M. ChasleSj Aperçu géométrique y etc., p

ptUationis (Leipzig, 1545). Il y considère rarithmétique moins comme un art que comme une science digne des méditations de tous les savants.

A Tépoque de la Renaissance, les arithméticiens admettaient quatre espèces de nombres : les digUi^ les articuli, les limites et. les compositi. Schoner, dans son Àlgorithmus demonstratus ^ définit clairement ces mots. « Le digiius est, dit-il, tout nombre moindre que dix. Uarlirculus s'appelle tout nombre qui décuple le digitus^ ou qui est le décuple du digitus, ou le décuple du décuple, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Les digiti et les arliculi se distinguent des limites. Lh limite, limes, est un groupe de neuf nombres, qui peuvent être des digiti ou des multiples de digiti. Le nombre composé est une réunion de nombres de diverses limitèSy ou un nombre représenté par des figures. >?

Joachim Prsetorius (né en 1537, mort à Altorf en 1616), qui enseigna les mathématiques à l'empereur Maximilien II, est cité comme l'inventeur de la planchette (tor hula prœtoriana) , instrument géodésique, servant à prendre des angles visuels. Il consacra un opuscule de 36 pages in-4 à la solution du problème (proposé par le prince Charles-Emmanuel de Savoie) qui consiste à construire, avec quatre côtés donnés, un quadrilatère inscriptible dans le cercle. Cet opuscule a pour titre : Problema quod jubet ex quatuor rectis lineis datis quadratum fieri, quod sit in circulo, aliquot modis ea?pZicaiwm (Nuremberg, 159,8).

Kepler avoue avoir beaucoup profité des travaux de

Prsetorius.

Van Roomen, plus connu sous le nom i' Adrien Romain (né à Louvain en 1561, mort à Mayence en 1615), vint enseigner les mathématiques à Louvain, après avoir étudié à Cologne et à Paris. Son Uranographie (Z/ranographia sive Cœli descriptio), qu'il fit paraître en 1590,

est un cours d'astronomie élémentaire, rédigé au point de vue de la science d'alors. Dans la même année il avait publié sa méthode des Polygones (Idex mathematicas pars prima, sive Methodus polygonumyLouYBin^ 1590), qui contient le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, avec quinze décimales. Cette détermination, la plus exacte qu'on ait encore calculée, donne, le diamètre étant pris pour unité, à la circonférence du cercle la valeur de

Cette valeur, désignée depuis par w (initiale du mot grec Trepiçepeia, circonférence), a été reproduite dans beaucoup de livres de géométrie. Adrien Romain, Viète et Clavius eurent une vive controverse avec Joseph Scaliger qui prétendait avoir trouvé la quadrature du cercle, dans ses Cyclometrica elementa duo (Leyde, 1594)*.

Dans son Canon triangulorum sphœricorum (Mayence, 1609), A. Romain entreprit de simplifier la trigonométrie sphérique, en la réduisant à six problèmes, dont tous les autres ne sont que des cas particuliers. Selon la mode du temps, l'auteur du Canon avait proposé une question embarrassante à ses contemporains géomètres. Viète lui en envoya la solution ; mais à son tour il proposait au géomètre belge « de mener. un cercle tangent à trois cercles donnés ». A. Romain résolut le problème par Tinter-

1. Joseph Scaliger (né à Agen en 1540, mort à Leyde en 1609), fils de Jules-César Scaliger, avait des prétentions à la science universelle. Pour résoudre le problème de la quadrature du cercle, il concluait de ce que le diamètre du cercle, dans lequel le quadrilatère, formé avec les côtés a, h, c, d, serait inscrit, aurait pour expression

VÔM^ 4" VcH-d^. Le problème admettrait ainsi deux solutions,

pour lesquelles le diamètre du cercle serait y/a^ + c^ + v/b' -|- d^, et

^a'^ + d^ + y/h^ -f c^ ; de sorte que Scaliger aurait résolu, avec la ligne droite et le cercle, une question qui aurait dû dépendre d'une équation du 3* degré. C'est cette prétendue solution qui fut réfutée par Viète, Adrien Romain et Clavius.

section de deux hyperboles. Mais Viète lui fit observer , que cette solution n'avait pas la rigueur de la géométrie ancienne, et il en donna en même temps une autre, qui avait toute la précision désirée*.

Ludolphe van Ceulen ou van Colen (né en 1539, mort en 1610) enseigna les mathématiques à Leyde. Il fut un de ceux qui aimaient ardemment les joutes mathématiques^. Ses deux principaux ouvrages, primitivement écrits en hollandais, furent traduits par Snellius; le premier a pour titre : Fundamenta arithmetica et gex)me^ trica^ etc. (Leyde, 1615); le second : de Circulo et adscriptis liber, etc. (ibid., 1619). Les Fondements sont divisés en six livres; le premier expose la théorie de l'arithmétique et des quantités sourdes; le deuxième traite des constructions linéaires, dans le sens d'Euclide ; le troisième, de la transformation et de la division des polygones; les quatrième, cinquième et sixième forment une collection de problèmes proposés, soit à Fauteur, soit à d'autres géomètres, et il en donne la solution. — Dans le traité du Cercle^ van Ceulen, aidé de son élève' Gornelisz, a poussé la valeur de ic jusqu'à la trentième décimale.

A. Metius (né en 1571, mort en 1635, àFraneker), qui enseignait depuis 1598 les mathématiques à Franeker, s'occupa également, avec beaucoup d'ardeur, de la détermination, la plus approchée possible, du rapport de la circonférence au cercle. Outre divers ouvrages d'astronomie, il a laissé, en latin, un traité d'Arithmétique et un traité de Géométrie (Franeker, 1611, in-4).

1 . A. Ouetelet, Histoire des sciences mathématiques chez les Belges y p. 136 (Bruxelles, 1871, in-8).

2. Vosterman van Oijen, Notice sur L van Colen, dans leBullettino di Bihliografiay etc., de M. B. Buoncompagni, mai 1868.

Harriot. — Anderson.

Thomas Harriot {né à Oxford en 1568, mort à Londres en 1621) mit parfaitement en lumière la nature et la formation des équations, dans un ouvrage qui parut, après sa mort, sous le titre de Artis analyticœ Praxis (Lond., 1 63 1) . Le premier il égala toute Texpression d'une équation à zéro. Ainsi, au lieu d'écrire a?=6, on écrira a?— 6 = 0; au lieu de x^ — 20a?=9, on mettra a?^ — 20a; — 9=0. Cependant Tauteur fut loin de tirer de cette manière d'envisager les équations tout le parti qu'on en a tiré depuis. Mais ce qui fait surtout son mérite, c'est d'avoir remar- ({ué que toutes les équations d'ordres supérieurs sont des produits d'équations simples. Qu'on prenne, par exemple, tant qu'on voudra d'équations, belles que a?±a=0, .r±:6 = 0, a?d=c=0, et avec telle combinaison de signes que l'on voudra ; par exemple, en multipliant ensemble a;4-û=0, X — 6=0, ic+c=0, on obtiendra un produit qui a pour expression : a;'+(^ — b + c)x^ — (a6 -f- 6c — r ac) 0?— a6c=0, ce qui est une équation du troisième degré, parce qu'il y a trois facteurs. Cette expre&sion deviendra égaie à 0, si à a? et ses puissances on substitue — a^ ou 6, ou — c. Il est facile de s'en convaincre en remplaçant les lettres par des chiffres. Prenons, par exemple, x — 1=0, a?+9=0,a?— 7=0; le produit seraa?*+^^ — 65 a?= — 63. Si, dans cette expression, on fait x égal à 1, ou à — 9, ou à 7, l'équation sera facile à vérifier, car on aura, dans le premier cas : 1+1— 65+63. ce qui est effectivement égal à zéro. Dans le second cas, on aura — 729 + 81 +585 + €3, ce qui est aussi égal à zéro. Il en est de même du troisième cas. Donc il est évident que x a trois valeurs, puisque chacune d'elles satisfait aux conditions de l'expression.

Ce qui précède conduit à une méthode générale pour résoudre non-seulement les équations du troisième 'de-

gré, mais celles d'un degré quelconque au-dessus. Puisque la quantité connue est le produit de toutes les racines de réquation, si ces racines sont rationnelles et entières, elles seront nécessairement quelques-uns des diviseurs de ce produit. Il faudra donc essayer lequel d'entre eux, mis à la place de l-iiaconnue, positivement ou négativement, rendra Téquation égale à zéro. Si cela réussit, ce sera Tune des valeurs de Vinconijue. . Exemple : que l'équation proposée soit a?' — 17 x^-^ld a? — 63 = 0. Les diviseurs de 63 sont 1, 3, 7,9, 2), 63; par conséquent, si une des racines de Téquation est un nombre entier, ce nombre sera Tun de ces^ diviseurs. En effet, si au lieu de x on met 1, ou 7, ou 9, tous les termes se détruiront. Les valeurs de Finconnue seront donc 1, ou 7, ou 9, et réquation sera divisible par x — 1, ou par X — 7, ou par x — 9. De même dans l'équation x^ — 34a? —.45 = 0 les diviseurs de 45 sont 1, 3, 5, 9, 15, 45; on les essayant les uns après les autres, on trouve que — 5 étant substitué à la place de Xj Téquation se détruit. C'est pourquoi l'une des racines est — 5, et, divisant cette équation par a?-|- ^ï ^^ l'abaisse à celle-ci : x^ — 5a? — 9=0,

dont les racines sont --f-i/lO- et - — i/iOt. ^i aucune de ces substitutions ne réussit, c'est un signe que la racine de l'équation n'est point un nombre rationnel, ni entier*.

Tels sont, en résumé, les progrès que l'analyse algébrique doit à Harriot, qui, dans sa jeunesse, avait accompagné Walther Raleigh dans son expédition de la Caroline du Nord. Harriot leva le premier la carte de ce pays, qui reçut, en l'honneur de la reine Elisabeth, le nom de Virginie.

Un contemporain et compatriote de Harriot, Alexandre Anderson, s'occupa de questions d'analyse géométrique

1. MontucJa, Histoire des mathématiques , t. IT, p. 107 et suiv.

dans son Supplementum Apollonii redivivi^ 1612, in-4, et surtout dans un petit opuscule intitulé : Animadversionis in Franciscum Vietam a Clémente Cyriaco nuper edilœ brevis AiaxpKjtç, Paris, 1617, in-4. L'auteur y appelle porisma un problème local, où il s'agit de trouver le lieu des sommets des triangles qui, ayant même base, ont leurs deux autres côtés dans un rapport constant. Le P. Mersenne fait, dans son livre la Vérité des sciences (1625, in-12), un grand éloge d'Anderson, qui avait étudié à fond Archimède et Apollonius, et préparé plusieurs ouvrages (qui n'ont pas vu le jour), pour suppléer à ceux des anciens qui ne nous sont pas parvenus*.

Mathématiciens-Astrononaes. — Fin du seizième siècle et commeiieeineiit du dix-septième sièele.

Bien que les travaux de Rhéticus, de Kepler, de Byrge, de Stevin, de Snellius concernent surtout l'astronomie et la mécanique, ils touchent cependant de trop près à la géométrie pour que nous puissions nous dispenser d'en dire ici un mot.

Rhéticus ou le Bhétien (de Rhétie, pays des Grisons), dont le véritable nom était Joachim (né en 1514, mort en 1575), contribua beaucoup à perfectionner les Tables trigonométriques, et fit, le premier, usage des sécantes. Son principal ouvrage, publié sur ce sujet, a pour titre : Canon doctrine îriangulorum (Nuremberg, 1551, et Bâle, 1580); c'était rébauche d'un grand travail dans lequel

1. Alexandre Andersen a été souvent confondu avec Robert Anderson, auteur de Propositions stéréométriqueSj applicables à divers objets y mais spécialement au jaugeage j 1668, in-8 (en anglais). On a attribué à ce dernier Vindicix Archimedis, sive Elenchus cyciometri/e novœ a Landsbergio nuper éditas, Paris, 1616, et Exercitationum mathematicarum Decas prima, Paris, 1619. Mais ces deux ouvrages, extrêmement rares, sont très-probablement d'Alexandre Andersen.

l'auteur calcula les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes, de dix en dix secondes, pour un rayon de 10000 000000. Le manuscrit en avait été légué à un disciple de Rhéticus, à Valentin Otto, qui le fit paraître, en 1596, à Heidelberg, in-folio, sous le titre de Opus Palatinum^ de triangulis. Cet ouvrage contient : Libri très de fabrica canonis doctrinse tHangulorum; — de Triquetris rectarum linearum in planitie; — de Triangulis globi cvm angulo recto; — Magnus canon triangulorvm.

Dans une lettre écrite à Ramus en 1568, Rhéticus annonçait l'intention de publier divers ouvrages, entre autres sur Fastronomie et la chimie, où Tobservation devait remplacer toutes les vayies théories. Malheureusement aucun de ces ouvrages n'a vu le jour.

Kepler (né en 1571, mort en 1630) doit être compté au nombre des plus grands géomètres, bien qu'il ait consacré tout son temps presque exclusivement à l'astronomie 2. Cependant il nous a laissé deux ouvrages de mathématiques très-remarquables, dont l'un a trait aux logarithmes, et l'autre à la stéréométrie. Le premier a pour titre : Chilias logarithmorum^ Linz, 1622, in-4; le second : Stereometria doliorum vinariorum^ ibidem,

L'invention des logarithmes, dont nous parlerons plus loin, n'ayant pas été aussi favorablement accueillie sur le continent qu'en Angleterre, Kepler. essaya le premier de la mettre à la portée de tout le monde dans sa Chiliade des logarithmes. C'est encore lui qui, l'un des premiers, introduisit dans le langage géométrique Vidée de rinflni, comme l'atteste sa Nouvelle Stéréométrie des tonneaux

1. Le mot Paîatinum fait allusion aux frais d'impression faits par rélecteur Palatin.

2. Sur la vie et les œuvres deKeple^, voyez notre Histoire de V astronomie, p. 341-369.

(Nova Stereometria doliorum; accessit stereometrix Archimedex supplementum; 1615, in-foL). Ce petit traité, trop peu connu, Kepler le composa à l'occasion d'une querelle avec un marchand de vin. « Le cercle n'est, dit-il, que le composé d'une infinité de triangles, dont le sommet est au centre et dont les bases forment la circonférence; le cône est composé d'une infinité de pyramides appuyées sur les triangles infiniment petits de sa base circulaire et ayant leur sommet commun avec celui du cône, tandis que le cylindre de même base et de même hauteur est formé d'un pareil nombre de petits prismes appuyés sur les mêmes bases et ayant même hauteur qu'elles. » ^

Dans le Supplément à la Stéréométrie d'Archimède, Kepler examine les rapports de quatre-vingt-sept figures solides, la plupart désignées sous les noms des fruits auxquels elles ressemblent, et qu'il faisait naître par le mouvement de surfaces sphériques et coniques autour des diamètres, axes, ordonnées, etc.; enfin, par des propositions comme celles-ci : 1° Décrémenta perpendicularium sunt maxima apud A; minora igitur erunt apud B; 2° Ubi décrémenta altitvdinum prœcipitantur per omnes proporliones in infinitum crescentibus proportionum aug^ mentis^ ibi incrementa quadratorum magis magisque d&crementa et incrementa proportionum decrescunt^ il posa en quelque sorte les jalions de la méthode de maximis et minimis, et prépara l'avènement de la nouvelle analyse.

Le principal ouvrage astronomique de Kepler, l'Harmonique du monde [Harmonice mundi), où se trouve le développement de la fameuse loi du rapport des carrés des temps des révolutions des planètes aux cubes de leurs distances au Soleil, contient des données très-intéressantes pour l'histoire de la géométrie. Dans lel®' livre l'auteur expose la théorie générale des figures régulières, et il traite à fond la question des polygones étoiles. Il savait très bien ge servir de « cet art analytique (ce sont ses propres exprès-

sions), appelé algèbre par TArabe GeLer, et cosa paf les Italiens. » Ainsi, en cherchant, par des considérations géométriques, Texpression du côté de Theptagone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon, il arrive à cette équation :

7 — lkij"\'liiij — Ivjy œque valent nihilo^

qui, en langage algébrique actuel, s'exprime par

où X représente le rapport de F heptagone au rayon du cercle. « La valeur de la racine d'une telle équation, ajoute Kepler, n'est pas unique ; car il y en a deux pour le pentagone, trois pour l'heptagone, quatre pour l'ennéagone, et ainsi de suite.... Les trois racines de l'heptagone sont les côtés de trois heptagones différents, qu'on peut concevoir inscrits dans le môme cercle. » M. Ghasles,.qui a donné une analyse succincte des cinq livres de VHarmonique du monde^ fait très-bien ob.server que le passage cité de Kepler renferme la notion analytique qui unit la théorie des polygones étoiles à celle des polygones des anciens*.

Juste Byrge (né à Lichtenstein en 1549, mort en 1632) avait aidé Guilkume IV, landgrave de Hesse, dans ses travaux astronomiques^. Après la mort de son protecteur, il devint mathématicien de l'empereur d'Allemagne, Rodolphe II, et cette position lui permit de continuer ses travaux. Byrge est l'inventeur d'un compas de proportion fort simple ; mais c'est à tort qu'on lui attribue l'invention des logarithmes. Ses Tables 'progressives^ arithmétiques et géométriques^ dont il n'a paru, en 1620, que les sept premières feuilles, depuis longtemps introuvables, sont de deux ans postérieures à Neper.