Ibidem, p

iParbaeh etReslomontaniitf. — Progrès de la trigonométrie et de l'algèbre. — Vh. de BraUlwAi*dln. M. de Casa. Albeh*t Httrer.

Les travaux de G. Purbach et de Regiomontanus, du maître et du disciple, dont nous avons déjà parlé dans V Histoire de V astronomie (p. 286-288), ont beaucoup contribué au développement delà trigonométrie. Dans leur Epi' tome inC» Ptolemœi 3îagnam Cofnpositionem^ etc. (Venise, 1496, et Bâle, 1543, in-fol.), ils substituent, pour les calculs trigonométrîques de Ptolémée, les sinus aux cordes^ comme l'avait déjà fait Albategni ; mais ils conservent les

sinus , ^ j ,

expressions *— r — • et ne se servent pas encore des tan- ^ cosinus ^

gentes. Regiomontanus en fit plus tard une table, à laquelle il donna le titre de Table féconde.

Répudiant les traductions latines, faites sur l'arabe, Regiomontanus lut, le premier, les grands géomètres grecs dans leur propre langue, et en donna des versions plus correctes. Son ouvrage de trîangulis omnimodis libri V (Nuremberg, 1533, in-fol.) est un traité complet de trigonométrie, tant rectilîgne que sphérique. Dans les deux premiers livres, qui renferment beaucoup de problèmes nouveaux, il s'agit toujours de déterminer, au moyen de trois données quelconques, les autres parties d'un triangle. Par exemple, dans la 12« question du IP livre, on donne la base, la perpendiculaire et le rapport des deux côtés. Quand l'auteur dit que cette question n'avait pas encore été résolue par la géométrie, il oubliait qu'elle était déjà connue d'Apollonius (second livre des Lieux plans) ^ de Pappus et d'Eutocius'. Il y applique l'algèbre, ars rei et census , comme il l'ap-

1. La même question avait été traitée par Hassan-ben-Haïthem (dans ses Connues géométriques) ; elle le fut depuis par Cardan, dans son traité de Proportionibus numerorwm; par Galilée, dans les Lieux plans d'Apollonius, restitués par Fermât, etc.; enfin G, Legendre Ta comprise dans son traité de Géométrie élémentaire.

PÉRIODE BE TRANSPORMÀÏION. 8â5

pelle d'après Léonard de Pise,et arrive ainsi à nn« équation du second degré*. La règle rei et cemus était alors trèsfréquemment employée par les astronomes géomètres. Dans le cinquième livre des Triangles on remarque, entre autres, la proposition suivante : « L*arc du grand cercle qui divise en deux également l'angle au sommet d'un triangle sphérique , fait sur la base deux segments dont les sinus sont entre eux comme les sinus des côtés qui comprennent l'angle. » Cette proposition correspond à une propriété des triangles plans, connue des Grecs.

Le traité arithmétique de Regiomontanus, intitulé Âlgch' rithmus demonstratus (imprimé par Schonér en 1534), occupe une place importante dans l'histoire de l'algèbre. On y voit les lettres substituées aux nombres, et ces signes abstraits , généraux , sont même employés tout à la fois pouir exposer le système de numération ^et démontrer les règles de l'arilàmétique pratique. L'usage des lettres, non plus seulement pour exprimer les quantités inconnues, nïais les quantités connues, usage qui est le fondement de l'algèbre moderne , fut étendu et développé, un siècle plus tard, par Viète.

L'intéressant recueil, publié par de Murr, sous le litre : MemorabiliaBibliothecarum Norimbergensiumet uni" versitatis Àltorfinx (Nuremberg, 1786, 2 vol. in-8), contient de Regiomontanus une solution trigonométrique de la fameuse question qui se trouve dans Brahmegupta et dont les géomètres des 'qlii'Bzièm'e et seizième 8ièele3 se sont occupés', qikeatwyn qui consiste à « construire avêe quatre côtés donités fm. quadrilatère qui soit inscriptible

1. Dans reïémple pTéiSeiité par RegiomontâSaxis, les cownues ou données sont 20 pour la base, 5 pour la perpendiculaire et | pour le rapport des deux côtés; prenant pour Tinconnue la différence des deux segments faits sur la base par la perpendiculaire, il établit, par des •considérations géométriques, l'équation : 20 censits, plus ÎOOO eequates rebîw, en d'autres termes : 20a?' + 2000 =680 a;.

2. Voy. M. Chasles, Aperçu historique, etc. p. 435 et suiv. (note).

BS UATHËHATIQDES.

avons montré que cette question, monter l'origine aux Indiens, est

Ko, archevêque de Gantorbéry, a xine des polygones étoiles dans a, écrite eu 1344 et imprimée n 1496. L'auteur y Fait connaître s égridienis*, et celle des figures les a donné, dans son Aperçu hisune analyse détaillée du remarde Bradwardin , qui s'était acêe d'un géomètre et d'un théolo-

de Ctisa (mort en 1464), le pré- LÎt, comme l'archevêque Bradward' indépendance qui , brisant les scolastique, prépara l'avènement isance. En renouvelant l'antique ture du cercle, il employa, pour rocédé qu'exprime cette formule :

i désigne le nombre des côtés du

polygone régulier inscrit, et p le périmètre de ce poly- " ' ' —acte que fût cette expression géuéire à faire ressortir l'irrationalité e à la circonférence, suggéra à Nicolas de Gusa l'idée de le sur une ligne droite. On a

iloppenem hùloriqit de ia Morie da potettino ai BibUogrifia, etc., de M. B. Buon* août 1873.

voulu y voir les premières traces de la cycloïde, courbe devenue si célèbre au temps de Pascal. Mais M. Ghasles [Aperçu historique^ etc., p. 529) a montré que Tare de cercle ainsi décrit ne servait, dans Tesprit de Fauteur, qu'à dé-terminer le point de la droite où venait se placer, après une révolution du cercle, le point de sa circonférence qui touchait d'abord cette droite, et qu'il ne s'agissait nullement de considérer la courbe engendrée dans l'espace pour un point de la circonférence qu'on faisait mouvoir sur une ligne droite.

Les écrits mathématiques du cardinal Nicolas de Gusa forment la troisième partie de ses Œuvres complètes (la plupart théologiques), imprimées à Paris en 1514, et à Bâle en 1565, in-fol.

Albert Durer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non-seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspîective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Durer maniait très-habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Durer est un pentagone régulier, construit avec une seule ouverture de compas; mais d'autres géomètres (Glavius , J. B. Benedetti) ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative. Les Instructions de Durer concernant l'usage du compas parurent en allemand, à Nuremberg, 1525, in-fol. , avec 19 figures sur bois, probablement gravées par Durer lui-même.

338 fflSTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

Arrêtons-nous >d&ns cette énumération d'hommes de tout état qui prirent .une part active au grand mouvement de transformation ou de rénovation de toutes les connaissances humaines, dont le moyen âge nous offre le spectacle si instructif. Une nouvelle époque, féconde en révolutions, va se lever sur la scène de l'histoire.