments soit moindre que Texcès du triangle E sur le cercle ABFA. La figure rectiligne sera encore plus petite que le triangle E; ce qui est absurde, puisque cette figure est plus grande, par la raison que AN est égale à la hauteur du triangle, et que le contour de cette figure est plus grand que la base de ce même triangle. • Donc le cercle estégs^ au triangle £'. »

Pour la démonstration du même théorème on fait aujourd'hui intervenir la considération de Vinfini^ qui n'était probablement pas dans la pensée d'Ârchimède, et on dit : Circonscrivons au cercle un polygone régulier d'une infinité de côtés. Ce polygone sera égal à un triangle dont la hauteur est égale au rayon, et la base égale au contour ou périmètre de ce polygone. Or, ajoute-t-on, un polygone régulier d'une infinité de côtés circonscrits à un cercle est égale à ce cercle même. Donc le cercle est égal au triangle.

On pourra encore varier cette démonstration en changeant le triangle en un rectangle égal à ce triangle ', et alors on dira : Le cercle est égal au rectangle de la moitié de la circonférence par le rayon^ ou, ce qui revient au même, au rectangle de la circonférence par la moitié du rayon. Pour démontrer cette proposition, qui est au fond celle d'Archimède, on établira qu'on peut inscrire et circonscrire au cercle deux polygones, dont l'un ne différera de l'autre que d'une quantUé moindre que toute quantité