CHAPITRE XII

Les précurseurs de la Mathématique moderne.

La rcnLiirisaiicc diis Miillii''rnatiqiicSi coiiime a-.We d(;s Lettres et des Arts, suivit à peu de distance l'invenliou de riiiiprimerie et la chute de l'empire byzantin. Les Grecs instruits fuient leur patrie envahie par les Turcs {i453], et se réliigîent en grand nombre en Italie, emportant avec eux les plus précieux manuscrits soustraits au pillage, L'Occident peut alors connaître dans leur pureté originale les écrits des grands mathématiciens de l'Antiquité défigurés par les copistes ou les traducteurs arahes. Deux contrées surtout vont se distinguer dans les Sciences. L'Italie, la terre classique des chefs-d'œuvre, s'enorgueillira de ses algébristes, et l'Allemagne portera la Trigonométrie et l'Astrononiie à un haut degré de perfection.

Au dé])ut de cette période nous rencontrons Jean Muller, plus connu sous le nom de REUiOMONTAîiiiS, auquel la Trigonométrie doit de remarquables pro^ grès. Né à Kônisberg en i436, il étudia à Vienne sous Georges Purbach, puis se mit à lire dans leur langue les savants les plus illustres de la Grèce ancienne. Il laissa même des traductions et des commentaires de l' Aimageste de Ptoléinée, des Sections coniques d'Apollonius, et (les Œuvres de Héron. Enfin et surtout, il composa son important ouvrage De trianguUs oiniiiinodis, publié seu-' lement à Nuremberg en i553, et où il résout bien des

LES fXSCURSEORS

■ctilie

t sphé

slions nouvelles de Trigonométrie que. Dans tous les calculs, il substitue les sinus aux xirdes, ainsi que les Hindous l'avaient fait avant lui; nais il n'eut sans douti* pas connaissance des travaux i'AI-Batant.

A l'aide de trois données quelconques il détermine les éléments d'un triangle qu'il résout au moyen d'équations du second degi'é. Du reste, dans son Algoritkmus deinonslralits, il (iiépara la voie à Viète en substituant les lettres aux nombres. Son oeuvre astronomique \it encore plus considérable ; mais nous ne saurions tarler iei de ses observations sur les comètes, ni de sa réforme du calendrier, exécutée sur les ordres du pape ^ixte IV.

Un autre de ses compatriotes, le cardinal Nicolas de , en s'attaquant au fameux problème de la quadratire du cercle trouva une nouvelle formule pour le oal- Kul du rayon d'une circonférence. A peu près vers la nénie époque, se place Jëa> Widman d'Eger qui dans son j-ithmétigue marchande imprimée à Leipzig en i48g, (employa, le premier peut-être, les signes -{-et — pour désigner l'addition et la soustraction. Cependant ces symboles ne lui servent pas dans les opération.s, mais marquent seulement l'excès ou la dill'érence. D'ailleurs, au sujet de l'origine de la plupart des notations mathématiques, nous nous rangeons à l'avis de M. Charles Henry. Elles ne sauraient être attribuées à « une création individuelle ». Elles ne sont que des « abréviations ne leurs significations verbales »', et reposent sur ^'expérience de nombreuses générations.

En Italie, la Science continuait son mouvement ascea-

lant. Au milieu du xv' siècle, naquit à Borgo-San-Sepol-

, Toscane, \\n ardent admirateur des Arabes,

s Paccioli. Frère luineur, il professa dans plusieurs

9< nlSTOJRE DES matbéiuatiqVes

collèges de son ordre, à Péroiise, à Rome, à Pîse, à Venise, et il termina ses jours à Florence.

Sa Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proporlionnlilei (i494}ila plus importante de ses publications, estconiposéede deux parties: la première roule sur l'Arithmétique et l'Algèbre, la seconde sur la Géométrie. Dans celle-là, il donrte les méthodes de résolution des équations pouvant se ramener au second degré. Le mot italien « cosa », traduction du mot latin " res a, la chose, lui sert à désigner l'inconnue, qu'il représente parfois par K ou iij. 11 nomme son carré « census « ou « il censo », et l'indique quelquefois par z; de même soa cube « cuba a est figuré par c. Ce n'est cependant pas encore l'Algèbre moderne : les quantités connues n'étaient pas remplacées par des" lettres, les questions à résoudre étaient toujours numériques, et dans les formules il ne se servait, comme signes, que d'abréviations de mots. Ex. p pour plus (addition) ; œ pour œqualis (égalilé). Comme il considérait seulenienlles racines positives, il n'employait pas de sjTnbole pour la soustraction. Enfin il ramenait toutes les équations du second degré à trois cas, et il formulait en vers latins le procédé pour résoudre chacun d'eux '.

Son ami Leonaho he Vinci, qui occupe une si grande place dans l'Histoire de l'Art, cultiva également avec succès laMécanique et l'Hydrostatique. Parmi ses plus curieuses inventions, figure le tour à ovale dont le principe était neuf. Jusqu'alors on n'avait tracé les courbes qu'à l'aide d'une pointe mobile le long d'un plan fixe. L'illustre artiste opéra d'une façon inverse. Il avait donc à se poser un problème d'un genre nouveau : quel

(i) Voici, à litre do curiusilë, lu règle du premiec cas ;

Dimidio Bumpto, censum producere debcs Addereque nuiuero, cujue a rudice lolius Toile semis rormn, censu» lalusque redibit.

EOLSE IJall. .J shurt aceouat of Ihc Uisl^iy of MalUcmatic!. LoudreE, 1888.

LES PRECVBSEV

mouvement faut-il donner au plan pour décrire de la sorte une ellipse, et panni l'infinité de solutions répondant à la question choisir la plus simple ? Il y réussit entièrement en faisant mouvoir le plan d'un angle de grandeur constanle, dont les deux côtés glissent sur deux points fixes. D'aulre part, on lui attribue aussi la déterniiaation du centre de gravité de la pyramide.

Mais c'est surtout au xvi' siècle que commence la belle phase de l'Histoire des Mathématiques italiennes. Les recherches de ces savants peuvent se ranger sous ideux catégories. Les uns étudient et complètent les travaux de l'Antiquité, tandis que les autres, novateurs hardis, s'attaquent à l'Algèbre.

A la lêle des premiers brille François Maurolycus, « le seul véritable géomètre qu'ait eu la Sicile depuis Archimède d ', Il professa longtemps dans sa ville natale et composa un nombre prodigieux d'ouvrages ; mais de son vivant il ne publia qu'une Cosmographie {i54o). D'ailleurs la plupart de ses écrits consistaient en traductions d'auteurs grecs, et sont aujourd'hui perdus. Heureusement ses recherches originales nous ont été conservées dans ses Opuscules mathématiques publiés quelques jours après sa mort (iSyj). Sa théorie arithmétique renferme de curieux aperçus sur les propriétés des nombres polygonaux beaucoup plus complètement étudiés que chez Diophante. Il envisage plusieurs séries nouvelles des nombres composés de deux ou trois facteurs dont il détermine le ternie général et la somme. En Géométrie, les sections coniques l'attirèrent et il sut déduire de leurs propriétés d'utiles applications à la théorie des nombres. Les propositions qu'il découvrit lui permirent d'établir la Gnomonique sur de nouvelles bases. Eu Mécanique il s'attaqua à la recherche du centre de gravité du cône et du paraboloïde de révolution, mais

(i) LlBBI. UUtuire Jei Sciences Hatkemalùji.es en

HISTOIRE DES.MATUÉMATIQCES

comme il conservait ses Iravaux dans ses cartons, son émule Commandin le devança.

Enlin la pénéli-ation de son esprit se dévoile par son explication de l'arc-en-ciel, de la vision, de la marche des rayons lumineux lénétliis ou réfractés et de divers autres phénomènes optiques,

Parmi ses compatriotes, Jean-Baptisti; Bkkeiietti de Venise, dans sa Hésolution de lotis les problèmes d'Euclide avec une seule ouveiiure de compas (i5!j3) et dans ses Spécitlalions mathématiques et physiques (i585) énonça bien des vérités scientiliqiies. Citons seulement ses découvertes mécaniques, llexpliqua l'action de plusieurs machines, les efl'ists de la force centrifuge et l'équilibre du levier ; il ramena la recherche du mouvement d'un corps à la détermination de celui de son centre de gravité. Polémiste dans l'âme, il excella dans les luttes mathématiques qui passionnèrent son temps, et souvent il fut dans le oanip de la vérité. Parmi ses adversaires, qu'il combattit d'ailleurs à armes courtoises, se trouvait le Portugais Penno Alnez qui, depuis i544 jusqu'à sa mort, professa les mathématiques à TUniversité de Coïnibre, et dont le nom est resté attaché à la loxodromie ou courbe rencontrant tous les méridiens d'une sphère sous un angle constant. Cette ligne était importante à considérer dans l'ancienne navigation à voile, puisque c'était celle suivie par un navire dirigé constamment sur le luônie rhuuib de vent. Elle n'a plus maintenant qu'un intérêt rétrospectif, car dans la marine à vapeur moderne on la délaisse, les vaisseaux suivant maintenant la ligne géodésique.

Ce savant détermina encore dans son De crepusculis (1542) le jour de l'année oii la durée du crépuscule est minimum, et il eut aussi maille à partir avec Oronce Fine à propos de certains paralogisuies algébriques.

Nous avons indiqué plus haut que plusieurs algébristes italiens en s'attaquant à la Science des Arabes lui firent faire de mémorables progrès. Justifions cette

lES PRÉCCSSEURS

sserlion. Avant eux, on n'avait su résoudre que difféentes équations déterminées des deux premiers degrés racines positives. Us découvrirent le calcul des imagilaires, et parvinrent jusqu'à la solution des équations fénérales du troisième et du quatrième degré. Seul obstacle qui devait plus tard résister au génie de jagrange les empêcha d"al!er plus loin.

Ces nouvelles méthodes seraient dues principalement

I SciPioci Fehro, mais ne les ayant pas publiées, elles

ent avec lui '. Celles de NicoLO T.vrtaglia nous

•ont mieux connues. A la suite d'un défi, il résolut en

luelques heures les problèmes proposés par Fiore à qui

}les avaient été communiquées trente ans auparavant

■ Ferro lui-même. On engagea des parîs, on s'en-

foya des cartels, bref tout le monde s'intéressa à

joutes scientifiques, comme autrefois les luttes des

Hhlètes dans l'arène ou les tournois poétiques passion-

laient les habitants d'Athènes, Ces difTérentes questions

ie ramenaient du reste à une équation particulière du

boisiêine degré.

Mais son Traité des nombres el mesures est son principal ouvrage. Dans cette espèce de cours complet de Mathématiques on rencontre, entre autres nouveautés, ïe développement du binôme dans le cas de l'exposant entier et positif, de curieux problèmes sur les maxima lïnima de fonctions algébriques et plusieurs simplifications relatives au calcul des radicaux.

Dans sa Science nouvelle (i55o) il a obtenu ce principe de balistique : pour atteindre l'efTet maximum faut tirer sous l'angle de iS". Enfin il essayait lans ce li^Te d'édifier la Mécanique sur des bases plus

(l) Voici ce (jn'êcrit ù ce propos Libbi, loc. cit.. p. lii) ; ■ Cel ^i ralgêbrc duil un si nolable progrèi fut Scipion Ferrv de Boli brorcMu dana cette ville depuis 1J96 juaqa'ea i3s5. Ayant résola ^D <]n*on désignait alors pur le oom de eubf et cAoïei rgalct aax ~ jnourtit Bans pubISvr sn déconrerlc ; mais il ayait 4M>n&ê la fi Antoine Fiore. qui ï"en »er\il pour proposer de» problèmes â différcoti «s. et entre antres, en lîii, i Tartaglia. •

BotKB. Hisl. des Malb. 3

f|S HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES \

rationnelles, et s'il n'y réussit pas t'omplèlement, il s'est rendu compte, d'une façon très exacte, des principes qui régissaient la oluite des corps, Galilée devait Ie"S , découvrir seulement un siècle plus tard. D'autre part, 1 dans le cinquième livre de ses Questions et niventiotis \ iiouveile.i, mises au jour la même année, il traita de Tar- ] pentage etdu levé des plans. Son activité s'exerça donc 1 dans bien des domaines scientiliques. I

Son rival fut Jéhome Cardan qui, né à Pavle le ^4 septembre i5oi, cultiva également l'Algèbre avec succès. En difl'érentes circonstances, il pria Tartaglia de lui enseigner son procédé de résolution des équations du troisième degré. Après avoir essuyé plusieurs refus, il eut gain de cause, celui-ci eu la faiblesse de lui expliquer, dans une pièce de vers, sa découverte et Cardon, I malgré les promesses les plus, formelles relativement j au secret, l'inséra dans son Ars magna (i545) avecl'ex- I tension due à son élève Ferrari, qui était arrivé à résou- j dre l'équation du quatrième degré. Quoique sa conduite -dans ce cas fût plutôt blâmable cet ouvrage rendit, on ne peut s'empêcher de le constater, de grands services à la Science,

Il y donnait un moyen pour la résolution approchée | (les équations. La base de la méthode est le changement de signe qui se produit par la substitution succès- | sive à la place de l'inconnue de deux nombres entre lesquels se trouve comprise une racine. En outre, il j a découvert, entre autres relations qui lient les racines -^ aux coefficients, les deux théorèmes suivants : ]

Toute équation du troisième degré est divisible par \ l'inconnue diminuée de la racine.

Le coefficient du second terme est égal à la somme des racines changée de signe, |

Le premier il distingua les racines négatives etposi- 1 tives. Enlin il a amorcé bien des points de la théorie 1 générale des équations, et il a ébauché le calcul des , imaginaires.

LES PSÉCCRSEVRS gg

Son traitô De subtililate est itne encyclopédie four-

, millant d'idées irigénifuises, d'inventions ou d'appareils

^■ intéressants, mais dont là plupart sortent de notre cadre.

Quelques-unes des curieuses opinions qu'il y émet se

I rattachent cependant à la philosophie mathématique.

Parmi ses élèves, mentionnons Louis Ferrari, qui

' dans sa trop courte carrière, terminée en i565, donna

la solution générale des équations du quatrième degré

à laquelle nous avons t'ait allusion ci-dessus, et Raphaël

BoMBELLi dont le Traité d'algèbre (iSja) clôt dignement

I la série des ouvrages de l'illustre école italienne du

tsvi' siècle. On y rencontre très logiquement disposées

T,les découvertes de ses prédécesseurs immédiats accom-

1, pagnéeg de commentaires intéressants, de simpliGcations

J inattendues et de vues souvent très personnelles. Enfin

(c'est là que se trouve annoncé d'une façon générale la

l réalité des trois racines d'une équation du troisième

f degré, quand elles se présentent toutes trois sous la

f forme imaginaire.

Pendant que l'Algèbre atteignait un si haut degré de [perfection en Italie, les autres contrées de l'Europe étaient I assez pauvres en mathématiciens.

Adhibn Romain, qui professa longtemps les mathémaf tiques àLouvain, déterhiinait dans sa Melkodus polygon (iSgo) la valeur de 7t avec i5 décimales ; le Hol- I landais van Golkn dans son De Circula la calculait à jusqu'à la trentième décimale. Metius professeur à iFrancker, s'appliquait à une détermination encore plus [exacte.

En outre, son Canon triangulorum a une certaine F valeur, car il essaye de ramener à six cas généraux les I divers problèmes de Trigonométrie sphérique , On I regarde aussi un savant allemand de ce temps, Praeto- |biu3 , comme inventeur d'un instrument géodésique périme ttant de prendre des angles visuels. Quant à la France, f elle semble se recueillir, avant d'enl'anter le grand Viète. isonsdoncvilesurBuTÉONqui, danssaZ,og-tsi!ica(i55g),

lOO HISTOIRE DES MATUÉStATIQL'ES

imita l'exemple de Stifel en repiV-si^ntant dans los équations algébriques les inconnues par des lettres. Son élève Ohonce Fine, un des plus fameux quadrateurs du cercle, s'acquit une grande réputation auprès de ses contemporains, mais aucun de ses écrits ne renferme d'inventions originales. Pierre La R\mée l'ut le premier prol'esseur de mathématiques au Collège de France. Ses Cours de Géométrie, d'Arithmétique et d'Algèbre eurent assez de vogue. Il périt malheureusement dans le massacre de la Saint-Barthélémy. Maïs assez de ces travailleurs de second plan. Avant toutefois d'arriver au grand Maîlre, constatons que le xvi° siècle ne fut pas uniqueinenteonsarré aux arts. A côté des Michel-Ange et des Raphaël nous avons les Tartaglia et les Cardan. Si les immortels chefs-d'œuvre des premiers sont restés sans rivaux tandis que les découvertes des seconds furent rapidement dépassées parcelles des Vièle, des Descartes ou des ?iewlon, cela tient surtout à l'essence même de leurs recherches. L'esthétique a des limites dans la perfection, la Science n'en connaît point. Le Lou\Te peut à peine soutenir la comparaison avec le Parlhénon, tandis qu'un parallèle entre Archimède et Pascal n'a pas de sens, celui-ci disposant de moyens que colui-là m-, pouvait même pas soupçonner.