Œuvres d* Archimède, par Peyrard, t. Il, p. 98 et suiv

dans le traité Des corps flottants. Car ce qu'Aristote noue a laissé à ce sujet a très-peu de valeur* hà statique d*Ai^ chimède repose tout entière sur l'idée des centres de §nivite, idée qui a été depuis généralisée comme un moyen d'investigation ou d'analyse. C'est par III que le grand géomètre syracusain arrive à démoutrer h priufiipQ ^Ad^* mental de la réciprocité des poids a^ee les distances an point d'appui dans le levier et les bakinees à bras tnégaM; Il le déduit du cas Je plus simnle, de celui où déS poids égkux sont appliqués à dea aistà^ces.. égales du poipt d'appui, cas où l'équilibre est évident. Après «voir démos* tré ce principe, il se livre à des spéculations dignea et remarque sur le centre de gravité dès figureâ plaiibïiétriques. Ainsi, il trouve et démontre, que le ceutre de gr9r vite d'un parallélogramme est le point oA les deux diago» nales se rencontrent; que le centre de gravité d'un triangle est le point où se coupant mutuellement des droites menées deft wàgUs du triangle aus^ milieux des côtés ; que le centre de gravité d*un segment qaeleoaqoe compris par une droite et une parabole est dans le diamètre du segment, etc.

De la quadrature de la parabole.

Parmi les nombreuses découvertes d'Archîmède , la quadrature de la parabole est celle qui fait le plus d'honneur à, la sagacité du grand géomètre. Et comme^ dan^ sa lettre à Dosithée, il raconte lui-même comment il y parvint, nous ne saurions mieux faire que de lui laisser la parole.

« Archimède à Dosithée, salut.

« Lorsque j'appris que Conon, le êeul de mes âmîs qui me restât encore, était mort, je résolus de t'envoyer, comme je lavais fait à lui-même , un théorème de géométrie dont personne ne s'était encore occupé. J'ai découvert ce théorème, d'abord par des considérations de mé-

canique, et ensuite par des raisonnements géométriques. Parmi ceux qui ont' Cultivé la géométrie avaiat noud, quelques-uns ont voulu faîte voir comment on pourrait trouver une surface rectiligne égale à un cercle ou à un segnrexit d^^elde^ Ils ont ensuit^ essayé de carrer la surface coipprifi^éj^pk SreQtipn d'un cône entier et par une droite, mais 0Et admettant des lemmes difficiles à accorder. Aussi ont-ils 4ié repris par plusieurs personnes comme n'ayant pft$ ^tt^t leur but. Mais je ne sache pas qu'il se soit trouvé m^QOvq un seul homme qui ait dierché à carrer 1a 3!idaQ^ compris «ous une droite et une parabole; ce qye nou^ ayons certainement fait aujourd'hui. Car noua dçiSpntr^roQS qu!un segment quelconque j compris par une dr^tle el par um pçir^bole^ est égal à quatre fois le tiers du triafigk ijm a la même base et la même hauteur que le segment. Poijr démontrer ce théorème, nous nous sommes servis du lemme suivant*. Si deux surfaces sont inégales^ et si ce dont la plus grande surpasse la plus petite est ajouté à lui-même un certain nombre de fois, il peut aïtivèt que ce reste ajouté ainsi à hii-môme surpassa tine surface proposée et limitée. Les géomètres qui ont vécu avant nous ont aussi fait Usage de ce lemme pour démon* trer que les cercles sont entre eux en raison doublée (o*6st^k-dire comme les carrés de leurs diamètres), et les sphères en raison triplée ; qu'une pyramide est le tiers d'un prisme qui a la même base et la même hauteur que cette pyramide , et qu'un Cône est Id tiers d'un cylindre qui a la même base et la même hauteur que ce cône. Or, les théorèmes démontrés de cette manière n'ont pas paru moins évidents que ceux qui ont été démontrés autrement. Ceux que je viens de mettre au jour ont donc le même degré d'évidence. Comme j'ai écrit les démonstrations de ce théorème, je te les envoie. Tu verras com-

1. Ce lemme est emprunté à la I'*" Proposition du t* livre d*Éùcli^e.

216 HISTOIRE DES MATHâMATIQUES.

ment le théorème a été résolu, d'abord par des considérations de mécanique et ensuite par des raisonnements géométriques. »

Les deux méthodes employées par Archimède pour démontrer la quadrature de la parabole sont, en effet, l'une directe ou géométrique, et Tautre indirecte ou mécanique. La première consiste dans la sommation d'une progression géométrique décroissante. A cet effet, il inscrit d'abord un triangle dans la parabole, puis un autre dans chacun des deux segments restants ; enfin il en inscrit également dans les quatre, huit, seize, trente-deux, etc. autres, qui proviennent de cette espèce de bissection continuelle, et il trouve que le premier triangle, les deux ihscrits dans les segments restants, les quatre, les huit, etc.

,11 1 , suivants, donnent une progression comme 1 » j> Tgf gr, etc.

n 'cfibrche à déterminer la somme de cette progression, et

il tMMive qu'elle est 1 - • Ainsi , la parabole , qui est la

somme de tous ces triangles, est les ^ du triangle inscrit,

ou les - du parallélogramme circonscrit. C'est ce qu'éta-^

blit la Proposition xxm du Traité de la quadrature de la

parabole. Elle se démontre algébriquement, d'une manière

très-simple. Soit a la plus petite de ces grandeurs et v

la plus grande. La somme de toutes ces grandeurs égalera

— - — ; et en y ajoutant —, on aura 4t;.

La seconde méthode de démonstration est tout à fait singulière. Elle est fondée sur les principes d'une statique tout intellectuelle qui devait faire découvrir ce qui se passerait, si l'espace curviligne de la parabole et son équivalent rectiligne étaient pesés au moyen d'une balance telle que la conçoivent les mathématiciens. Ce fut ainsi qu'il

trouva le rapport de la parabole au triangle inscriti indé* pendamment de tout secours géométrique.

La quadrature de la parabole trouvée par AVchimèdé est le premier exemple d'une véritable quadrature de courbe.

L'arénaire.

làArénoArt est la conception d'un homme de génie. U s'agissait, pour Ârchimède, franchissant les bornes de récriture et du langage, de trouver un nombre qui, quelque considérable' qu'il fût, ne dépassât pas cependant les bornes de l'intelligence humaine. Ge nombre devait être plus grand que le nombre des grains de sabh (d'où le titre de V^afifAiTTiç ou Arinaire^ donné au Traité en question) grie contiendrait v/n globe ayant pour rayon la distance du centre de la Terre à la sphère étoilée.

Nous avons déjà parlé ailleurs de YArénaire *• Nous n'y ajouterons que les détails qui intéressent plus particulièrement l'arithmétique des Grecs.

Gomment exprimer le nombre si considérable qu'Ârchimède avait proposé sous forme de problème ? Aucune difficulté n'existe à cet égard d'après le système de numération moderne, où les unités acquièrent dix fois, cent fois, mille fois, etc. leur valeur (valeur de position], suivant qu'elles occupent, à compter de droite à gauche (comme les lettres dans les langues sémitiques), le deuxième, le troisième, le quatrième, etc. ordre. Mais Ârchimède s'y était pris d'une autre manière. Tout en conservant le système traditionnel, représenté par les monades {itjovihq)^ les dé^ codes (SexaSeç), les hécatontades (Ixatovia^ç), les ehiliades (xtXidcSeç), les myriades ((MipiaSeç), les dix myriades (S&xa fAupiaSeç), les cent myriades (Ixaxov fiuptàScc), les mille myriades (x(^i«( (AuptàSeç), voici ce qu'il imagina pour arriver à des nombres dont la grandeur épouvante l'imagina-