M. Ghasles^ Aperçu historiqxie, eic,, p

immobile, en rasant par son autre extrémité la circonférence du cercle. Le point immobile est le sommet (xopuQp^], et le cercle la base du cône. La droite, tirée du sommet au centre de la base, c'est Y axe du cône. L'auteur distingue aussi Taxe simple des axes conjugués*. La parabole n'a qu'un axe, qui est d'une longueur indéfinie. L*ellipse et l'hyperbole ont des axes conjugués, qui se coupent à angles droits.

Le t' livre d'Apollonius est presque entièrement consacré à Ja génération des trois principales sections coniques *.

Dans la parabole, TrapaSoXJj (mot qui signifie égalité ou comparai$on)j le carré de l'ordonnée (demi- ordonnée) est égal au rectangle de l'abscisse et du paramètre , comme Apollonius le démontre (livre I, Propos, ii). C'est ce qu'on exprime aujourd'hui algébriquement par (i«=y*,

1. Les théorèmes sur les axes et diamètres conjugués ont été développés au VII* livre (Propositions xiii^ xzii, xxx et xzxi) du traité des Sections coniques d'Apollonius.

2. Rappelons ici que Tellipse s'engendre par la section oblique du cône, c'est-à-dire en coupant le cône par un plan- qui ne passe point par le sommet et qui^ prolongé hors du cône, ne rencontre pas la base ou ne fasse tout au plus que la raser; que la parabole naît de la section d'un cône^ quand celui-ci est coupé par un plan parallèle à un de ses côtés. Vhyperbole est produite par la section d'un cône par un plan parallèle à son axe. Mais ce mode de production ne comprend pas toutes les hyperboles; car il peut s'en former une infinité d'autres, dont le plan ne soit point parallèle à Taxe..

II n'y a que l'hyperbole qui ait des asymptotes ; voyez figure 19, où KSL est l'hyperbole^ SM son axe (grand axe) ; AB son axe conjugué

Fig. 19.

880 H18TCHRB D6B MATHÉMATIQUES.

eH désignant pftr a le paramètre, par x l'abscisse, et par y l'ordonnée. Il y a donc égalité entre le rectangle ax et le oarré y*. CSette équation montre en môme temps que^ les abscisses croissant (le paramètre a demeure constant), les ordonnées croissent pareillement, et que la parabole est une courbe non fermée, ou qui ne revient jamais sur elle-même. Dans ïellipsii^ AXct^iç (mot qui signifie défaut)^ le carré de l'ordonnée est toujours plus petit, et dans l hyperbole^ .i>tcif6oX^ (mot qui signifie excès)^ il est plus grand que le r^tangle de l'abscisse par le paramètre*. En effet, Vellipse, courbe fermée comme le cercle, a pour équation,

on prenant les abscisses au sommet : y^ = {ax-^œ*) X -,

où a désigne l'axe et b son paramètre. Le carré y^ est «lono plus petit que le rectangle bx. — L'hyperbole a pour équation : ay* = aèa?+'*^'i Q'est-à-dire que t : a ;: y' : aa?+ir'. Le carré de l'ordonnée est donc plus grand que le rectangle de Tabscissepar le paramètre. Les rectangles augmentant, les ordonnées augmentent à proportion ; l'hyperbole, courbe non fermée, s'éloigne donc continuellement de son aie.

Le deuxième livre des Sections coniques renferme la plupart des Propositions concernant les asymptotes et les diamètres, et se termine par une série de problèmes et leur solution.

(petit axe). Les droites indéfinies, CD, CE, parallèles aux lignes B3, AS, tirées du sommet de Thyperbole aux extrémités de son aie conjugué, ce sont là les asymptotes (àivfjiTiTcùToi, nom qui signifie littéralement Ztgfnej non coinciàentes). — La propriété qu'implique ce nom a fait, par la suite, appeler, en général, asymptote toute ligne qui, étant indéfiniment prolongée, s'approche continuellement d'une autre ligne, aussi indéfiniment prolongée, de manière que sa distance à cette ligne ne devient jamais zéro absolu, mais peut toujours être trouvée plus petite qu'aucune grandeur donnée.

1, Dans l'ellipse et l'hyperbole, le paramètre est une troisième proportionnelle à un dianiètre et à son conjugué'.

LES HÂTHËMÂTIQUœ GH£Z LES 0REGS. Ml

Le troisième livre comprend^ dans ëes quinze premiers Propositions^ la doctrine de l'égalité de certains plans, formés par des tangentes et d'autres lignes* Les Proposi^ tiens Buiyantes se résument dans cet énoncé : « 8i d'ua point on mène deux tangentes à une section conique, et que parallèlement à celles-ci on tire deux éécantes juin qu'à ce qu'elles les coupent , les carrés des tangentes seront comme les rectangles formés aveo les sécantes et leurs segments extérieurs. » La xxvii* Proposition est remarqutâ)le en ce que, de nos jours, elle a servi de point de départ à une série de belles recherches sur bs points harmoniques. La Proposition xlv est particulièrement consacrée aux foyers ou points focaux des sections coniques. Dans le grand axe, on prend un point tel, que le rectangle fait avec les segments (abscisses) de l'axe soit égal au rectangle fait avec le demi grand axe et le demi* paramètre, c'est-à-dire au carré du petit demi-axe. lies Propositions, depuis la xlv* jusqu'à la lu*, ne contiennent que quelques-unes des propriétés des points for caux. Ainsi, la Proposition xlviii établit que les rayons tirés des points focaux à un point de la courbe forment avec la tangente à ce point des angles égaux; et la Pro«position LU montre que la somme des deux rayons (tirés des points focaux à la circonférence) est, dans l'ellipse, égale au grand axe.

Ce sujet, si important pour les sections coniques, n'a pas été traité par les géomètres grecs avec l'étendue qu'il comporte. La détermination des points ibcaux aurait dû être développée davantage. Ainsi, en prenant, dans l'ellipse, la moitié du grand axe pour hypoténuâe et la moitié du petit axe pour lune des deux oathètes d'un triangle rectangle, si l'on cherche l'autre cathète, et qu'avec celle-ci, prise pour rayon, on décrit, du centre de l'ellipse, un cercle, on remarquera que ce cercle coupe le grand axe en deux points ; les points d'intersection, voilà les points focaux ou foyers de l'ellipse. La droite tirée

d'un point focal à la circonférence se nomme le rayon vecteur. La Proposition xlyiii fait ressortir, dans l'ellipse, la propriété d'où dérive le nom de foyer. Ainsi, les sons, les rayons de lumière ou de chaleur qui partent du point focal, par exemple, d'un miroir métallique (section de la tète d'une ellipse), et tombent sous un angle déterminé (angle d'incidence) sur la face interne (concave), se réfléchissent sous le même angle (angle de réflexion), pour tomber sur la face interne (concave) opposée (d'un second miroir), et se réfléchir de là sous le même angle, afin d'aller se réunir dans le point focal opposé : c'est là que les sons et les rayons se reproduisent avec la même intensité qu'ils avaient à leur point de départ. L'hyperbole a des propriétés analogues. Si, du centre de la courbe, avec un rayon égal à l'hypoténuse d'un triangle rectangle, ayant pour cathètes les moitiés des axes, on décrit un cercle, les points où celui-ci coupera l'axe sont les points focaux. Dans la parabole, la distance du foyer au sommet de la courbe est égale au quart du paramètre, et le carré de la demi-ordonnée est quadruple du rectangle de la distance du foyer au sommet de Tabscisse. Dans toutes les sections coniques, le paramètre peut être considéré comme la corde du foyer.

Les vingt-trois premières Propositions du quatrième livre n'ont qu'une valeur secondaire. Depuis la Proposition xxiv jusqu'à la fin, l'auteur examine les systèmes de deux sections coniques, et démontre que celles-ci ne peuvent pas se couper en plus de quatre points.

La méthode analytique, qui présidait aux recherches d'Apollonius, se fait surtout sentir dans le cinquième livre, composé de soixante-dix-sept Propositions. On y voit paraître pour la première fois les questions de maxima et de minima^ quand il s'agit de savoir quelles sont les plus grandes et les moindres lignes qu'on puisse tirer de chaque point donné à une section conique. « On y trouve, dit Montucla, tout ce que nos méthodes analytiques d'au-

jourd*hui nous apprennent sur ce sujet; on y aperçoit enfin la détermination de nos développées; car Apollonius remarque très-bien qu'il y a une suite de points dans Tespace, au delà de Taxe d'une section conique, d'où l'on ne peut tirer à la partie opposée qu'une ligne qui lui soit perpendiculaire. U détermine même ces points que les modernes connaissent sous le nom de centres d^osctUthtion, et il observe que leur continuité sépare deux espaces, dont l'un est tel que de chacun de ses points on peut tirer deux lignes perpendiculaires à la partie opposée de la courbe, et l'autre, au contraire , a cette propriété qu'on n'en peut tirer aucune ligne semblable. Le premier de ces espaces est visiblement celui qui est renfermé entre Taxe de la courbe et sa développée. Toutes les questions qui appartiennent à de semblables recherches sont traitées avec un soin qui en laisse à peine échapper une sans la résoudre*. »

Le sixième livre renferme les Propositions concernant la congruence et la similitude des> sections coniques de leurs segments. L'auteur y a joint divers problèmes, pour déterminer, par exemple, dans un cône droit donné, la section qui soit congruente à une section conique donnée.

Le septième livre contient plusieurs Propositions fondamentales, servant à la résolution des problèmes de maximis et minimis, assez difficiles, tels que : «dans une hyperbole quelconque , déterminer le diamètre dont le paramètre soit le moindre, ou bien celui dont le carré avec celui de son paramètre fasse la plus petite somme. » — Dans ce même livre Apollonius fait connaître plusieurs propriétés remarquables des sections coniques, telles que : << dans l'ellipse et les hyperboles conjuguées , les parallélogrammes formés par les tangentes aux extrémités des diamètres conjugués sont constamment les mè-

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mes; dans Thyperbolet la différence des carrés de deux diamètres ooajugués, et dans l'ellipse, leur somme est toujours la même« »

C'est sur les propriétés des sections coniques, exposées, dans ce livre, relativement aux axes et aux diamètres, que Halley a fondé principalement sa restitution du huitième livre d'Apollonius»

D'après un fragment du deuxième livre des Gollectiotu mathématiques de Pappus , Apollonius avait imaginé un système analogue à celui d'Arcbimède pour exprimer des nombres très-élevés*. Enfin, suivant Eutocius {Commen^ taire sur le deuxième livre d'Archimède : de la Sphère et du Cylindre) ^ il s'était aussi occupé de la duplication du cube*.

Notice sur les ouvrages d'Apollonius.

La seule édition grecque des Sections coniques d'Apollonius (Apollonii Pergœi Conicorum libri VIII) est celle qu'avait commencée David Gregory et qu'acheva Edouard Halley; elle parut en 1710, à Oxford, in-fol. Elle contient : 1° le texte grec des quatre premiers livres, d'après des manuscrits, avec la traduction latine de F. Gommandinî, parue à Bologne en 1566, et corrigée par Halley; les Lemmes de Pappus et les Gommentaires d'Eutocius ; — 2* les livres cinq à sept, en latin, d'après des traductions faites sur deux traductions arabes : la première traduction latine, rédigée par Abraham Echellensis, fut publiée par A. Borelli à Florence, 1661, in-fol.; la seconde, faite par Gh. Ravins, parut à Kiel, 1669, in-8 ; — 3° le livre huitième, rétabli par Halley ; — 4*» un ouvrage de Sérénus d'Antissa, Sur les sections du cylindre et du cône,