M. Cbasles, Aperçu historique, etc., p. 55 et p
. PrQsrès de 1» IrigoB^wélr^. — InTcntlofi
des |o£f^rit|imes.
Les rapides progrès de lastronomie firent perfectionner les calculs trigonométriques. Gomme ces calculs sont longs, à raison des nombres considérables sur lesquels il faut opérer, on dut bientôt songer à les abréger.
Werner de Nuremberg, très-versé dans l'analyse ancienne, comme l'attestent ses CommentaHiin Dionysiodori problema^ cum libelio de Elementis conicis (Nuremberg, 1522, in-4),*paraît avoir le premier imaginé la méthode abréviative, connue sous le nom de prostapliérèse, qui permet de réduire les calculs de multiplication et de division de la trigonométrie sphérique à de simples additions et soustractions*. Mais louvrage de Werner, où cette méthode se trouve exposée, n'était pas encore imprimé, quand Tycho et Wittichius y furent conduits par leurs calculs astronomiques. La méthode fut ensuite perfectionnée par Byrge et mise au jour, en 1588, dans le Fundamentum astronomie de Raymar Ursus, surnommé Dithmarsius, Raymar Ursus, qui se qualifie disciple de Byrge, fut accusé par Tycho de lui avoir dérobé son système, accusation qui donna lieu à un vif échange de libelles. Quel que soit l'auteur de la prostaphérèse, cette méthode fut avantageusement remplacée par celle des logarithmes.
Le nom de logarithme^ de formation grecque, ne signifie pas, comme on Ta dit, discours sur les nombres^ mais rai^ son des nombres (de ^oyo;, raison ou rapport ^ et «piSjxdç, nombre). Il s'applique en effet à des nombres qui ont entre eux des rapports déterminés. Nous ne reviendrons pas
1 . Voy. Texposé de cette méthode dans Montucla, Histoire des mathématiques, t. I, p. 617 (note B).
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sur une idée très-simple, qui pouvait se présenter à tout esprit, et dont nous avons déjà parlé plus haut, p. 32 et suiv. Nous aborderons immédiatement Thistoire de celui qui a compris dans une méthode générale, qui a en quelque sorte codifié des données éparses, et qui par cela même passe pour Vinventeur des logarithmes.
Neper. Briggs. Gunther. Gellibrand. Vlacq. Wingate.
John Neper ou Napier^ baron de Merchiston (né en 1550 au château de Merchiston, près d'Edimbourg, mort en 1617), partagea ses loisirs entre Tadministration de ses domaines et T étude de la théologie. Mais il dépensa la plus grande partie de son temps dans les luttes du puritanisme écossais et de la royauté, et déploya dans les synodes presbytériens un zèle fanatique. Les mathématiques n'étaient pour lui qu'un délassement intermittent. La lecture de l'Apocalypse eut pour Napier, comme pour Newton, un attrait tout particulier; il la commenta, comme le fit plus tard son illustre compatriote. Mais ses préoccupations théologiques ne l'empêchèrent point de songer au moyen de soulager les géomètres et astronomes dans leurs longs et laborieux calculs. C'est ce qui le conduisit à la découverte des logarithmes» Pour y arriver, Neper avait probablement suivi la voie que nous avons déjà signalée comme se présentant tout naturellement à l'esprit humain. Les termes de la progression arithmétique sont les logarithmes^ comme qui dirait les numérateurs ^ des raisons des termes de la progression géométrique. On les désigne par la lettre /. Ainsi, par exemple, i32 (le logarithme de 32) est 5, comme le montrent ces deux progressions correspondantes :
0 12 3 4 5, etc.
12 4 8 16 32, etc.
Michel Stifel, dans son Arithmetica intégra^ avait déjà signalé les propriétés des. deux progressions, l'une arithmétique (celle des exposants ou logarithmes), l'autre géométrique, qui se correspondent ainsi terme à terme. Mais il lui restait encore un pas à faire pour découvrir le véritable système des logarithmes : il lui aurait fallu essayer de remplir de nombres tous les intervalles des termes de la progression géométrique, et de trouver en même temps les nombres fractionnaires qui devaient leur correspondre dans la progression arithmétique ; car, entre 2 et 4, manque 3 ; entre 4 et 8, manquent 5, 6, 7, et ainsi de suite. En suivant cette voie, il aurait trouvé les logarithmes des nombres naturels. Ce que Stifel n'a pas fait, Neper le fit. Neper publia son invention dans Mirifici logarithmorwm canonis descriptio , ejusque usus in utraqtie trigonometria, etc. (Édimb., 1614, in-4) *. Gomme l'auteur avait principalement pour but de faciliter les calculs trigonométriques, ses logarithmes ne sont appliqués dans cet ouvrage qu'aux sinus. On y trouve, en effet, les logarithmes de tous les sinus des degrés et minutes du quart de cercle. Voyant que le sinus total de 90® (quart de cercle) est le plus souvent pris pour le premier terme des proportions auxquelles se réduisent les résolutions des triangles, il fit le logarithme du sinus total égal à zéro, et ses logarithmes croissaient, tandis que ses sinus diminuaient. Quant à ses logarithmes des nombres naturels, ils diffèrent de ceux de nos tables ordinaires : dans nos tables le logarithme de 10 est 1, ou 1.0000000, au lieu que ce logarithme est chez Neper 2.3025850. La Table de Neper, en donnant les logarithmes des tangentes sous le nom de différentielles ^ les fait positifs quand ils appartiennent à des tangentes d'arcs moindres que 45®; ils
1. Dans cet ouvrage, Neper appelle porisme une sorte de scholie général résumant les règles qu'il a données pour la résolution des triangles sphériques qui ont un angle droit ou côté égal à un quadrant (M. Chasles, Aperçu hiitorique, etc., p. 282).
sont négatifs, quand ils appartiennent à des arcs plus grands.
Notons que dans ce premier ouvrage Neper ne communiqua point la méthode de construction de ses logarithmes; mais il promettait de la faire connaître. Il s'en occupait, lorsqi^'il vint à mourir.
'Robert Neper remplit la promesse de son père dans un ouvrage posthume qui a pour titre : Mirifici logarithmorum canonis descriptio.... accesserunt opéra posthuma : Primo, Mirifici ipsius canonis constructio et logarithmorum ad ntiturales ipsorum numéros habitudines. Secundo, Ap~ pendix de alia, eaque prssstantiore logarithmorum specie. TertiOf Propositiones qxmdum eminentissimse ad triangula sphxrica mira facultate resolvenda (Édimb., 1619, in-4). On y trouve le développement de la méthode de construction employée par Neper. L'auteur propose aussi de faire, comme on le pratique dans le système usuel, le logarithme de 1 égal à 0, celui de 10 égal à 1, ou 1,0000000, celui de 100 à 2, ou 2,0000000, celui de 1000 à 3, ou 3,0000000, et ainsi de suite. Le logarithme du sinus total, qu'on suppose égal à Tunité suivie de dix zéros, devient ainsi 10,000,000,000. Tous les logarithmes des sinus, tangentes et sécantes se trouvent positifs; les logarithmes des fractions proprement dites ou moindres que l'unité sont seuls négatifs. « On n'a pas cependant, ajoute ici Montucla , rejeté tout à fait la forme des logarithmes de Neper pour les nombres naturels. Ils ont leur usage dans les géométries transcendantes ; car ils représentent les aires de l'hvperbole équilatère entre les asymptotes, Tunité étant la valeur du carré inscrit; c'est pourquoi'onles nomme hyperboliques. Ce n'est pas que les autres logarithmes ne représentent aussi des aires hyperboliques, mais elles appartiennent à des hyper]3oles entre des asymptotes obliques l'une {i l'autre. Or l'hyperbole équilatère ou à asymptotes perpendiculaires étant la
principale de toutes, elle a donné le nom à'hyperboUqties aux logarithmes de Neper^ 9 ît— Nous reviendrons plus loin sur l'analogie des logarithmes ^vec les aires hyperboliques.
Neper paraît avoir consigné ses premières idées sur les logarithmes dans un ouvrage fort curieux, publié également après sa mort, sous le titre de Rhabdologia^ seu nyrmeratio par virgulas (Édimb . , 1 6 2 7 , in- 1 f , iBt Leyde, 1 62Ô) . La rhabdologia était un moyen propre à faciliter la multi^ plication et la division des grands nombres. Ce moyen, différent de celui des logarithmes, consistait dans l'emploi de petites bague ties {rfuibdi)^ qui portaient neuf ca-r ses carrées, divisées chacune par une diagonale tirée de gauche à droite et de haut en bas. Dans ces cases sont successivement inscrits les neuf multiples du premier oj"dre que chaque baguette porte en tête, le chiffre des dizaines occupant la case triangulaire inférieure. Gela fait, il n'y a qu'à ranger ces baguettes les unes à côté des autres, de manière qu'elles portent eu tête le nombr^e à multiplier ; on trouve dans les rangs horizontaux chacun des produits partiels presque tout faits ^ on n'^^ donc qu'à les transcrire et les additionner, pour avoir le produit total. Cette invention, plus amusante qu'utile, a été expliquée fort au long dans le Cours de Uathèmatiques de Christian Wolf .
Henri Briggs (né en 1556, mort en 1630), professeur de mathématiques au collège de Crresham à Oxford, fut le premier à adopter les principes du calcul logarithmique. Il fit, en 1616, un voyage à Edimbourg pour conférer avec l'auteur même de cette invention, et il p^aît avoir suggéré à Neper l'idée d'employer le nombre 10, b^ase de notre système de numération, pomme base du système des logarithmes. Au re>t^, c'es^ Sriggs qui ejuit, i^)rè8 la
