CHAPITRE n

SECONDE ÉCOLE d'aLEXANDRIE.

La chute de la dynastie des Lagides, qui depuis Ptolémée, l'heureux lieutenant d'Alexandre, avait duré un peu plus de trois cents ans ; la réduction de Tantique royaume d'Egypte en une province de l'empire romain; la fin du paganisme et lavénement du christianisme, etc., tous ces grands événements, qui eurent tant d'influence sur le sort des nations, réagirent également sur le mouvement scientifique dont la ville d'Alexandrie, avec son musée et sa bibliothèque, était alors le foyer. De nouvelles doctrines, amalgamées avec celles de Pythagore et de Platon (néo-pythagorisme et néo-platonisme), s'introduisirent dans Tancienne école, les idées des premiers philosophes géomètres se modifièrent, et de ces changements, opérés peu à peu, sortit une école nouvelle. C'est à la domination romaine et à l'introduction du christianisme en Egypte que nous faisons remonter l'origine de la seconde école d'Alexandrie, illustrée par Claude Ptolémée, Théon de Smyrne et Théon d'Alexandrie, Jamblique, Porphyre, Diophante, Pappus, etc. A côté de ces noms il faudra citer Nicomaque, Hypsiclès, Sérénus, et d'autres, qui paraissent avoir eu des relations, plus ou moins intimes, avec la nouvelle école d'Alexandrie.

Hénélaûs et Glande Ptolémée. — Origine de la

Trigonométrie.

MénélaûSj qui vivait à Alexandrie vers la fin du premier siècle de notre ère, et dont nous avons déjà parlé ailleurs, ainsi que de G. Ptolémée *, paraît s*ètre, l'un des premiers, occupé de trigonométrie^ c'est-à-dire de Vart de trouver les parties inconnues d'un triangle, par te moyen de celles que Von connaît^. Mais il ne nous est rien parvenu de son ouvrage sur les Cordes^ en six livres ; et ses trois livres des Sphériques^ qui ne nous ont été conservés que dans une traduction latine, faite sur une version arabe, ne contiennent que des théorèmes de pure spéculation ; la première proposition du troisième livre est seule d'une utilité pratique. C'est cette proposition qui a été reproduite par Ptolémée, et, suivant Delambre {Histoire de V astronomie ancienne^ t. I, p. 245), elle aurait été empruntée à Hipparque. Mais ce n'est là qu'une pure hypothèse.

L'incertitude qui règne sur l'origine de la trigonométrie s'explique d'après ce que nous avons dit plus haut. Nous y ajouterons que le premier venu pouvait, avec un peu d'esprit d'observation, parvenir à constater — que, avec deux angles et une ligne donnés, on a les deux autres côtés et le troisième angle d'un triangle; — que la

1. Voy. notre Histoire de V astronomie, p. 105, 106, 108 et suiv.

2. Les anciens ne connaissaiexit pas le mot de trigonométrie dans le sens qu'on y attache aujourd'hui ; car ce mot ne signifie pas la m/esure de Vaire des triangles, comme on pourrait le croire d'après son étymologie (de tpCycovov^ triangle, et {jirpov^ mesure). Par la signification qu'on lui a donnée; savoir la délermination d^angles ou de côtés, quelques-unes de ces choses étant données^ la trigonométrie n'appartient aucunement à la planimétrie ; mais elle forme en quelque sorte une science particulière^ d'un usage indispensable en astronomie et en géodésie.

droite, menée du sommet de F angle à la base, mesure la distance de celui-ci à celle-là; — que deux droites, qui à leur point de rencontre forment un angle, peuvent, en conservant toujours la même direction, être prolongées à rinfini, sans que Tangle change d'ouverture ou de valeur ; *-* que, en réunissant ces deux droites par d'autres droites parallèles, on obtient toute une série de triangles semblables^ c'est-à-dire ayant leurs côtés homologues proportionnels ; --* que, avec trois lignes données , on peut toujours construire un triangle ; "— que, si le triangle est rectangle, et que du point milieu de l'hypoténuse, avec la moitié de celle-ci pour rayon, on décrit un cercle, l'angle droit de ce triangle touchera à la circonférence du cercle qui aura l'hypoténuse pour diamètre : ce sera le triangle inscrit dans le cercle ; — que, si l'on prend l'hypoténuse pour base d'un second triangle, égal au preidier (ayant leurs cathètes égales et parallèles) , on aura le quadrilatère inscrit dans le cercle, et le diamètre, base commune des deux triangles égaux, sera la diagonale de ce quadrilatère ; — que le diamètre est la corde (rien ne s'oppose à ce qu'on lui donne ce nom), qui sous-tend un arc égal à l'arc complémentaire , et qui partage le cercle en deux segments égaux; tous les autres arcs ou segments, formés par des cordes qui ne passent point par le centre du cercle, oscillent autour de ce qu'on pourrait appeler le maximum axiky de manière que, la somme restant invariable, le moins d'un côté soit compensé par le plus de l'autre (parties complémentaires) ; — que, en mettant les côtés des polygones inscrits (en quantité donnée) sur uiie même ligne, on obtient une droite, qui est un peu moins que le triple du diamètre, et que, en nombres ronds, le diamètre peut être divisé en 120 parties égales, si l'on suppose la circonférence divisée en 360 arcs égaux ; — qu'on peut former une suite de triangles rectangles, ayant tous un des côtés de l'angle droit égal au rayon du cercle, etc. Toutes ces propositions,

érigées en vérités géométriques, devaient tôt ou tard donner naissance à la trigonométrie. Pour les acquérir, les développer, les faire varier d'expressions, etc., il n'était aucunement nécessaire de savoir Talgèbre ; mais on pouvait ainsi parvenir à la créer.

Employer le cercle à mesurer les angles, faire servir à cet effet les cordes, c'était là certainement une idée fort ancienne ; l'astronomie devait y conduire directement. Diviser le cercle en quatre portions égales , appelées quar drants ou quarts , chacun de 90 degrés, subdiviser chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes, choisir enfin le nombre de 360 (nombre de jours qu'on assi* gnait primitivement à l'année) pour le total des degrés de la circonférence, tout cela était si naturel, qu'on chercherait vainement dans Thistoire le nom de l'inventeur de la Table des cordes dont Ptolémée a donné la construction ^

Le fameux théorème du carré de l'hypoténuse devint aussi une source d'applications fécondes. Ainsi on peut y rattacher cette belle propriété du quadrilatère inscrit dans le cercle, « à savoir que le ptoduit des deux diagonales (hypoténuses) est égal à la somme des produits des côtés opposés. » C'est là le théorème que Ptolémée {Aimageste^ lib. I, c. ix) donne, comme Lemme, pour la construction d'une table de la valeur des cordes, inscrites dans le cercle et répondant à des arcs donnés *.

Le théorème des six segments faits sur les trois côtés d'un triangle sphérique par un arc de cercle quelconque (première Proposition du III" livre des Sphériques de Ménélaûs) a été la base de toute la trigonométrie sphérique des Grecs ■. Ptolémée se servit, pour démontrer ce théorème, de son analogue sur le plan^ Celui-ci est tine