CHAPITRE XIII

Invention de l'Algèbre moderne par Viëte, et découverte

des logarithmes par Napier.

Avec François Viète, sieur de la Bigotière, s'ouvre une ère nouvelle pour la Mathématique : l'Algèbre moderne s'édifie. Ses successeurs perfectionneront son œuvre, il est vrai. Ils remplaceront ses notations qui, nous allons le voir, sont parfois assez compliquées, par des symboles plus élégants ou plus généraux, mais les fondements de ses géniales méthodes resteront; et si notre siècle l'a quelque peu oublié, ses contemporains surent admirer ce M géant de la plus haute stature », qui, dans la marche du progrès, comme* le dit avec raison de Billy, semble dominer tous les autres par ses vastes conceptions.

Né à Fontenay-le-Comte, en i54o, cet illustre algébriste fut d'abord avocat au barreau de sa ville natale, et obtint par la suite une charge de conseiller au Parlement de Bretagne (loy^)* Puis devenu maître des requêtes sous Henri III, disgracié ensuite quelque temps, il rentra dans les bonnes grâces royales en 1089, et fut enfin appelé par Henri IV au Conseil privé, fonction que sa mauvaise constitution lui fit résigner en décembre 1602. Mais les douceurs de la retraite n'étaient point faites pour lui. Il mourut peu après, le 26 février i6o3. Du moins il laissait une œuvre qui, elle, ne devait point périr.

En vue de remplacer l'Almageste de Ptolémée dont sa «agacité lui avait démontré l'insuffisance, il projeta son

aiSTOIHE DES MATBEKÀTlqVBS Uarmoniciim cœleste, malheureusement égaré aujourd'hui. Pour venir à bout de cette entreprise il fallail avant tout rélbrmer la Trigonométrie, construire des fables plus étendues que celles alors en usage, donner aux astronomes des règles commodes pour la résolution dos triangles, et leur apprendre à se servir des tangentes et des sécantes que Rhéticus venait d'imaginer. La lecture de son Canon mathenialicus (iSjg) montre quels services il a rendus à la science dans cette voie. C'est iin recueil de tables trigonomélriques où pour la première fois on voit en regard de l'angle correspondant la valeur des sinus, tangentes, sécantes, cosinus, cotangentes et cosécantes, calculée de minute en minute pour un rayon égal à looooo. Le Liber inspectioiium lui fait suite. 11 renferme les formules pour la résolution des triangles plans et sphériques, ainsi que de nombreux résultats numériques.

Pour confectionner ces ouvrages, Viète laisse de côté les laborieux procédés des Grecs, ou ceux plus perfectionnés des Arabes. Il ramène la recherche du sinus fondamental de une minute à celle de la longueur de la circonférence par la méthode des i)isscctions successives d'Archimède qu'il rajeunit. En affranchissant la Trigonométrie de ses énoncés prolixes, il présente sous foçme de tableaux les éléments connus et inconnus d'un triangle, et constitue de la sorte les formules générales, expéditives, dont nous noiis servons jourr nellement. Toutefois c'est principalement la Trigonométrie sphérique qui a bénéficié de ses travaux. Al Batani avait découvert la relation permettant de trouver les angles A, B, G d'un triangle sphérique lorsqu'on connaît les trois côtés, Viète fit de cette expression le point de départ de féconds développements. Il trouva les diverses formules de résolution sans passer par la décomposition en deux triangles rectangles. D'autre part, il se servit le premier des propriétés du triangle sphérique polaire ou sujiplémen-

taire dans les calculs où (x-la poiil avoir quelque intérêt.

Le savant mathématicien donna encore dans son Traité des sections angulaires d'aiitri's Tormules trigonométriques non moins inaportantes. Il exprime Sin ii.t; Cos n.r et Tg nj^ en l'onction de Sin .r, Cos .r et Tg ./■, en déterminant les coefficients par des additions successives des nombres figurés de différents ordres. Il parvient d'une façon analogue à l'écpiation générale de la corde de l'arc simple en fonction de la corde de l'arc multiple. Mais arrêtons là celte analyse écourtée de ses premiers travaux, car il nous reste à aborder la plus belle partie de son œuvre et à montrer qu'après avoir renouvelé la Trigonométrie des Anciens, il a su créer

le science nouvelle.

Au xii" siècle, Léonard de Pîse enseigna à l'Europe les rudiments de l'algèbre. Il s'était inspiré lui-même des travaux arabes, et n'allait pas au delà des équations du second degré. En outre, les méthodes usitées pour obtenir la valeur de l'inconnue étaient basées sur des considérations presque exclusivement géométriques. Les quantités étaient représentées par des lignes droites, les données étaient toujours des nombres, et dans les calculs l'inconnue seule était désignée par un symbole. Tel était l'état de l'Algèbre au moment oii Viète en aborda l'étude. Il commença d'abord par remplacer les connues comme les inconnues, par des lettres capitales. Les premières sont représentées par les voyelles A, E, 1, O, V, Y; les secondes par des consonnes B, G, D, F..., les puissances de l'inconnue par la même lettre avec un des indices g, c (abréviations de quadratuni et de ctibus) combinés par addition des exposants. Mais afin de conserver dans les équations le principe de l'homogénéité, il indique les données par signe de leurs dimensions formé des alirévîations des mots planuni et soliduin el de leurs combinaisons.

Il se sert de + et — pour l'addition et la soustrac-

3n. Pour la multiplicalion, il l'iiiploii; la particule in.

io6 HISTOIRE DES MATIIKM ATIQIES

pour la division il sépare le dividende du diviseur au moyen d'une barre liorizonlale, et [lour'les racines 11 fait usage des lettres l ou k.

Remarquons que quand il ignore la grandeur du ternie à soustraire il le noie par = {minus incertum). Cette diï^tiactLon parait oiseuse aujourd'hui, mais s'explique du temps de Vièle. Si son Algèbre comprend, en effet, toute la science des équations, elle repose seulement sur la considération des racines positives, et à l'exemple des anciens algéhristes il rejette les quantités négatives et imaginaires. Enfin eomme l'homogénéité disparait dans les applications, il représente alors Tinconnue et ses puissantes par leurs indices.

Empruntons d'ailleurs à un mémoire <ie Ritter' le tableau résumant sa iiouienrialui-e- :

Cah,„

Qu«d.

Quarlra-

QaaJ.

cabus

Cuftot-

Théorie générale. .

modernes.