Axago, dans VÉloge de J, Watt

HIST. DBS MATH. 16

%k% HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

ouvrage, M. G. Friedlein a trouvé que les Définitions^ qui sont en tête de Touvrage (p. 1 à 40), doivent être attribuées à un auteur plus ancien que Héron. Cet auteur inconnu aurait écrit deux livres élémentaires, réunis ou séparés, traitant, Tun de V Arithmétique^ et l'autre de la Géométrie. Le premier paraît être perdu; quant au second, M. Friedlein Ta reproduit (d*après le texte donné par Hultsch) sous le titre de Heronis qux feruntur défini-^' tionibus^ dans le Bullettino di Bibliografiay etc. de M, B^ Boncompani (février et mars 1871). La plupart des ouvrages de Héron d'Alexandrie cités par Proclus, Eutocius et Pappus paraissent être entièrement perdus*.

PhUon de Byzance^ qui vivait tour à tour à Alexandrie et à Rhodes, sous le règne de Ptolémée Physcon, en 146 avant J. G.^ avait composé un traité sur les ma-r chines employées dans Tattaque et dans la défense des places. Les IV* et V* livres de ce traité nous sont seuls parvenus, et ont été imprimés dans le recueil des Yeteres Mathem^tici de Thevenot, Paris, 1693, in-fol. On y trouve la description d'un engin de guerre, appelé ^epoTovoç, et qui a beaucoup d'analogie avec notre fusil à vent. Pappus cite de lui la solution du problème des deux moyennes proportionnelles, qui est en principe la même que celle qu'à donnée Apollonius. Enfin Philon avait, de son propre aveu, écrit un ouvrage sur les préparations et remploi des poisons dans la guerre. Cette idée a été bien souvent reprise depuis Philon.

IWleomèdle.*— £a Cofichoïde.

Nous n'avons aucun renseignement positif sur la vie de ce géomètre alexandrin, que quelques-uns ont fait

1. Voy. dans le même numéro du Bullettino la note de M. B. Bon. compagni Sur les âéfinitions d'Héron d'Alexandrie. Comparez aussi M. Th. H. Martin, Recherches sur la vie et les ouvrages eC Héron d^Alexandrie.

vivre après Tère chrétienne. Mais, d'après les témoi«gnages combinés d'Eutôcius et de Proclus, il était probablement contemporain d'Ératosthène , ou vivait peu d^ temps après lui. Suivant EutociusS Nicomède se moqu^ de la méthode d*Ératosthène pour résoudre le problème de la duplication du cube. Proclus nous apprend (Gom* mentaire du I" livre, r* Propos. d'Euclide) que Nicomède inventa la concho'ide^ courbe sur laquelle écrivit Geminus* Cette courbe, fort appréciée par Newton, qui s'en sop* vit pour construire géométriquement toutes leâ équations du 3* et du 4® degré, a assez d'importance pour que nous en donnions une idée. Nous nous servirons, pour cela , de la description qu'en fait Montucla d'après les indications laissées par Proclus et surtout par Geminus.

Soient une ligne droite indéfinie AB (fig. 20) et un point P pris hors d'elle, duquel soit abaissée la perpendiculaire PCD et tiré autant de lignes qu'on voudra: Pcd, Pcd, etc. Si Ton suppose toutes

Fig. ae.

ces lignes, CD, cd, cd, etc., égales entre elles, la ligne qui passera par tous les points d, d, D, d, d, d, etc., sera la conchoide, dont J© point P sera le pôle. On l'appelle conchoïde supérieure, lorsque la ligne CD ou cd, constante, est prise au delà de la bas© AB, à l'égacd du pôle P. Mais si, ce qui est également faisable, on prenait C et les égales c% cô, etc., au-dessous de cette base, la Ugue passant par les

1. Dans le commentaire sur le livre II de la Sphère et du €yimdr$

d'Archlmède.

points ^, ^, 8 serait appelée coDchoIde inférieure. Ainsi, la conchoîde serait décrite par un mouvement continu si, ayant une ligne indéfinie DGE, et la partie CD étant déterminée et invariable, on faisait mouvoir cette ligne, en sorte que le point G parcourût la ligne AB, cette ligne DCE passant toujours par le point P; alors le point D, passant successivement en d, d, d, etc., décrirait la conchoîde. Il en est de même du point E si Ton suppose CE prise au-dessous de la Imse. Or, il est aisé de voir que quelque inclinée que soit la ligne ed, et quel que soit son éloignement du point C, c'est-à-dire quelque grande que soit la base CB, le point d ne saurait jamais atteindre cette ligne GB, quoiqu'il s'en approche de moins que toute quantité donnée. Ainsi, la ligne AB est asymptote de la courbe. On fait voir aussi que, concave vers sa base, près du sommet D, elle devient convexe vers elle après un certain terme.

Fig. 21.

Poursuivant son idée, Nicomède voulut tracer sa conchoîde d'un mouvement continu. A cet effet, il imagina l'instrument que voici :

Soit HI (fig- 21) une règle peu épaisse, au milieu de laquelle se trouve pratiquée une rainure bien égale. Gette règle portera vers son milieu la branche perpendiculaire /O, sur laquelle sera implantée une pointe d'acier ou de cuivre bien lisse. Soit EGD une autre règle, portant dans son milieu une rainure de même calibre, bien juste à la pointe P, afin de pouvoir glisser dessus sans aucune vacillation Au point G sera aussi fixée une pointe bien lisse et de calibre à glisser sans aucune vacillation dans la rainure de la règle HJ. Enfin, le point D est un trou pratiqué pour y placer une pointe propre à tracer sur le papier la courbe cherchée. Il est facile de voir qu'ayant mis la règle HI sur la ligne AB (fig. 20), en sorte que celle-ci soit bien placée au milieu de la rainure; que, la ligne GD étant fixée d'une manière invariable, on pourra faire glisser la pointe en G le long de

Fig. M,

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES GRECS. %kb

la rainure ; que par ce mouvement la règle ED coulera, embrassant toujours par sa rainure la pointe P^ et que, conséquemment, la pointe o;i crayon fixé en D décrira la courbe d'un mouvement continu. Le -point D pourrait être également pris au-dessous de la règle, et alors le crayon décrirait la conchoïde inférieure. Celle-ci peut avoir des formes différentes, suivant le rapport de CE à GP, £ étant le point décrivant.

A quoi servait la conchoïde? Â résoudre, par un procédé uniforme, le problème de la trisection de Vangle et celui de la duplication du euhe ou des deux moyennes proportionnelles. Le problème de la trisection consistait à trouver le moyen d'insérer dans un angle droit, ou entre le d'entre et son diamètre prolongé, une ligne égale à une ligne donnée, en sorte que, prolongée, elle passe par un point déterminé. Ainsi, dans la résolution indiquée par la figure 22, il s'agit d'insérer dans l'angle droit ABC une ligne égale au double de la diagonale du parallélogramme BDEC, et qui, prolongée, passe par le point D. Prenant donc ce point pour pôle de la conchoïde GAF, pour règle ou module une ligne AB égale à deux fois la diagonale du susdit parallélogramme, la conchoïde décrite par l'instrument ci-dessus indiqué coupera le côté EC, prolongé, en un point F, qui sera le point cherché; et IF sera égale à deux fois la diago* naleCD.

Nicomède réduisait à une cens* truction semblable le problème des deux moyennes proportionnelles.

Ayant deux lignes, entre lesquelles il fallait trouver deux moyennes proportionnelles, il faisait faire de deux lignes égales i celles-là un rectangle ABGD (fig. 23), diviser AD en deux parties égales à G, et élever la perpendiculaire G, égale à 1/2 AB. Faisant ensuite AH

Fig. 3S.

égAle i KD, il tirait la ligne HI et sa parallèle indéfinie DO; dnftn , dans l'angle EDG, il fallait adapter LE égale à GI^ et passant par le point I^ ce qui déterminait la ligne EOF , de telle manièrje que AD, BF, DE, BÂ étaient en proportion continue. Il ne s'agissait donc encore que de prendre le point I pour pôle, la ligne DO pour base, et le module égal à IG. La conchoïde décrite suivant ce procédé, en coupant la ligne DE, donnait le point cherché, et les deux moyennes étaient BF, DE K

Au dix-septième et au dix-huitième siècle de notre ère, la conchoïde devint, de la part des géomètres, l'objet de travaux nombreux. Il suffit de citer ceux de la Hire, de la Condamine et de Mairan, insérés dans les Mémoires de r Académie des sciences^' années 1708, 1733, 1734 et 1735.

DIoelès. — La Cissoide^

On ne s'est pas jusqu'ici accordé sur l'époque où vivait le géomètre Dioclès. Les uns le placent plusieurs siècles après J. G., en le faisant contemporain de Proclus ; les autres le font vivre plusieurs siècles avant J. G. Nous le placerons, avec M. Suter*, dans le second siècle avant J. G.; car Geminus (du premier siècle avant J. G.), cité par Proclus, mentionne déjà la cissoïde de Dioclès.

On sait combien le problème de la duplication du cube avait occupé les géomètres anciens, et que presque tous avaient cherché à le résoudre par la recherche de deux moyennes proportionnelles entre deux droites données. Dioclès aborda 4a solution du problème en imaginant la cissoïde. D'après les renseignements d'Eutocius*, interpré-

i ! h UvBtiiMr 9i»toir$ des math^aiiqueSy t. I, p. 255*257. ^'^l^iBf^ëetihichte der Uathematischen Wissenschaften, p. 90. h.U,'.C^mmeH$. »ur le livre II de la Sphère et du Cylindre d'Archif mède.

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES GRECS. tkl

tés par Montucla) la cissoïde se construit de la manière iuivaate(fîg. 2(à) ;

i Elevez la perpendiculaire AMm sur Textrémité k du diamètre AD ; puis tirea une ligne quelconque DM coupant le demi-cercle en F; prenez ensuite DI égale à FM^ vous aurez le point I de la courbe, et tous les semblables i, i, etc., en tirant d*autres lignes Dm, Dm, etc.; car, tirant le rayon perpendiculaire CB, il est aisé de voir que DO est égale à OM; et puisque DI égale MF par la construction, il s'ensuit que 01 et OF sont égales. — Cette courbe étant ainsi décrite, et les deux extrêmes données étant AG et CL, il n'y avait qu'à tirer AL, rencontrant la cissoïde en I, et parla point I tirer DI, rencontrant CL prolongée en 0 ; la première des moyennes était CO. — On voit ainsi que la cissoïde touche le diamètre AD en D, qu'elle passe par le point £, extrémité du rayon perpendiculaire CB, et qu'elle a pour asymptote la perpendiculaire AM infiniment prolongée. Il faut y ajouter, ce que les anciens ne paraissent ^as avoir remarqué, que la cissoïde entière comprend une autre branche, semblable et égale à la première qu'on vient de décrire, placée au-dessous du diamètre AD, et ayant, comme la première, AN pour asymptote , en lorte qu'elle forme une pointe au point D >. »

Fig. U4.

Si Dioclès avait décrit sa cissoïde par un mouvement continu, comme l'avait fait Nicomède pour sa conchoî'de, il lui aurait, dès le principe, donné la perfection qu'elle ne reçut que beaucoup plus tard entre les mains dé Newton.

On doit aussi à Dioclès la solution d un problème difficile, où il s'agit de « mener un plan qui divise la sphère en raison donnée. » Ce problème , résolu par Dioclès au

moyen de deux sections coniques * , avait été posé par Archimède (Proposition v" du livre II du Traité de la Sphère et du Cylindre)] mais il n'y donna point suite. Il importe de rappeler qu' Archimède ne se servait jamais que de la règle et du compas pour la résolution de ses problèmes , que la question proposée par lui dépendait d'une équation du troisième degré, et que, conséquemment, elle ne pouvait être construite que par une section conique ou par une courbe d'un genre supérieur.

Aristarqae. — Hlpiiarqae. — Gemlnas. — PosMonias.. — Cléomède. — Théodose. — Dlonysodore. — -

Pertée. — Courbes spiriques.

Pour Aristarque, Hipparque, Geminus, Posidonius et Cléomède, nous renvoyons le lecteur à notre Histoire de l'astronomie (p. 144-150, et p. 159-184, 190-198). Nous ajouterons seulement que Geminus paraît avoir le premier divisé les mathématiques en théoriques {voïiTi) et en prati- 9t/^^(a!9(h)Tà).Dans la première classe, il rangeait la géométrie et l'arithmétique ; dans la seconde, l'astronomie, la mécanique, l'optique, la géodésie, les règles de la musique et du calcul. Proclus cite de lui un ouvrage sur la conchoïde. Il ne nous reste de Geminus que son IntroduO' tion aux Phénomènes^ qu'on a regardée à tort comme un commentaire sur les Phénomènes d'Aratus. Le Traité de la Spfière de Proclus est un simple abrégé de quelques chapitres de Geminus.

Théodose ^ natif de Bithynie (de Tripoli en Afrique, selon d'autres), vivait vers le milieu du premier siècle avant J. G. Il se fit connaître comme géomètre et astronome. On a de lui : 1* les Sphériques (^^aipixà), en trois

1. Eutocius, Commentaire du II* livre de la Sphère et du Cylindre d'Archimède.

LES MATHÉMATIQUES CHEZ LES GaECS. S49

livres. Cet ouvrage nous a été conservé par les Arabes, qui l'avaient traduit dans leur langue. Il en parut d*abord une traduction latine (Paris, 1529, in-4); il ne fut publié en grec qu'en 1558 (Paris), par les soins de Jean Pena. L'édition la plus récente est celle de Nizza, avec des notes (Berlin, 1852, in-8).

On y trouve une série de propositions dont on fait journellement usage , telles que : Toute section d'une sphère par un plan est un cercle; — Un plan ne touche une sphère qu'en un point, et le rayon mené à ce point est perpendiculaire à ce point tangent; — Tout cercle qui passe par le centre de la sphère est un grand cercle ; — Les petits cercles parallèles à un même grand cercle sont égaux quand ils sont à la même distance de leur grand cercle ; — Une ligne menée du centre de la sphère perpendiculairement au plan d'un petit cercle, passe par le centre de ce cercle et par son pôle ; — Un grand cercle qui en coupe un autre perpendiculairement, passe par ses pôles; et s'il passe par ses pôles, il lui est perpendiculaire ; — La distance du pôle d'un grand cercle à un point quelconque de sa circonférence est le côté du carré inscrit.

2° Traité sur les habitations (Ilepl olxiiasbov] ; imprimé à Rouen, 1587, in-4. Théodose y traite de la perspective du Ciel comparativement à celle que présentent les différentes contrées de la Terre. Il débute par ces deux Propositions fondamentales : L'habitant du pôle boréal aperçoit toujours le même hémisphère, l'autre hémisphère restant caché pour lui ; il ne voit aucune étoile des régions polaires australes se lever, ni se coucher ; — L'habitant du cercle équinoxial voit tous les astres se lever et se coucher, et passer un temps égal au-dessus et au-dessous de l'horizon.

3° Des Nuits et des Jours (Ilepi ^\i.tpm xqi( vuxtcov], ouvrage publié seulement en* latin, par Joseph Auria; Rouen, 1591, in-4. C'est un recueil de propositions, sans démonstrations. La première proposition est ainsi énoncée :

tt Quant le Soleil part du tropique d'été, les jours vont en diminuant et les nuits en augmentant; c'est le contraire qui arrive après le solstice d'hiver.

Vitruve cite Théodose comme Tinventeur d un cadran universel, c'est-à-dire adapté à tous leô climats.

Dionysodore , natif de Gydnus , ou , selcîn d'autres , d*Émè8e, en Syrie, était probablement contemporain du géomètre Théodose. On ne le connaît que par la solution d'un problème dont parle Eutocius, dans son Commentaire sur Archimède {Traité du Cylindre et de la Sphère), Ce problème consistait à diviser une demi- sphère en rai- Bon donnée par Un plan parallèle à sa base. Il ne pouvait être résolu que par une section conique*.

Pline attribue à Dionysodore une espèce de cadran solaire conique. Il raconte aussi qu'on trouva dans le tombeau de ce géomètre une lettre adressée par lui aux vivants (Epistotam ad superos scriptam\ où ce géomètre disait qu'il était parvenu jusqu'au centre de la terre, et que de là jusqu'à son tombeau il y avait 42 000 stades. Phno n'y voit qu'un trait de la vanité grecque. Il est cependant singulier que le nombre donné par Dionysodore d'une façon si étrange soit le plus exact de tous ceux que l'antiquité nous ait transmis sur la longueur du rayon terrestre.

Persèe de Cittium vivait au moins cent ans avant l'ère chrétienne. Il n'était pas, comme le croit Montucla, postérieur à cette ère ; car Proclus cite un passage de Geminus où ce dernier attribue à Persée l'invention des courbes spiriques^ et Geminus vivait vers 70 avant J. C. — Ces lignes n'étaient pas, comme on l'avait cru, des spi-

1. M. Suler a reproduit la solution de Dionysodore. dans sa Ge^ schichte der Mathematischen Wissenschaften^ p. 101 (Zurich^ 1873^ V édit.).

raies, mais des courbes qui se formaient par les sections d*un solide engendré par les circonvolutions d'un cercle autour d'une corde ou d*une tangente ou d'une ligne extérieure quelconque. Montucla, qui s'était, comme.il nous l'apprend, beaucoup occupé de ces courbes dans sa jeunesse, ajoute qu'on obtient, dans les conditions indiquées, « un solide en formée d'aûneau ouvert ou fermé, ou de bourrelet ; et ce corps étant coupé par un plan, donnait, suivant Tinclinaison et la position de ce plan, des courbes d'une forme singulière, les unes allongées en forme d'ellipse, les autres aplaties et rentrant dans leur milieu, tantôt se coupant en forme de nœuds ou de lacets, tantôt composées de deux ovales conjuguées, séparées, ou Tune dans Tautre, et même d une ovale avec un point conjugué au milieu; ce sont enfin des courbes du quatrième dejgré*. »