OEuvres d'Archimède, par Peyrard, 1. 1, p. 196 et suiv

3. Les anciens savaient depuis longtemps que tout rectangle ou parallélogramme se compose (étant divisé par la diagonale) de deux triangles égaux, et qu'on peut, avec un triangle, construire un rectangle. Euclide avait déjà démontré que tout produit rectangulaire, divisé par 2, est égal au produit d*un des facteurs (ligne ou côté) avec la moitié de Tautre, et vice versa. Ainsi, par exemple,

i^:=^x6s|x4, ou, d*ttne manière générale, y =|< ^sj.».

206 HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES.

donnée. Mais ce raisonnement^ quelque simple qu'il ^oit^ satisfait-il complètement ï^fniïj^ Anciens géomètres^ qui luisaient, dans leurs démonstFaiio&s, à uoe rigueur e^tti^me^ ûe pouvaient guôfé admettre en principe que deux quafllitês^ qui rie diffèrent iuHnfinîmîfit peu Yuné dé Vautre^ ,sont. égales entre elles.. Une parfeîIlQ égalité répugnait à leur esprit, -si avide de clarté.

Mettons encore une fois, à côté du raisonnement des gé<Mneli^i» modérnei»/ le raiBonnemé&t d'Archimiddi, Si le cercla n'est pas égal tfu i^ectangl» désigné, il est où plue grand ouplus^petit. Qt^-oa t^ huppés» d'aliord plui^ grand |< él que ce dOBtf il difi^re dé ée rectïmgle soit la quantité A,^ si petite quO' Ton voudra-. Giroonsarivons au cercle un pol^efte qui en diffère d^ moin» que cette quantité. Ge p^lygoiie djBra égal au rectangle de son demi^^érimètrê par- le ra^fen du^cercle* Or, le périmètre^ ou contour de ce pelygone, e^t pluis grand que la circonférence du cercle} d'où il suit que le rectangle de ce demi-périmètre par le^ rayon e«t ûécestiaireâkent plus grand que le rectangle de la demiTCircK)&ftreiice par le même rayon. Mais on a supposé le cercle plus grand, de la quantité A, que ce derni^ rectangle, et le' rectangle du demi^périmètre du polygone cire^BSorit ne diffère du cercle que de moins que* lia qumtité À, Ge dernier rectangle est donc moindre que celui de la demi-eii^ôenfér^be par le rayon; d'où il suit que la demi-eircenférence tuerait plus grande que le demipérimètre du polygone tôreonserit. Or cela est absurde. Le cercle n'est donc pas plus grand que le rectangle du rayon par la deQU-c.irconférence. En appliquant le même genre de raisonnement aur polygone inscrit, il était facile' de prouver que lé iteétangle n'efift pas moindre que le fôctan^le désigné. I>onc il est égal aii rectangle. Voilà comment ^JcEiffiçde, et, avec lui^ tous ks géomètres ^ncîejis mantràieBi qu'il y aurait de Tabsurcbité ei une proposition était autre que son énoncé; et c'était là^le sm? de leui'e déd9bnèiratiene par la réduction à Vc^éttrd».

Les deux dernières Propositions du petit traité de la Mesure au (^ef ^ touôbént au fametixproblèBi^ delà quadrattm du cercle. L'une (Proposition ii) a pour but de montrer qa'un cerd& est au carré cmsirmù sur sM.diâmèîre^ à £rè^ peuprès^ comme West à 14 ; et Tautre (Proposition m) est consacrée à démontréf que la cîrôônp^renàe a lin cerclé quël^ conque est égalé au tHpte dudîariftèiréyréuni à une cer^tatrië portion du dtdmèife^ ptué petite que le Septième de ce dtdmi-

tre, et plus ^aàdc qut hs n dé^ce même diamètre. Oa sait

que ce fut eh insèrîvàûf et cîf dôûscîîvaïit a1î cercle deùx po-lygones de 96 eôleâ cfié(îûïi^ et éû (îateùïaût lêùî'â ïoiigueufs, entre lesquelles là ôîtéonférénce du céfclé doit évîdeffimentf se fi*ouvèf , qii'ÀfCtiîinède'paWiiit' S. établir àpproxîiiîativemént le rapport dû diamètre à la cîreonféréïic^e , éf qu'il trouva que, ïë diamètre étant pria |K)ar ûtfité, ïff cif-

conférence est plus petite que 3 » et plu^gr^de^ifuetSK^

ce Mais îl est MpoTtâiït^ ' ajoute Mônftrclër, dé' témé^^ une adressé particulièréf dont ÀrcUmède fif usàgt'pbûï' mettre 6a démonstratioii à FaBît dé toute' élceptîiou; tf prévît bien que, comme il entrdt daiis Son câfcttl ]^r>ïsieurs extractionâ imparfaites de racines, ou pourfétît lui objecter que les petites fraction^ itégligêes* lut àVaieiit^ donné une valeur du polygone iûscrit plus grande, ôtf celle 4u polygone circonsQrit eJWftdre q»e te. vérii^bfej, alors il n'aurait plus été vrai que la circonférence fût renfermée entre- ces limites. Aus^i, pour prévenir^ cette difficulté, il arrange son calcul de telle sorte, qûé^ces petits écarts de la vérité ne servent qu'à rendre la conséquenjçe. plus certaine, parce qif ils lui donnent^ évîâfémment une valeur du polygone inscrit moindre, et celledupolygpi^e circonscrit plus^ gî'ande qu'elles ne sont réelfeméht,^ â nV dit point qi» It diamètre éUxii, Iple pASp>ià!es. isisont &aS:

3 — ; mais il dit et il démontre que le polygone inscrit

est plus grand que 3 — , et le polygone circonscrit plus

petit que 3 — • Ainsi, Ton ne peut se refuser à la conséquence qu'il tire, que la circonférence elle-même est entre ces deux limites*. » Par cette remarque, Montucla a voulu répondre à Tobjection spécieuse, que des chercheurs de la quadrature du cercle ont élevée , pour détruire Tinduction qu'on tirait contre eux de ce que leurs prétendues valeurs de la circonférence ne se rencontraient point entre les limites d'Archimède. Cette objection prouve seulement leur ignorance des écrits d'Archimède.

Nous avons à regretter, pour l'histoire de Tarithmétique, que le grand géomètre ne nous ait pas transmis les détails du calcul qu'il a dû exécuter pour arriver au résultat qu'il se borne simplement à énoncer. L'un de ses commentateurs, Eutocius d'Ascalon, a tenté de combler cette lacune, Eutocius donne des exemples d'addition, de soustraction et de multiplication, tant pour des nombres entiers que pour des nombres fractionnaires; mais il ne donne pas un seul exemple d'une division, ni d'une extraction de racines. Cette dernière opération était cependant exigée pour contrôler le calcul de la Proposition d'Archimède, car il lui a fallu extraire les racines carrées

des sept nombres suivante : 349 450 , 1 373 943 ^^

5472 132 A» 9082321, 8380929, 1018405,4069284 J^. lo oo

Archimède s*était borné à donner comme racines : 591 - ,

1172 L 2339' i, 3013?, 1838-^, 1009^, 2017 j, sans

fournir aucun détail sûr cette opération. Eutocius aurait

]. Uontucla, Histoire detmathématiqMS,U I) p. 324.

dû nous montrer ici la méthode, dont se servaient les anciens pour extraire les racines irrationnelles ; mais il dit seulement que « la racine (TrXeupJc) de 349 450 est près de

591 g, parce que le carré de 591 - est environ de

^1 + fi "h TT pl^s petit que le carré véritable. » Il est

permis d'induire de là que les anciens n'avaient pas de méthode d'extraction particulière, et que tout se bornait ici à des tâtonnements^.

Des conoîdes et des sphéroïdes'.

Archimède appelle conoîdes et sphéroïdes les corps engendrés par la révolution de sections coniques autour de leur axe. Qu'on suppose, par exemple, une parabole tourner autour de son diamètre immobile jusqu'à ce qu'elle soit revenue au même endroit d'où elle avait commencé à se mouvoir, la figure comprise par la parabole se nommera concUde parabolique ; le diamètre, immobile, sera l'axe du conoïde. Le coruMe hyperbolique s'obtiendra en faisant tourner une hyperbole et ses asymptotes % placés dans le même plan, autour du diamètre immobile. Si une ellipse tourne autour de son grand diamètre immobile jusqu'à ce qu'elle soit revenue dans le même endroit d'où elle avait commencé à se mouvoir, la figure produite par l'ellipse s'appellera sphéroïde allongé. Si le même mouvement s'exécute autour du petit diamètre , l'ellipse s'appellera

1. Nesselmann, die Algébra der Griecheris p. 109 (Berlin^ 1842^ in-8).

2. Ce petit traité a été adressé, comme le premier^ à Dosithée.

3. On voit ici pour la première fois apparaître les asymptotes de l'hyperbole. Cependant Archimède n'emploie point Texpression grecque d^asymptotes. II les appelle lignes qui se rapprochent le pltu des sections du cône ohtusangle (hyperboles), al irr(^> '^à^ tov AlfcêXvyiAvCov x(&vou xo^ç,

HIST* DiZS MATS. 14

sphércMe apiali. Ârchimèda examine ensuite les Gwcjfê qu'il a ainsi engendrés ; il les compare, soit entiers, sait par segments , avec les cylindres ou les cônes de même base et de même hauteur. Il trouve ainsi, pour 1^ oonoîde parabolique, que le rapport du conoide au cône estrcomme 3 : 2 ; et que, pour le conoïde hyperbolique, on a le* rapport de Za + h:2a'\-h^ où a déjûgne le denù-axe de l'hyperbole et h la hauteur du cône. La moitié du sphé* roïde (obtenue par la section perpendiculaire à Taxe et passant par le centre du sphéroïde), comparée au cône inscrit, lui donne le rapport de 2 à 1. Si la section, perpendiculaire à Taxe, ne passe pas par le centre du sphéroïde, le rapport du segment au cône inscrit sera comme 3a — h est à 2a^ A, où a désigne le demi grand^ULO de l'ellipse^, et h la hauteur du i^gment, conséquemment aussi du cône. Toutes ces déterminations, aujourd'hui si fami^ lières aux! géomètres , sont clairement exposées daûs le traité des Conoïdes et des SphércMeSé

C'est dans ce même traité qu'Archimède a démontré ixM proposition, dont on a fait un fi^équent usâg^ en astroocK mie, à savoir, que la surface de l'ellipse est à celle âùcer^ clé circonscrit dans la raison du petit àsce ou gràR^cuBé,

Des hélicos.

Les proprietêÉi de la ïi^ne courbe qui porte îé nonr d'hélice ou spirale (i)nl\ avaient" été particulièrement étudiées pjir Conon, ami d'Archimède*; mais il mourut sans ayoir donné la déwonsUra.tion de ses théorèmes. G'est ce qu^Archimède nous apprend lui-même dans la préface de

1. Conon vivait sous les règnes de Plôlémée Philadeïphe et dePtblémée Évergète (de 283 à 222 avant J. C). Suivant- Àpofloûius de Pergè j il essaya de déterminer le nomBre de points qui peuvent être commans à un cercle et à une section conique, ou l)ien à deux 8ec« tions coniques, sans que les deux courbes se confondent. Conon était aussi astroiaiOffle. Seé observations ont été, en partie^ coMei^éiS pat

son traité des Hélices, et il annonce qu'il va compléter fcetivre commencée par son ami. Après diverses additions faites ata traités précédents , Tautèur arrive à la généra^tiori de Thélice , qu'il décrit en ces termes : « Si une droite menée dans un plan, une de ses extrémités restant immobile, tourne avec une vitesse uniforme jusqu'à ce qu'elle soit revenu^ au point d'où elle avait commencé à se mouvoir, et si, dans la ligne qui a tourné, un point se ïàetit avec une vitesse uniforme en partant du point immobile de cette ligne , ce point décrira une hélice. » — Dans la description, plus explicite, donnée par les moderneS| on suppose le rayon d'un cercle divisé en autant 3e parties que sa circonférence, par exemple en 360. Le rayon «e meut sur la circonférence et la parcourt tout entière» Pendant ce même temps, un point, qui part du centre du cercle, se meut sur le rayon et le parcourt tout entier ; en «orte que les parties qu'il parcourt à chaque instant sur le rayon sont proportionnelles à celles que le rayon parcourt dans le même instant sur la circonférence ; ainsi^ pendant que le rayon parcourt, par exemple, un degré de la circonférence, le point qui se meut sur le ïayon en parcourt la 360** partie. Le mouvement de ce ]^oint est évidemment composé, et s'il laisse une trace, ce sera la courbe. qu'Archimède a appelée hélice. On voit que l6 centre de cette courbe est le même que celui du cercle, ^t que ses ordonnées ou rayons sont les différentes lenteurs eu rayon du cerel&, prises depuis le centre, et à i'ez^inité desquelles le peitit mobile s'est rencontré à

^tolémée; elles paraissent avoir ét^ faites en Italie. Virgile mentionne 'Gonon dans ces deux Vers de sa troisième églogue :

« In medio duo signa : Gonon....

> iyescripsit radio totum qui gentibus orbem. »

% «iftidoateax que la eonstollation nosimée Chevelure de Bérénice par Càaoa, et que Ftolémée «pp^e la Boucle (IlXo4ca{i6(}, soit identique avee.^Ue qui poite le mémt nom dftBS les catal<^ue3 d'étoiles modernes.

chaque instant; conséquemment ses ordonnées concourent toutes en un point, et elles sont entre elles comme les arcs de révolution^ c'est-à-dire comme les parties de la circonférence du cercle correspondantes , qui ont été parcourues par le rayon * .

Conon s'était borné à la génération de la spirale. Archimède alla plus loin. En examinant cette courbe, il en trouva les tangentes, ou, ce qui revient au même, les sous-tangentes , et ensuite les espaces. H démontra qu'à la fin de la première révolution de la spirale , la soustangente est égale à la circonférence du cercle circonscrit, qui est alors le même que celui sur lequel on a pris les arcs de révolution; qu'à la fin de la seconde révolution, la sous-tangente est double de la circonférence du cercle circonscrit ; triple, à la fin de la troisième révolution, et ainsi de suite.

Quant aux espaces, compris entre le rayon qui termine une révolution , et l'arc spiral qui s'y termine aussi, pris depuis le centre, Archimède a démontré que l'espace spiral de la première révolution est à l'espace de son cercle circonscrit comme 1 est à 3 (Proposition xxiv); que l'espace de la deuxième révolution est au cercle circonscrit comme 7 est à 12 (Proposition xxv), et ainsi de suite.

Le texte donne ici cette figure de l'hélice (fig. 17), accompagnée de la démonstration suivante. :

« Soit le point 6 le commencement de l'hélice, et la droite 8E le commencement de la révolution. Que la première des surfaces soitK; la seconde A; la troisième M; la quatrième N; la cinquième S. Il faut démontrer que la surface K est la sixième partie de celle qui suit; que la surface M est double de la surface A; que la surface N est triple de cette même surface; et que toujours les surfaces qui

1. La manière dont Archimède décrivait sa spirale, par la composition du mouvement circulaire et du mouvement rectiligfne, montre que les anciens connaissaient la composition des mouvements, et qu'ils l'avaient appliquée à la géométrie pour concevoir la génération de certaines courbes. (M. Chasies, AperçU historû^ey etc., p. 59.)

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES GRECS. 2l3

suivent par ordre sont des multiples de celles qui se suivent aussi par ordre. Voiôi comment on démontitera que la surface K est la sixième partie de la surface A. Puisqu'on a démontré que la surface KA est au second cercle comme 7 est à t2; puisque le deuxième, cercle est évidemment au premier comme 12 est à 3 (parce que 6 est double de 0A) ; et puisque le premier cercle \si à la surface K comme 3 est à 1^ il s'ensuit que la surface K est la sixième partie de la surface A. On a démontré que la surface KAM est au troisième cercle comme la surface, comprise sous ra, 6B^ conjointement ^^3* ^^'

avec le tiers du carré TB, est au carré TB. De plus, le troisième cercle est au deuxième comme le carré de ro est au carré de 6B ; et le deuxième cercle est à la surface KA comme le carré de BO est à la surface comprise sous B6, 6A, conjointement avec le tiers du carré AB. Donc la surface KAM est à la surface KA comme la surface comprise sous r0, 6B, conjointement avec le tiers du carré de TB, est à la surface comprise sous B6, 0A, conjointement avec le tiers du carré de ABi Mais ces surfaces sont entre elles comme 19 est à 7 ; donc la surface KAM est àAK comme 19 est à 7 ; donc la surface M est à la surface KA comme 12 est à 7. Mais la surface KA est à la surface A comme 7 est à 6 ; donc la surface M est double de la surface A. On démontrera de cette manière que les surfaces suivantes sont égales à la surface A, multipliée successivement par les nombres qui viennent ensuite, etc. *. »

Telles sont les principales découvertes d'Archimède concernant la spirale. Malheureusement ses démonstrations spnt, pour la plupart, si obscures, que Viète, entre autres, les a traitées de paralogismes. A Taide des méthodes nouvelles, on les a beaucoup simplifiées et étendues»

De réquilibre des plans ou de leurs centres de gravité.

Dans ce traité, composé de deux livres, Archimède posa le premier les principes de la statique, et il les développa