Voy. p. 191, note â

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mr oeux qui Tinrent après ne l'ont fait guère que copier. Tout y est coordonné ejmétriqueinetit ; l'unité du plan reflète, juaque dans les moindres détails, la pensée directrice de l'auteur, qui tend à lier entre elles toutes les notions du efine. On ne les avait conçues jusqu'alors que dans lecdne droit ou du rivolution; bt encore avait-on toujours supposé le plan coupant (la section engendrant la conique) perpendiculaire à l'une dos arêtes du cône, ce qui exigeait, comme nous avons vu plus haut, l'emploi de trois cûnoB d'ouverture différente pour former les trois

Béotiens coniques (section du cône acutangle — ellipse' ; section du cône rectangle — parabole; section du cône obtuaangle — hyperbole). Apollonius conçut le premier les sections coniques dans un cône oblique (à angle au sommet non droit quelconque), et leur donna les noms à'ellipse (iXX(ii|'iî), de parabole (napïéo^') et d'hyperbole (titEpèoii]) , Yoy. la figure ci-dessus, représentant le cône oblique, suivi d'une première section (ellipse), puis d'une seconde (parabole) et d'une troisième section (hyperbole). Le traité d'Apollonius repose sur une propriété unique

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deiâ sections coniques, qui déme directement de k nature des cônes où elles sont formées. Comme cette propriété constitue la clef de Yo6te de toute la doctrine des anciens, et que la plupart des ouvrages modernes la laissent ignorer, ainsi que le remarque M. Ghasles, nous ne saurions mieu^ faire que d'en emprunter la description au savant historien de la Géométrie. « Concevons, dit-il, un cône oblique à base circulaire ; la droite menée de son sommet au centre du cercle qui lui sert' de base est appelée Vaxe du cône. Le plan mené par Taxe, perpendiculairement au plan de la base, coupe le cône suivant deux arêtes, et détermine dans le cercle un diamètre ; le triangle qui a pour base ce diamètre et pour côtés les deux arêtes, s'appelle le triangle par Vaxe. Pour former ses sections coniques, Apollonius suppose le plan coupant perpendiculaire au plan du triangle par Vaxe. Les points où ce plan rencontre les deux côtés de ce triangle sont les sommets de la courbe ; et la droite qui joint ces deux points en est un diamètre. Apollonius appelle ce diamètre latus transversum. Que par J'un des deux fidmmets de la courbe on élève une perpendiculaire {êatus erectum) au plan du triangle par Taxe, qu'on lui donne une certaine longueur, déterminée comme nous le dirons après, et que, de l'extrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite à l'autre sommet de la courbe ; maintenant que, par un point quelconque du diamètre de la courbe, on élève perpendiculairement une ordonnée*^ le carré de cette ordonnée, comprise entre le diamètre et la courbe, sera égal au rectangle construit sur la partie de l'ordonnée comprise entre le diamètre et la droite, et sur la partie du diamètre comprise entre le premier sommet et le pied de l'ordonnée*. Telle est la propriété

1. ApoUonius emploie ici le mot ôpôîa, dont ordonnée est la traduction littérale, de préférence à MtCa, qui signifie simplement droite.

2. Les portions coupées du diamMre de la ceuitbe reçurent par W suite le nom latin ù'abscisses»

228 HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES.

caractéristicpie (ju* Apollonius reconnidt à ses sections conicjues et dont il se sert, pour en conclure, par des transformations et des déductions très-habiles, presque toutes les autres. Elle joue, comme on voit, dans ses mains, à peu près le même rôle que Féquation du second degré à deux variables (ordonnée et abscisse) dans le système de géométrie analytique de Descartes.

<c On voit par là que le diamètre de la courbe et la perpendiculaire élevée à Tune de ses extrémités suffisent pour construire cette courbe. Ce sont là les deux éléments dont se sont servis les anciens pour établir leur théorie des. coniques. La perpendiculaire en question fut appelée par eux latus erectum; les modernes ont d'abord changé ce nom en celui de lattis rectum^ qui a été longtemp^ employé, et ils Font ensuite remplacé par celui de paramètre j qui est resté. Apollonius et les géomètres, qui écrivirent après lui, donnèrent différentes expressions géométriques, prises dans le cône, de la longueur de ce latus rectum pour chaque section; mais aucune ne nous a paru aussi simple et aussi élégante que celle de Jacques BernouUi^ La voici : « Que Ton mène un plan parallèle à la base du «c cône, et situé à la même distance de son sommet que « le plan de la section conique proposée , ce plan cou • « pcra le cône suivant un cercle, dont le diamètre sera le « latus rectum de la conique. » De là on conclut aisément la manière de placer une conique donnée sur un cône aussi donné*. »

L'ouvrage d'Apollonius dont nous venons d'exposer, d'après M. Ghasles, Tidée fondamentale, débute par la définition du cône, dont il engendre la surface (jcoivtx^v èict- (pavc(av) par le mouvement d'une ligne droite (située audessus du plan d'un cercle), qui tourne autour d'un point

1. Novum theorema pro doctrina fectionum conicarum, dans les Aeta Eruditorum Lips,, année 1689^ p. 586.