Yoy. plus baut, p

sur Id Lieu résolu^ entendant par là la connaissance de certaines matières nécessaires à ceux qui abordent la solution d'un problème.

Les méthodes analytique et synthétique , que Pappus nous a fait connaître, sont développées et rendues claires par leur application 'à un grand nombre de problèmes curieux que les anciens parvenaient à résoudre par une sorte d'algèbre qu'il aurait été difficile de soupçonner autrement. C'est ainsi qu'on a trouvé à la fin de la Préface du VII livre une proposition qui rappelle tout à fait le célèbre théorème de Guldin, Voici l'énoncé de cette proposition : « Les figures décrites par une révolution complète ont une raison composée de celle de ces figures et de celle des lignes sembiablement tirées de leurs centres de gravité sur l'axe de révolution, et la raison des figures décrites par une révolution incomplète est celle des figures tournantes et des arcs décrits, par leurs centres de gravité.... Il est manifeste que la raison de ces arcs est composée de la raison des lignes sembiablement tirées aux axes et des angles contenus par les extrémités de ces lignes rapportées aux mêmes axes. » — Pappus se désigne clairement comme l'auteur de ce beau théorème quand il dit que les géomètres, au lieu de s'occuper de futilités, devraient s'appliquer à la recherche des propositions plus utiles et plus générales. « A l'appui de ce conseil, je vais, ajoute-t-il, leur dévoiler ceci, qui est peu connu. » Vient ensuite la proposition ci-dessus énoncée.

C'est encore dans la Préface du VIP livre qu'il est question du problème ad très autplures lineas, « Ce problème, dit Montucla, tenté par les anciens, a été résolu par eux jusqu'à un certain point, sans pouvoir en achever la solution générale, qui, en effet, dépendait d'une méthode nouvelle, telle que l'analyse algébrique el l'art d'exprimer algébriquement la propriété essentielle et caractéristique d'une courbe. Il est à propos de donner ici une idée de ce problème. Qiuktre lignes droites^ par exemple^ étant données de posi-

tion^ on demandait un point et la suite de tous les points^ desquels menant sur ces droites des lignes à angles donnés^ perpendiculaires^ par exemple^ le rectangle de deux fût égal ou en raison donnée avec le rectangle des deux autres; ou s'il y avait cinq lignes, que le solide formé des lignes menées à trois de ces cinq fût égal ou en raison donnée avec le solide formé du rectangle des deux autres lignes menées aux deux autres restantes et d ^une ligne donrlée ; ou s'il y en avait sept ou huit^ que le produit de quatre des lignes menées à quatre des données de position fût égal au produit des trois autres {s'U y en avait seulement sept) par une donnée, ou au produit des quatre autres, sHl y avait huit lignes données de position. Or, les anciens avaient fort bien vu que s'il n*y avait que trois ou quatre lignes, le lieu ou la courbe dans laquelle se trouvaient tous ces points était une des sections coniques, sans pouvoir néanmoins la déterminer dans tous les cas. Et, à cet égard, Pappus inculpe Apollonius de jactance, en ce que celui-ci prétendait avoir beaucoup ajouté à la solution d'Euclide, ce qu'il lui conteste. Mais si le problème était proposé en plus de quatre lignes, les anciens se bornaient à dire que le lieu cherché était une courbe, sans pouvoir l'assigner, hors un cas cependant où ils l'avaient déterminée à cause de son utilité. Il est fâcheux que Pappus n'ait pas spécifié ce cas particulier. Il fait ici mention d'une difti culte qui arrêtait quelques géomètres, savoir quel était le contenu ou le produit de quatre lignes, par exemple, ou d'un plus grand nombre, puisqu'il n'y a pas d'étendue de plus de trois dimensions. Il y répond en disant qu'on peut énoncer ces produits par de simples compositions de raisons, langage fort usité dans la géométrie ancienne. »

Il est à remarquer que Descartes a commencé sa Géo^ métrie par le cas de ce problème, appelé depuis Problème de Pappus^ qui avait arrêté les anciens.

■ 1 . Montucla, Histoire des mathématiques, 1. 1, p. 330.

La méthode de maximum et minimum^ développée plus tard par Fermât, se trouve en germe dans les propositions LXi, LXii et LXiv du VU® livre de Pappus. Il y est, en effet, question de deux systèmes de points conjugués et d'un point double ; le rapport des produits des distances de ce point double aux points conjugués est un maximum ou un minimum. Pappus donne , par une expression élégante, l'expression géométrique de ce rapport ; mais il n'en fait qu'énoncer la propriété de maximum ou minimum , qui y est contenue , et qui avait été démontrée, dans un ouvrage (perdu) d'Apollonius. La perte de cette démonstration est une regrettable lacune dans l'histoire de la science.

Le même VII* livre de Pappus renferme, entre autres, des lemmes relatifs au traite (également perdu) des Contacts d'Apollonius. On y remarque le problème suivant, très-simplement résolu par Pappus : « Faire passer par trois points situés en ligne droite les trois côtés d'un triangle qui soit inscrit dans un cercle donné » (proposition cxvii). Les propositions cv, cvii et cviii sont des cas particuliers de la même question : on y suppose l'un des trois points situé à l'infini. Ce problème, qu'on a généralisé en plaçant ces trois points d'une manière quelconque * , acquit une certaine célébrité par la difficulté qu'il offrii longtemps aux géomètres, et surtout par la solution aussi simple que générale qui en a été donnée par un enfant de seize ans, le Napolitain Oltajano.

Enfin , pour avoir une idée exacte de l'importance de

1. Ce cas général fut proposé, en 1742, par Cramer à Castillon, qui le résolut par des considérations purement géométriques {Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1776). Lagrange en donna une solution fort élégante et purement analytique {ihid.). En 1780, Euler, N. Fuss et Lexell le résolurent également. Mais d'Oltajano le résolut dans toute sa généralité, par un polygone d'un nombre quelconque do côtés, devant passer par autant de points, placés arbitrairement dans le plan du cercle.

S6ô mSTOmfi DES MATHÉMATIQUES.

l'ouvrage de Pappus, il faut consulter l'excellente analyse que M. Ghasles en a faite dans son Aperça histori^^, etc. (p. 28-47).

IHophamte.

Origine de l'algèbre.

DiophanU d'Alexandrie vivait, suivant Aboulfarage, sous le règne de Julien, vers 365 de notre ère. Mais cette indication n'est rien moins que certaine. On ignore si c'est le même que l'astronome sur lequel, selon Suidas, Hypatie écrivit un savant commentaire. Ce qu'il y a de certain, c'est que Proclus et Pappus ne l'ont point mentionné. Jean , patriarche de Jérusalem , est le premier qui en ait parlé dans sa Vie de Jean Damascène. D'après une épitaphe, rédigée sous forme de problème, et conservée dans l'Anthologie grecque, « Diophante passa la sixième partie de son âge dans la jeunesse, une douzième dans Tadolescence ; après un septième de son âge, passé dans un mariage stérile, et cinq Ans de plus, il eut un fils qui mourut après avoir atteint la moitié de4'âge de son père, et celui-ci ne lui survécut que quatre ans. » La solution du problème donne quatre-vingt-quatre ans à Diophante quand il mourut*.

L'ouvrage, qui a sauvé le nom de Diophante de l'oubli, a pour titre : 'ApiO(AY)Tixâi, Arithmétiques, En 1460, Regiomontanus fit le premier mention de cet ouvrage, qu'il avait vu en manuscrit dans la bibliothèque du Vatican. Bombelli en parla plus tard dans son Traité d'Algèbre (paru en 1572); et ce ne fut qu'en 1575 que Holzmann, plus connu sous le nom de Xylander^ fit paraître, d'après

1. La manière dont le problème est posé, peut s'exprimer ainsi : 111 1

Cette manière indique en même temps la méthode suivie par Diophante^ qui rappelle celle de l'algèbre.

un manuscrit de la Bibliothèque de Wittenberg, l'ouvrage de Diophante, ou ce qui nous eu reste, sous le titre de Dio^ phanti Alexandrini Rerum Àrithmeticarum Lihri seœ^ avec les Scholies àeT^lanude SMT les deux premiers livres, Bâle, 1575, in-fol. Xylander n'a donné que la traduction latine sans le texte grec; l'éditeur y a joint le livre sur les nombres polygones, attribués à Diophante : Liber de numeris polygonù seu multiangulis. Bachet de Méziriac publia le premier le texte grec de Diophante, accompagné d'une traduction latine plus correcte, et de savants commentaires; Paris, 1621, in-fol. Elle fut réimprimée à Toulouse, en 1670 (édition in-fol., très-rare, dédiée à Golbert), par Pierre de Fermât, fils du célèbre mathématicien de ce nom, avec les précieuses notes que son père avait écrites sur les marges d'un exemplaire de l'édition de Bachet. C'est dans ces notes, et surtout dans les extraits de sa correspondance avec le P. de Billy, qu'on trouve les belles recherches de Fermât sur la théorie des nombres. Le recueil de ces extraits, placé en tète de l'édition, a pour titre : Doctrine analyticx inventum no^ vum; il est suivi des commentaires de Bachet sur les Po-rismes de Diophante. — Les six livres de YArithméiiqvs de Diophante ont été traduits en français, les quatre premiers par Simon Stevin, et les deux autres par Albert Girard; Paris, 1625, in-8. Th. Poselger a donné une traduction allemande du livre Sur les nombres polygones^ avec les fragments de Théon; Leipzig, 1810, in-8. Otto Schulz a traduit en allemand tout ce qui reste de Diophante (Berlin, 1822, in-8, avec des notes).

Diophante commence son ouvrage par la définition des nombres qu'il appelle des composés (fune certaine quaniUé d* unités (ouYxeijxlvou; Ix [AovaScov ttX'/jÔouç Tivbç) , pouvant être augmenté à l'infini (eU aTrsipov). De là il passe immédiatement au carré, au cube, au carré-carré, au carré-cube et au cube-cube, qu'on obtient en multipliant le même nombre (côté d'un carré, égal à la racine), une fois (deuxième

puissance), deux fois (troisième puissance], trois fois [quatrième puissance], quatre fois (cinquième puissance], cinq fois (sixième puissance avec lui-même]. Ce mot puissance est la traduction littérale du grec $uva(iii< ; mais n'oublions pas de faire remarquer que Suvafxeç signifie plus particulièrement carré. L'auteur ne va pas au delà du cube-cube ou sixième puissance. Il emploie les initiales ^ ($uva(iLic) et x (xuêoç], combinées avec la seconde lettre u, surmontée d'une barre V, pour désigner ces différentes puissances. Ainsi, 5" désigne le carré, x" le cube, Bf le carré-carré, ôx''

le carré-cube, et xx" le cube-cube.

Tout nombre déterminé, que les Grecs représentent par une lettre de l'alphabet, Diophante le fait précéder par le signe ja*' (unité] ; ainsi, i (dixième lettre de

l'alphabet grec], qui signifie 10, il l'écrit fx'i, c'est^-dire 10 unités, conformément à la définition donnée. U se sert de ^^ pour désigner, en général, un nombre contenant une somme d'unités indéterminée. Le nombre inconnu, ou à trouver, le x d'une équation, est le plus ordinairement désigné par le simple mot opi6(xoç (nombre).

Les signes d'opération ne sont pas très-anciens. Diophante ne fait encore usage que du signe de soustraction : ce signe, le premier et le seul jusqu'alors employé (du moins dans les manuscrits qui nous sont parvenus*), a la forme ^ (la lettre ^ renversée]. Pour indiquer les opérations de Taddition, de la multiplication et de la division, il emploie des périphrases. Cependant le signe de la division est souvent représenté chez les Grecs par une barre

1. M. Friedlein, Die Zaklgeichen, etc., p. 19 (Erlangen, 1869, in-8),

le signe de Paddition par une seconde barre oblique pour avoir notre signe de multiplication : X y ^^^^ ^^^ mêmes barres, droites croisées, +> on avait notre signe d'addition.

horizontale séparant le dividende du diviseur, comme dans les fractions; cette même barre, expression d'un simple rapport, sépare le numérateur du dénominateur.

Diophante a-t-il inventé Talgèbre?

Il est arrivé ici ce qui arrive toujours quand on cherche ailleurs ce qui se trouve, au fond, dans Thomme luimême. On a vainement discuté pour savoir s'il fallait chercher l'origine de l'algèbre chez les Indiens, ou chez les Grecs, ou chez les Arabes ; et cela devait être. Que dirait-on de celui qui prétendrait connaître l'époque, le nom du peuple ou du philosophe que l'on voudrait présenter comme l'inventeur des abstractions? On s'en moquerait à bon droit. Eh bien, c'est là l'histoire de l'algèbre. Déjà le seul nom à*algèbre^ fait naître dans beaucoup d'esprits ce sentiment de l'inconnu qui, ailleurs, repousse les uns et attire les autres. Les historiens et les philosophes ne nous semblent pas se rendre suffisamment compte du prestige qui s'attache à des noms mal compris ou mal définis.

L'esprit humain ne marche pour ainsi dire que dualisti" quement. Une notion déterminée, distincte ou particulière, comme, par exemple, celle de 5, appliquée au nombre des cinq doigts de la main, présuppose immédiatement la notion indéterminée, générale, d'un nombre quelconque : la première domine la seconde en quelque sorte inconsciemment. Mais, tandis que les notions particulières, distinctes,

1. On n'est pas encore aujourd'hui d'accord sur Tétymologie de ce nom. La plupart le font venir du nom de Djebr ou Djafar, nom d'un écrivain arabe^ — étymologie purement fantaisiste; — quelques-uns même^ comme Helmreich (cité par Nesselmann^ p. 46)^ le font déri* ver dÀlgehraSj « grand géomètre égyptien, vivant du lemps d'Alexandre le Grand. > Cette étymologie doit être mise à côté de'celle du roi FranctMf ayant donné son nom aux Francs. — > Nous donnerons plus bas la véritable étymologie du mot algèbre.

résultats immédiats de nos impressions sensorielles, ont eommencé, dès l'invention de l'écriture, à se traduire par des chiffres ou des mots, les notions générales ont été beaucoup plus lentes à se formuler. Les peuples qui ne sont pas encore entrés dans le courant de la civilisation, manquent d'expressions générales pour désigner, dans leur langage, les idées abstraites. C'est ainsi que les enfants ne comprennent pas avant l'âge la valeur des noms, généraux, tels que homme, genre, espèce, etc.; pendant qu'is distinguent parfaitement les personnes et les objets qui les entourent, par leurs noms particuliers, déterminés.

Quand les anciens géomètres donnaient à des lignes droites des valeurs de nombres, ils faisaient de l'algèbre sans le savoir; car ces lignes étaient supposées contenir une quantité indéterminée d'unités : chacune pouvait désigner un nombre quelconque, comme, en algèbre, a, ou toute autre lettre. De là à opérer avec des quantités générales (essence de l'algèbre, qu'on a définie, arithmétique universelle)^ comme on calcule avec des nombres déterminés {arithmétique spéciale) , il n'y avait qu'un pas. Enfin, ce qui était vrai pour les lignes, l'était aussi pour les triangles, les carrés, les rectangles, etc. ; les propositions et les démonstrations, se rattachant au tracé d'uce figure géométrique, s'appliquent en même temps à toutes les figures semblables ou de même espèce.

Les arithméticiens qui avaient proposé sous forme de problème, comme aurait pu le faire le premier venu, de trouver, par exemple, un nombre qui, ajouté à 3, donne la somme de 10, faisaient, eux aussi, tout naturellement de l'algèbre. Car ils avaient dû, en guise de réflexion, se dire à eux-rmémes : le nombre qu'il s'agit de trouver est évidemment un nombre inconnu; désignons-le par un symbole quelconque, par une croix ou par a?, et ajoutons-le au nombre connu ou donné 3, D'après l'énoncé du problème, le nombre inconnu, augmenté du nombre connu, doit être égal à 10, ou, en abrégeant (l'algèbre n'est qu'un

langage d'abréviation) : a; + 3 = l^« Voilà FexpresBÎon d'une égalité ou équation (composée de deux membres) , la plus simple possible; car a? + 3 peuvent être considérés comme les parties ou segments d'une ligne représentée par la somme 10; c'est une équation linéaire ou du premier degré. Le premier membre de l'équation, étant égal au second (d'où le nom à' équation) , il est évident que si l'on ôte l'un de l'autre, le résultat sera égal à zéro; l'équation ne sera donc pas changée si on Texprime par (a? +3) — 10 = 0. Pour trouver la valeur de la quantité inconnue a?, il faut l'isoler ; pour cela, il suffit d'en sous^ traire la partie connue, en la faisant passer dans l'autre membre de l'équation. Or, qui ne voit que, pour conserver l'égalité entre deux grandeurs égales, si l'on diminue l'une d'une certaine quantité, il faudra aussi diminuer l'autre de la mèçie quantité? Gela n'a pas besoin d'être dé^ montré; c'est un axiome. En l'appliquant au cas en question, on aura donc: 0?= 10 — 3;= 7. En effet, 7+3=10.

Si, dès Torigine, les homipes avaient préféré l'exercice de l'intelligence à celui de la mémoire, ils auraient depuis bien longtemps mis la main sur ce puissant instrument à' analyse^ ^ qu'on nomme V algèbre.

Une fois engagé dans cette voie, on ne se serait pas, j'imagine, arrêté à mi-chemin. Pourquoi n'aurait ■«■ oa pas songé à désigner par des lettres, ou par n'importe quels signes, toutes les quantités, tant celles qui sont données que celles qui sont à chercher ? On l'a fait, mais après des tâtonnements séculaires. Supprimons ces tâtonnements, et, pour nous faire mieux comprendre, con* densons, par hypothèse, dans l'esprit d'un seul penseur l'œuvre de longues générations. En exprimant toutes les quantités, connues ou inconnues^ par des lettres, et, pour ne pas trop brusquer des habitudes invétérées, en dési-

• 1 . Nous prenons ici le mot analyse dans le sens que lui donnaient les anciens, dans le sens de iolutiony &v6^v9iç, d'un problème.

gnant par s la somme (initiale du mot somme) ^ et par d la différence [initiale du mot différerme)^ nous aurons : a4-fr=^ et a — b = d. Pour un esprit réfléchi, il y a là toute une révolution. En effet, les caractères a et 6 représentent chacun le nombre ou la quantité que l'on voudra; seulement, pour éviter tout embarras, quand une fois on a spécifié la valeur de a, il ne faudra pas donner la même valeur k b\ a et 6 doivent donc être considérés comme deux quantités quelconques, mais inégales. Si l'on veut que à a soit égal 6, on écrira 2a =5 : et alors d (la différence) sera égal à zéro : a — 6 = 0. Mais qui ne s'aperçoit alors que les signes ou symboles indiquent tout à la fois la manière dont les quantités sont combinées entre elles et les opérations à faire? qui ne voit enfin que la notation prend tout à coup une importance extrême? Voilà donc l'instrument acquis; mais pour s'en servir utilement il ne faut pas se perdre dans le vague des abstractions. De même que le corps a besoin d'un point d'appui solide, l'esprit demande, dans ses généralisations, à s'appuyer sur le particulier ou le concret, c'est-à-dire sur des quantités exprimées par des nombres, par des lignes ou des figures géométriques. C'est en passant ainsi alternativement du particulier au général et du général au particulier que l'esprit avance.

Reprenons a+6 = «. Si l'on donne à 5, par exemple, la valeur de 10, le choix des nombres pour a et 6 ne sera plus illimité : il sera renfermé dans les limites, tracées par 10 (quantité déterminée). Or, on demande, je suppose, deux nombres dont la somme soit 10. La question peut être résolue de six manières différentes : 54-5=10; 6-1-4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10; 10+0i= 10 ; en général, s peut être numériquement représenté

s de - + 1 manières différentes. C'est ce qu'on nomme un

problème indéterminé. Les problèmes de ce genre, cas i^analyse indéterminée^ sont très-fréquents dans Diophante.

Dans l'exemple cité, on remarquera que si 6 + 4, 7+3, 8+2, etc. , reproduisent toujours la même somme = 5 + 5,

s c'est qu'ils oscillent autour de la demi-somme, -, de manière que si Ton augmente Tun d'une certaine quantité, l'autre devra être diminué de la même quantité. Par exemple : (5+l) + (5— 1)=(5 + 2) + (5— 2), etc. =2 X 5 = 10 et d'une manière générale (a+6) + [a^b) = 2a.

Ainsi, a exprime la demi-somme -, et 2a la somme en-

tière, s. Ge mode de représentation montre en même temps pourquoi la moUié de la somme de deux quantités^ plus la moitié de leur différence^ donne la plus grande^ et la moitié de la somme moins la moitié de leur différence donne la 'plus petite. Getle règle est fondamentale.

La scène change lorsqu'il s'agit de multiplier, l'un par l'autre, les mêmes nombres qui, par leur addition, donnent toujours la même somme. Les produits ainsi obtenus sont non-seulement tous inégaux entre eux^ mais il y a un produit maximum et un produit minimum. Le produit maximum est celui des deux moitiés (produit de deux facteurs égaux) : ce produit est donc un carré; le produit mininvm est égal à zéro. Les autres produits viennent se placer régulièrement entre ces deux limites. En effet, dans l'exemple cité, 6X4=24; 7X3=21; 8X2 = 16; 9X1=9, sont intermédiaires entre 5X5 = 5* =:25 et 10X0=:0. Et ces différents produits sont égaux à la différence entre k carré du plus grand nombre et le carré du plus petit. Voilà, certes, un beau résultat, qui a pour expression générale a* — &*. En effet, 24=5* — 1*, 21 = 5* — 2*, 16=5*— 3*, 9=5*— 4». Comment sommesnous arrivé à ce résultat? En concevant les nombres

1. Dans la formule (a •f&)+ (a— &)=^2a^ la quantité oscillante, b,

d ezpiime la demi-diflérencet ^«

274 fflSTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

comme oscillant binairement autour de la demi-somme de leurs facteurs. Cette conception disparaît dans le système de numération universellement adopté; aussi n'y serait-on jamais arrivé par la représentation numérale ordinaire : 6X4 = 24, 7X3=21, etc. Mais, si, au lieu d'écrire 6 et 4, 7 et 3, etc., on écrivait 5 + 1 et 5 — 1, 5+2 et 5 — 2, etc., et qu'on multipliât 5+1 par 5 — 1, 5+2 par 5 — 2, etc., et d'une manière générale, a+6 par a— 6, on aurait immédiatement le résultat que nous venons d'énoncer. Le produit maximum a lieu lorsque la différence entre a et b est égale à 0 ; en ct3 cas a est égal à 6,

conséquemment aa=o'=f- j ; mais si d=a—b est plus grand que zéro, les produits intermédiaires auront pour expression générale f^j — [-] =a'— 6*.

Cependant l'esprit géométrique n'est pas encore satisfait, tant qu'il ne s'est pas assuré intuitivefnent, par construction et par nombre, de la vérité d'une proposition.

Tout produit de deux facteurs égaux est un, carré, ayant pour côté la racine, ou le nombre d'unités contenues dans le facteur simple. Tout produit de deux facteurs inégaux est exprimable par un rectangle, c'est-à-dire par le produit de deux parties ou segments d'une ligne, et ce rectangle peut être égal à un carré, même en nombres. Mais ce cas n'arrive qu'à la condition que- le côté du carré soit la moyenne proportionnelle entre les deux segments de la ligne. Cette condition est remplie par la perpendiculaire qu'on abaisse de l'angle droit d'un triangle rectangle sur l'hypoténuse. Le carré jde cette perpendiculaire, égal au produit des segments de l'hypoténuse, est pour les côtés homologues du triangle ce que, daîis une simple proportion, le second terme une fois répété et multiplié (moyenne proportionnelle] est pour les deux extrêmes. Par exemple : 2: 6:: 6: 18; d'où 6*3=2Xl8jet^ d'une manière générale, albiibic; d'où ac=b*.

Mais laissons ce cas de côté, et, revenant à a* — 6', essayons, avec le produit de a-j-ô par a — t, considéré comme deux portions d'une ligne, de construire une figure géométrique. On remarquera d'abord que, pour arriver au résultat final, il faut (fig. 26) annuler 2ab, c'est-à-dire le double du produit rectangulaire (indiqué par des points), de manière qu'il ne reste que 6* à déduire de a". En rétablissant 2ab (rétablissement indiqué par des points) et ajoutant 6^, nous aurons (a+&)X {a+b)=za^+2ab + b^=={a+b)\ Voyons Fig. 26.

le contrôle numérique, dont on ne devrait jamais se dispenser. Soit, par exemple, a-|-6=5 + 3, et a — 6=5 — 3; en multipliant 5-J-3 par 5 — 3, nous aurons 25(+15— 15)— 9 = 5^ — 3^=16; et en rétablissant les deux produits rectangulaires (3X5)-f- (3X5) =30, et les joignant à 25 et à 9, nous aurons 64, qui est le carré de 8 = (5-f-3)^.

Les équations, où figurent des produits qui ne dépassent pas le carré, sont des équations quadratiques ou du second degré. Ainsi, « trouver un nombre dont la moitié multipliée par le tiers fasse 24, » voilà un problème déterminé, qui rentre dans l'équation du second degré. Soit

X le nombre à trouver ; sa moitié est -a?, son tiers -a?.

Multipliant rOjpar -a;, on a ^xx ou-o?^; et, parce que ce

produit doit égaler 24, on formera l'équation ~a;^ = 24.

Multipliant par 6, on a|a?^=6X24, ou x^=^lkk=:W\

extrayant la racine, on trouve a/=12. C'est, en effet, là le nombre dont la moitié, ou 6, multiplié par son tiers, ou 4, fait 24. Il y a beaucoup de problèmes de ce genre dans Diophante*

Résumons-nous. Sans doute Talgèbre, telle que nous l'avons, n'est pas sortie, armée de toutes pièces, de la tête de Diophante. Mais ses propositions peuvent être toutes exprimées algébriquement, ainsi que la plupart de celles d*Euclide. Les Arabes s'y sont, comme nous le verrons, les premiers essayés. Mais c'est chez les Grecs, et notamment dans Diophante, qu'il faut chercher les premiers linéaments de l'algèbre.