M. ChasleSj Aperçu hUiorique, etc. , p

LES MAfHËMÂTIQUES CHEZ LES GRECS. 223

e& matltématiques et contribuer efficacement au progris dû la science, u faut être en possession d'une idée dir«c* trîce^ ou d'une méthode ; car c*e9t là ce que signifie au fond y mot mkkad^^Geat ce (}ue mettront, plus tard, en par* faita évidence les travaux dé î^ascal,; dû Desçartes,, de Eermat, de LeibjiiZf etc.

L'idée^ dxrectiice. d'Archimède^ itaît de pyncivm v/ne candeur conmm étcM comprise mtre dmo^ dtflra grar^ ^e^r^ dQ tdUfaeanqm celks^-ci ptmsMty d^paxlUd'aiUr^ $!en appvochea: GonanueUemént y sans jamais m eonfonr- 4r& aw ^ie«> C'est ainsi qua npus a^om yu les polygor nés. inscrits et les polygone» circonscrit» à un cercle^ Qdalgré U duplication sans cesse répétée du nombre do leuracâtés^ toujours rester^ 1^ premiers plus petits et les seconds plus grands que la circonférence ckmtils aj^p»^chaient perpétuellement en sens opposé.

Archimède est donc le véritable auteur- de la Méthode des UmiUs^ qui est, seulement sou», un autrenom,, laméme qjae la Méùwde d'exhaustion. &'il ne sa servait pas du mot ^ U avait trouve la choie. En effet, dans le lîpgage aujourd'hui consacré, une grandwir est dite la iimile d'une aur tre grandeur^ quand cellei-ci peut^ ^n^prooher de la pte^^ mière plus près qm d'une grandeur donnée, si petite qii'on la suppose,, sans pourtant que la grandeur q^i 9^ proche puisse jamais surpasser la. g^andeui^ dont elle- aj>«^ proche ; de sorte que la différence-d'une pareille quantil^ à safo'mjtéest abselument inassignable. C'est ainsi que la> ci^onférenjQe^dueerde est k Umitp de raugmentation-dtl

Cette, maboiàre de concevoir kgéaération des grandeurs fut appliquée à réclaiFcissement de beaucoup de^proposi* lions mamématiques qui pouvaient laisser quelq^e ineerlitude dans l'esprit. Par exemple, quand on donne, par une formule algébrique» la, somme des termes d'une progression géométrique décroissantQ^^ eett^e- formule ne dçmne pas absolument la somme même de tous les termes de la

progression qui peut aller à Finfini, mais elle indique la limite de cette somme, c'est-à-dire la quantité dont elle peut approcher si près qu'on voudra sans jamais l'atteindre exactement. <c La théorie des limites est, dit d'Alembert, la base de la vraie métaphysique du calcul différentiel. » Si, laissant là l'idée de/imt7e,on considère plutôt, comme le faisaient les anciens, l'espace à resserrer, à épuiser (exhaurire) où la courbe se trouve comprise entre des figures rectilignes, on aura la méthode i'exhaustion. C'est une autre manière de voir, appliquée à une seule et même chose. « En observant avec attention les procédés de cette méthode, on voit, dit Gamot, qu'ils se réduisent toujours à faire intervenir des quantités auxiliaires dans la recherche des propriétés ou des relations de celles qui sont proposées ; celles-ci sont considérées comme les termes extrêmes dont les premières sont supposées s'approcher continuellement, et la loi de continuité qu'elles suivent dans ce rapprochement indique les modifications par lesquelles on peut passer des propriétés connues de ces auxiliaires aux propriétés jusqu'alors inconnues des quantités proposées.... La méthode d'exhaustion a donc essentiellement le même but et suit dans sa marche les mêmes principes que l'analyse infinitésimale, Gest toujours le même système auxiliaire de quantités connues, lié d'une part à celui que Ton cherche à connaître, tandis que, d'une autre part, il reste à ce système assez d'arbitraire pour qu'on puisse à volonté le rapprocher par degrés du système proposé, ce qui fait connaître par induction les relations cherchées. Il ne reste plus alors qu'à constater la certitude de ces relations, et c'est ce qu'on obtient par la r^cfuc^ion à i'abiurde^ » Ce genre de démonstration se réduit au fond à l'application de cet axiome fondamental : Une chose qui est ne peut pas en mime temps ne pas être.

1. Voy. Garaot, Ké flexions sur la métaphysique du eakul influa" Hmol, p. 90 (4* édit. Paris, 1860).

C'est donc avec raison qu'on fait remonter à Archimëde l'origine de l'invention du calcul différentiel ou infinité* simal. Aussi Leibniz pouvait-il dire que « ceux qui sont en état de comprendre Archimède admirent moins les dé-» couvertes des plus grands hommes modernes. » On sait que Leibniz avait fait une étude approfondie des œuvres d'Archimède.

Apoliontus de Pevge. — La Géométrie de l'ordre *.

Natif de Perge en Pamphylie, Apollonius vivait à Alexandrie sous le règne de Ptolémée Philopator (de 222 à 205 avant J. G.]. Il était donc d'une cinquantaine d'an» nées plus jeune qu' Archimède. On ne sait de sa vie que le peu que nous en apprend Pappus, qui se borne à nous le représenter comme « un homme vain, jaloux du mérite des autres, et saisissant volontiers l'occasion de les déprécier. » Ce sont là certes — si le renseignement est vrai — de vilains défauts ; mais Apollonius les a partagés avec beaucoup de grands géomètres : nouvelle preuve à ajouter à tant d'autres, que si la science contribue à élargir l'intelligence et le bien-être matériel des hommes, elle ne les rend pas moralement meilleurs.

Apollonius de Perge est l'auteur d'un ouvrage sur les Coniques élémentaires ( sections coniques ) , xtovixà atoi- XsTa, en huit livres, dont il ne nous reste que les quatre premiers dans le texte original, avec les commentaires d'Eutocius. Les livres cinquième et septième ne se trouvent que dans une traduction arabe, et le huitième a été rétabli par Halley, d'après les arguments conservés dans les Lemmes de Pappus,

L'ouvrage d'Apollonius sur les Sections coniques est pour ainsi dire le couronnement deJa géométrie grecque;