Voy. notre Histoire de Vastronomie, p

tion. Les nombres dont nous venons d'indiqpier les désignations grectpes fonnent lés tennes de k progression géométrique de W, 10*, W, ÎO*, 10», Î0«, 10', 10». Cette première série, dont le dernier terme est 100 000 000== 10*, comprenait tes nombres du prtmièr ordre où les nombres primes^ irpcoxot dcpiOftol. La série suivante, qui comprenait les nombres de 10* à 10**^ fermait les nombres du second ordrCf Siurepoi iptôfxol; la troisième série (de 10** à 10") donnait l$9 noif^es du iroistème ordre; la quatrième série (de 10* â 10**) ceux du ^uafrièm& or^y. et ainsi de suite (iè9 exposants allant en progression arîthmétime de 8) jtwqu'aux nomfcres du huitième ordre. Mais Arcttîmède ne s'arrêta pas là. Avec ces ordrcs^ de nombres, dont le dernier terme était 10", il formait les unités d'une nottvdle division, appelée première pMmf^, qui était suivie des nombres de la deuoni^e pMàde; etc. C'est ainsi que, tout en se servant des mots usuels dé la langue grecque, Arciiimède parvrnti avec 16** (en exprimant part/t le nombre fxupirfxtç fx^ptai fji\)ptd[$e<, c'est-à-dîrô 10 à la trîlliônième puissance), à pousser le système de tturaératîon à

llnfini;

Nous avons fait ailleurs [Histotrede V astronomie ^ p. 188) ressortir Timportance du passage de VAr inaire où il est traité du moyen de mesurer le diamètre apparent du Soleil. Il résulte de ce passage qu'à Tépoque d'Atchlmède on n'avait encore aucun procédé pour calculer Tangle au sommet d'un triangle isoseèle dont on connais* sait la^ base et les deux côtés égaux ; ce qui le prouve, c'est Topération graphique employée à cet efPet par Tàuteur de VArinaire^ opération aussi incertaine que Tobservation elle-même qui s'y trouve décrite. On ne songeait donc encore aucunement au moyen de calculer les cordes des arcs de Cercles. La trigonométrie^ même rectiligné, était encore k naître. Cependant la manière dont Archlmède calculait les polygones inscrits et circonscrits était un acheminement au calcul des cordes.

LES MATHÉMATIQUES GHQZ LEQ GS^GS. S 19

Qef •çrps ffù sont portés sar un fluide (équilibre des corps fiôttântsj,

Intentions mêca^ques.

Sttivuût ta légetitte, ce fut une' (|ti6stioxi posSeparHiéroiî, rôî àë SyracttSdr, û[ui provoqua léa découvertes hydrottca^ ^Ues (^'Archîmètfe ft exposées dans son TYatti de ftquUibré dés àofps flottants. Hiéron atait remîà à un orfôxnfCf t(ùe certaine quantité d'or pour e;i faire une couroiméV É^àrtiste iiifidèle retînt une partie de èét or, et y ôubâtituâ utT égal poidd d'argent. Où soupçonna la frauae, et eomnie on né voulait pas faire refondre la couronne qui êtaît d*ùîi ttàvail eiquilr, Archîmède fut consulté sur le moyen de découvi'il* la qnantîtê d'or Remplacée par le niêïûe poîdà d'argent. La recherèhâ du moyen de résoudre ce problème le poursuivait pour aînsî dire* en tout Kôn^ forsqu*uû jour, en sortant d'un bain, il se mît ^ crier : Tai trouvé^ fat trouvé : etpuixa, sîpiqxa t locution devenue depuis prbverbialç. Cette anecdote a été rapportée par Vitruve (au commencement du neuvième livre de VÀrçHttecti^é)^ qui luoute : d Aussitôt après cette première découverte, Arcnimèdé fît faire, dit-dn^ deux masses dé môme poids (jue la couronne, l'une d'or, l'autre d'argent; ensuite il remplit d'eau jusqu'aux bords un grand vase, et y plongea là masse d'argent qui, à mesure qu'elle enfonçait, faisait sortir Un volume d'eau égal au sien. Ayant ensuite 8lé cette masse, il inefinra Teau qui' manquait, et en remit une certaine quantité dans le vase pour que celui-ci fût rempli jùsqu aux bords comme aùparavaùt. Cette expé<* riençe lui fit connaître quel poids d'argent répondait à Une certaine mesure d'eau.. II plongea enduite de même la masse d'or dans le vase plein d'eau ; et après l'en avoir retirée et également mesuré l'eau ^ui en était sortie, il reconnut qu'il n'en manquait pas autant, et qa« le moins répondait sa poids qu'avait le volume de la masM d'or eom» paré avec le volume de la massre d'argent qui était de

220 mSTOIRE DBS MATHÉMATIQUES.

même poids. Le vase fut rempli une troisième fois, et la couronne elle-même y ayant été plongée, il trouva qu'elle en avait fût sortir plus d'eau que la masse d'or, qui avait le même poids, n'en avait fait sortir ; et, calcubmt d'après le volume d'eau que la couronne avait fait sortir de plus que la masse d'or, il découvrit la quantité d'argent qui avait été allié à l'or, et fit voir clairement ce que l'artiste avait dérobé. »

Mais cette méthode ne donnait que le rapport des quantités d'eau, qu'un poids (masse) d'or et le même poids d'argent chassaient du vase* ; elle ne pouvait donc aucu« nement servir à trouver la quantité d'argent qui avait été frauduleusement substituée à une certaine quantité d'or. Yitruve, en reproduisant la légende, a sans doute voulu bdre allusion à la Proposition vu du premier livre de V Équilibre des corps floUants; Proposition ainsi conçue : « Si des corps plus pesants qu'un fluide (6y(>^) sont abandonnés dans ce fluide, ils seront portés en bas puisqu'ils arrivent au fond ; et ces corps seront d'autant plus légers dans ce fluide que le poids (6atpo<) d'une partie du fluide, ayant Je même volume que ce corps, sera plus grand ; en d'autres termes, « tout corps plongé dans un fluide y perd de son poids autant que pèse un volume d'eau égal au sien. »

Ge fut prolnd)lement la découverte de ce théorème qui excita l'enthousiasitie d'Archimède. En effet, en raisonnant d'après cet énoncé, on trouve que l'or, métal plus dense, perdra moins de son poids que l'argent, métal comparativement plus léger, et qu'une masse mêlée d'or et d'argent perdra une quantité moindre que si elle eût été toute d'argent, et plus grande que si elle eût été toute d'or. Il suffisait donc à Ârchimède de peser dans l'eau et hors de l'eau la couronnei et comparativement deux masses

1. L'or et l'argent étant de densités différentes, il est évident que les mêmes poids d'or et d'argent n'occupaient pas le même volume, et que, par conséquent, ils ne déplaçaient pas la môme quantité d'eau.

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES OHEGS. iSl

d'or et d'argeut, pour arriver à déterminer les proportions de l'alliage.

G^est moins le géomètre que l'inventeur de mécanismes ingénieux que l'antiquité admirait dans Archimède. Cet homme de génie inventa, entre autres, raconte Diodore, une machine pour diriger les eaux du Nil sur les terrains que Tinondation ne pouvait pas atteindre. Elle devait servir aussi aux navigateurs pour vider Teau des sentines des navires. Par un autre passage du même auteur, on voit que les Hispaniens se servaient d'une machine analogue pour chasser Teau qui remplissait les galeries souterraines, en partie creusées par les Phéniciens. De ces différents passages on a induit que non-seulement Archimède avait voyagé en Egypte, mais qu'il avait même visité l'Espagne.

La vis sans fin, ou vis d'Archimèdei les poulies et leur multiplication, les poulies mobiles, passent aussi pour des inventions du célèbre géomètre syracusain. Nous avons parlé ailleurs {Histoire de l'astronomie, p. 186) de lu Sphère céleste i'ATch\mhàe, qui fut, dans l'antiquité, un objet d'admiration universelle.

On raconte que Hiéron, émerveillé de toutes ces inventions, s'écria : Nihit non, dicenti Arthimedij credam^ « je croirai désormais possible tout ce que me diraÀrchimède.» A quoi Archimède aurait répondu : Da mihi ubi consistamj et terram loeo movebo^ «donne-mai un point d*appui, et je déplacerai la Terre. » Et ce fut alors qu'il imagina, dit-on, la machine à Taide de laquelle il mit seul à flot un vaisseau d'une grandeur énorme.

Les lemmes.

Le livre des Lemmes*, qui manquait dans quelques édi-

L Le mot îemme (de U\t]M, pdlicule) a été depuis introduit dans la sdence pour désigner une proposition préparatoire, destinée à en prouver une autre, appartenant plus directement, au sujet qu'on traite.

2âS HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

tions, et dont on a voulu contester l'authenticité, reaferme i»& propositions très-curieuses al utiles à l'analyse giosiétricpie* Telle est, entre autres, k Proposition xi, qui repose sur la propriété sounue des cordes qui se coupent à angk droit dans le cercle, à savoir qu» la somme d$9 forrâ dei quatre iegmmis faiu sur 1$$ 4ews eordes^par imr point dHntersecticmj csl igak au wri 4u àiamèmiu tvciU. Qa es tpartâ de là pour calculer le diamètro du œr^ •te ^conscrit à un triangle, et on a trouvé que « le profit de deux cAtés d'im triasse divisé par la perpendicu* lùre abaissée «ir le tapoisitee eôté est le diamètre du eeido eùreoneerik • Pour ^^dcider le dii^èlre d^ cerele circoo* ssiit au tétrii^ne, le procédé est le vAja» : on eensidted fo triangle fonaé par deux edtés contigus et une diagonale. P^r 1^ tétragone, ^ a sed deux diagonales i^tangedai- «eSy « le diamètre esi égsdà k racine carrée de ksomate iea CMrrés de deux cètés o]^osés. » Ge» dénuées^ qui découlent de k Proposition citée d'Ardiiniède, ser^troment dans l'ouvrage indien de Brahmagiipèa*.

AiHappovtde PappttS {fkiUeetiiommêitMmiatifjm^ lir. Y), Arcbiaièdo ayaifr cherché à étudier la doctrine platOiii^ Cienne^ des cinq solides géométtiques. Ne pouvant forjner jjjfim, de cin({ polyèdres i^éguliors, il en imagina d'une es<^ pèoe ]^)Hl^e> i^^l^ Umir^rég^iillMr^; kuni £sees étaient, cemne i»m ks- akm^ ptemiers, des polygones réguliers, nmi» Qon teus deiiBd>kbles entre eux. Kepler les a repro*duits dans son Harmonice munéi*

■élhikle d'Arehlméde» Orif^Ae de l'analyse

lalUillésIniale.

De k lecture attentive des écrits d'Atcliîmïfdë ressort un Hâul.en^ignèmeiit, à savoir que fjoùr faire des découvertes-