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[l) K. RlTTEK. FraafoU ViHe daprèa ilca jMaments non^eBHJ dans la Seoue geaèrale des nciem-rs. t. IV. Paria. 1893. Voy. nusaî deux autres raé-
françahr pour Tavancemenl des scUace». C'ingrH de Pau. 189J.
(a) Ainsi <liiria In nolnlinn de Victc l'.-qiialion liltêrole j" + nj-" — *j; = rf
L'AIGEBBE UODEBNE comme Viètc nomme son algèbre, coinpnind les quatre opérations aritluntitiques appliquées aux polynômes, les règles générales pour réduire les équations à la l'orme, canonique, ou, en d'autres ternies, pour les transformer de façon que les diverses puissances de l'inconnue se trouvent dans le premier membre, ordonnées selon l'ordre croissant ou décroissant, que la puissance la plus élevée ail pour coefficient l'unité, que les quantités connues soient dans le second membre, et que ce dernier soit positif. Puis il résout à l'aide de ces principes une série <le problèmes déterminés et indéterminés du premier et du second degré. Après viennent d'élégants procédés pour la résolution numérique des équations. Enfin il expose magistralement leur théorie générale. Là se reconnaît véritablement la griffe du lion. Ce n'est plus une ébauche de la Science, l'Algèbre s'élève tout à coup à une hauteur inespérée. On y trouve les méthodes usitées encore aujourd'hui, les relations entre les racines positives et les coefficients des équations du seeond et du troisième degré, parfois même d'un degré quelconque, les formules générales pour résoudre les équations du troisième el du quatrième degré, etc.
L'œuvre de Viéte fut donc des plus fécontles. On ne peut le cojuparer pour son génie d'invention qu'à Newton, et si, comme il le dit modestement dans une de ses lettres, il n'était pas un « mathématicien de profession H, il sut néanmoins, en « l'aisant des mathématiques ses plus chères études », s'y placer au tout premier rang.
A la mêirie époque, Simon Stevik, né à Brugesen i548, cultiva avec succès bien des branches de la science, el sut se distinguer dans chacune d'elles. Dans La Disme [i585) se trouve déirît pour la première fois le traitement méthodique des fractions décimales, et il montre.
HISTOIRE DES MATnÈMÀTIQCES
les avantages d'un système tlécimal de poids et mesures, devançant de plus de deux siècles la division réalisée en France sous la Révolution seulement. Sa notation est toutefois un peu encombrante car il remplace la virgule par un zéro et il écrit par exemple le nombre 5.678 de la sorte : 5 [o] 6 [ 1 ] 7 [3] 8 [3].
Ce sont probablement ces symboles qui le conduisirent h imaginer la représentation des diverses puissances par des exposants numériques entiers et fractionnaires. Il les plaçait d'une façon à peu près analogue M la nôtre. Ainsi il écrivait iî,r^ +4-1^ + 3 de t-eltc manière : 4 [2] + 3 [ ' J + 5 [o j.
Dans sa Pratique géométrique on rencontre plusieurs propositions ou constructions originales, telles la génération de l'ellipse à Taide d'un cercle dont on fait varier dans un rapport constant toutes les ordonnées. Cependant ce sont ses Principes de statique et (Fhydrostatique qui ont surtout fondé sa réputation.
Depuis les mathématiciens de l'école d'Alexandrie jusqu'à la fin du xvi" siècle, la Mécanique demeura slationnaire. En 1577 seulement l'Italien Gnno Ubalhi perfectionna un peu les lois dç l'équilibre des corps solides, en introduisant la considération des moments dans la théorie des machines simples. Maïs il était réservé à Stevin d'apercevoir la possibilité de représenter les forces par des lignes droites, et de ramener alors les propositions de mécanique à de simples théorèmes géométriques. En parli(;ulier il a enseigné la règle du paratléiogramme des forces, base de la Statique moderne. On atliiliiie souvent cette découverte à Varigiion, ce savant l'ayant énoncée sous la forme qu'on lui donne aujourd'hui ; mais il l'a déduite comme conséquence du théorème formulé par le savant brugeois,
Stevin a résolu aussi un problème longtemps agité parmi ses prédécesseurs : le rapport de la puissance au poids sur un plan incliné. Il y parvint en imaginant un chapelet composé de douze sphères également distantes
el disposées sur un support triangulaire. Appliquant ces lois à l'équilibre des liquides, il démontra le paradoxe hydrostatique : un fluide peut exercer sur le fond du vase qui le contient, une pression bien supérieure â son poids, principe dont on fait honneur à Paseal. En outre, Stevin était un ingénieur fort distingué. Ses travaux de fortifications militaires l'avaient surtout rendu très populaire parmi ses compatriotes. Quelques-unes de ses méthodes de travaux hydrauliques sont même encore suivies par les entrepreneurs modernes.
L'emploi des chiffres arabes et des fractions décimales avait beaucoup simpli4ié les procédés de calcul. A la suite de Stevin, Joost Biirgi ou Byrge, mathémati-, cien suisse, et Jean Hartmann Beyer, géomètre allemand qui publia en i6o3 une Logisiica Deciinalis, utilisèrent ses méthodes.
De son côté l'Angleterre, avec Thomas II.^nniOT, contribuait honorablement aux progrès de l'-Xlgèbre. Ce savant perfectionna l'œuvre de Viète, et dans sou Artis analytiae praxis (i<î3i), il donna une exposition systématique des préceptes <[u'il avait inventés ou simplifiés. Ses découvertes sont intéressantes. Ainsi il eut l'idée de faire passer dans un seul membre tous les termes d'une équation; il montra que toutes les équations d'ordres élevés sont des produits d'équation plu^ simples ; il se servit des signes > et < pour désigner qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre ; il écrivit a^ pour aa, a^ pour aaa, etc. Dans un autre ordre d'idées, ayant accompagné Walter Raleigh dans son exploration américaine, il leva d'une façon aussi exacte que possible pour l'époque, la carte de la Virginie et de la Caroline du Nord. C'est une des premières opérations géodésiques e.véculées d'une manière scientifique.
Mai.s il était réservé ii son illustre compatriote JouN Nai'ieh, baron de Mercliiston, d'apporter à la pratique niathémalique un de ses plus féconds instruments ; les
logarithmes. Comme pour Viète, la science n'était qu'un passe-temps poni" ce noble anglais, occupe à gérer ses propriétés, a étudier la théologie et à batailler dans les luttes acharnées que les puritains d'Ecosse soutenaient contre la royauté.
Les décoiiverti^s astronomiques de Copernic et de Tycho-Brahé avaient dirigé l'attention des calculateurs vers les moyens d'abréger les opérations trigonométriques, vu la grandeur des nombres qui entraient dans les formules. Quelques auteurs avaient donc orienté leurs recherches de ce côté, Wekner, de Nuremberg, imagina, en i5aa,la « prostaphérèse », destinée à remplacer les multiplications et les divisions rencontrées dans la Trigonométrie sphérique par des additions ou des soustractions. Tycho-Brahé parait s'être servi d'une méthode analogue dans les calculs de V Astronomia iiistaurata. Puis Michel Stifel, en comparant les progressions géométriques et arithmétiques, constata la relation fondamentale de la théorie des logarithmes; mais il ne sut pas en déduire les conséquences que Napier allait en tirer.
Le mathématicien écossais décrivît sa découverte dans sa Logarilhmoruni canonis descriptio (i6i4), mais sans exposer les moyens qu'il avait employés pour y parvenir. Il devait, dit-il dans sa préface, les indiquer ultérieurement. La mort vînt empêcher la réalisation de cette promesse. Heureusement son fils nous les a dévoilés, en publiant quatre ans plus tard le manuscrit inachevé de son père, intitulé : Miiifici logarithmorum canonis descriptio K
Son procédé, fort ingénieux d'ailleurs, n'indique pas une connaissance des Mathématiques aussi profonde qu'on le croirait. Il n'avait certes pas entrevu, comme
(r) Cot ouvrage fui imprimé k Lyon, en ]6io, chei Barlhéleray Vincent. Il élait devenu presque inlrouvoble quand l'éditeur Uermann, de Paris, l'a réimprimé «n 189:1. Cetle édition est ua fac-s'iniilé pn^^c pour page de l'éditÏDD rorigfinale du xvii< siècle.
plusieurs bistorieas se sont plu h lerépéler', les analogies entre ses logarithmes et les aires de Ihyperbole équilalère eomprîses enlre cette courbe et ses asymptotes.
Xapier formait sa progression géométrique de ta façon suivante- Chaque terme égalait le précédent diminué de sa n' partie, et une simple soustraction permettait de le trouver. Donc à mesure que le nombre devenait plus grand, son logarithme décroissait. Du reste, ce livre ayant pour principal objectif de venir en aide aux calculateurs qui résolvaient des triangles, on n'y rencontre que les logarithmes des sinus de minute en minute de o à 90", et comme le sinus du quart de cercle forme souvent le premier terme des proportions auxquelles conduisent la résolution des triangles, il égale à zéro le logarithme du sinus total. En outre, pour établir sa table, il se basait sur ce théorème : Log, sin A est compris enlre ( I — sin A) et (cosec .\ — 1). Pour calculer alors cette valeur il lui sufQsait de prendre la moyenne géométrique entre ces deux limites. Enlin il n'a aucune idée de ce que nous appelons aujourd'hui
base » dun système de logarithme. Sa découverte
en constituait pas moins une des plus grandes acquisitions de la Science au xvii" siècle.
Le grand astronome Kepler, en publiant sa Ckilias Logarithmorum (1622!, fil beaucoup pour la propagation en Alleniagnp de la doctrine népérienne'.
(i) M. NapIeB. ilemuin -f Juha Kapier of MerMilon. Edimbourg. i8 (a) Sun (Tuvre ualronoinjque est de beuuooup lu plas iuiporluntc. Moi
*ort de notre cadre. Rappelons ses fameuses lois reUlives aux iiiouvdii
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4«DContredanason Barnioaici niandî{iOn Il poly^nes étoiles. Enfin dons ga Steri
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HISTOIRE DES HtATHÈitATIQLES
Bpnjamin Ursinus et son gendre Barlsrh le spcondorenl. Un professeur du Greshani's Collège d'OxI'ord, IIkmiy lïiiiGr.s, ni> tarda pas à se rendre compte de tout le parti qu'on pouvait tirer de crrtlc invention. 11 fit niènie un voyage pour conférer avec Xapier à ce sujet (r6i4)î et probablemeTit lui suggéra le choix de ïo comme base. Quoi qu'il en soit, Brîggs puMia en 1618 sa Logavilhmoium Chilias prima où cet important perfection ncnu; ni était applî(|ué pour hi iireinîère fois aux nombres de 1 à 1 000 avec i4 décimales. Six ans plus tard, dans son Arithmelica logarithmica, il compléta cet essai en donnant les logarithmes de 1 à soooo et de 90 000 à 100 000.
Plusieurs autres mathématiciens suivirent encore l'impulsion donnée. Ed. Gunther, le collègue de Briggs, avait mis, dès 1620, son ^véciew^s. Canon of triangles enir^. les main<4 de tous les calculateurs. Cavalieri, dans son Direclorium universale uranoinelricuin, révéla à l'Italie ces principes. Le mathématicien français Henrion publia, en 1626, un excellent Traité des logarithmes, et peu après le géomètre hollandais Adrien Ylacq comblait la lacune des tables précédentes. Dès lors, les logarithmes avaient droit de cité dans tout l'univers ciWlisé. Les astronomes étaient en possession de merveilleux instruments : Napier venait de leur donner les logarithmes jiour abréger leur calcul, et Galilée, en les dotant du télescope, agrandissait démesurément leur champ d'observation.
La Géométrie de Descartes (1637). — Les travaux de Fermât et de Faacal.
Pendant le; xvi" siècle et les premières années du xvii' nous avons vu se dessiner une renaissance des Sciences. Les physiciens et les astronomes durent faire appel aux mathématiciens pour mettre en œuvre les riches matériaux qu'ils avaient accumulés grâce aux perfectionnements apportés aux procédés d'observation. Ce mouvement va s'accentuer encore dans la période que nous allons étudier. Descartes, en inventant la Géométrie analytique, Leibniz et \ewlon en découvrant le Calcul infinitésimal, ouvriront aux savants des horizons insoupçonnés. Fermât ira n plus loin que ses successeurs » dans ses recherches sur les nombres, et Pascal créera le calcul des probabilités. Quelle admirable succession de découvertes !
La conception de Descaiites renouvela la Géométrie. Elle fournit aux niathématiciens des méthodes générales qui jusqu'ici leur avaient manqué et dont le défaut avait souvent frappé de stérilité leurs plus louables efforts. Cette idée fut en quelque sorte la préface nécessaire aux célèbres inventions newloniennes.
Quelques lignes de biographie tout d'abord.
René Descartes, seigneur du Perron, naquit à La -Haye, petite ville située sur la rive droite de la Creuse, le 3i mars i596. Après des études brillantes au collège
UISTOIRE DES .VATIIÉMAriQVES
de La Flèche tenu alors par les Jésuites, il emlirassa la carrière des armes, sans grand goût d'ailleurs, puisqu'il dil en propres tenues dans une de ses lettres qu'il a de' la peine à la ranger parmi les professions honorables, « voyant que l'oisivpté et le libertinage sont les deux principaux motifs qui y portent aujourd'hui la plupart des hommes ». II s'engagea d'abord dans les troupes du prince Maurice de Nassau, et deux années de paix lui permirent d'entrer en relations avec plusieurs mathématiciens hollandais. Puis, quittant le service des princes d'Orange (1619), il servit dans les troupes du iluc de Bavière. C'était à vrai dire un singulier soldat : l'anecdote suivante est là pour l'attester. Rencontrant à Ulm le professeur Jean Faulhaber, il résolut plusieurs problèmes que cehii-ci lui proposa, et charmé de sa compagnie il songea seulement plusieurs mois après à rejoindre son corps. Ensuite il se rendit en Bohème et arriva à Prague juste à temps pour participer à la, célèbre bataille qui s'y livra It 7 novembre 1620. Enfin il passa en Hongrie l'année suivante, et abandonna une première fois l'uniforme pour visiter en touriste la Silésie, la Pologne et les côtes de la Baltique.
Descartes revint en France au début de 162a. Après une nouvelle fugue en Suisse et en Italie, la capit^e l'attira encore. Il y séjourna en i6a6 et 1627, fréquentant des savants comme Desargues, de Beaune, Mydorge ou son ancien condisciple le P. Mersenne, des littérateurs et des magistrats tels que Balzac et Hardi, Mais brusquement il s'arracha à cette vie intellectuelle pour aller guerroyer au siège de La Rochelle, Cette ville tombée aux mains de Richelieu, notre héros retourna à Paris pour régler quelques affaires, et alla se fixer définitivement en Hollande {1629), seul pays où régnait alors la liberté. Il allait y trouver, durant vingt ans, le calme nécessaire aux spéculations scientifiques. C'est à Amsterdam d'abord puis dans un petit castel près de Kraneker et surtout à Eguiond-dc-Bineau qu'il composa
presque tous ses ouvraj^es. Enfin, pour terminer île suite c.o qui est relatif à sa vie', disons <|iie la reine Christine l'attira en Suède (1649). " >' '"^ reçu magnifiquement, et logé à l'ambassade t'raniaise de Stockholm. Mais sa santé débile ne put supporter les rigueurs du climat. 11 succomba à unt^ fluxion de poitrine , le II février i65o.
Laissant de côté son œuvre philosophique, le principal écrit de Descartes est sa Géométrie (1637), où sif trouvent consignées ses immortels travaux. Le géomètre tourangeau esquisse à ses successeurs la voie à suivre. Il n'a pas voulu composer \\a traité didactique à leur usage, mais leur tracer simplement le cadre qu'ils auraient à remplir.
Les courbes, découvertes par les Grecs au fui- et ii mesure des besoins, n'étaient reliées entre elles par aucune relation. Descartes sentit la nécessité d'apporter quelque ordre dans ce domaine. 11 fallait d'abord arriver à définir ces tigures, ou en d'autres termes poser les règles permettant de les construire. Tout se ramenait, somme toute, à fixer d'une manière précise la position d'un point dans un plan. Or celle-ci ne dépend que de deux éléments, ses v coordonnées ». Donc la définition d'une courbe, autrement dit son équation, n'est pas autre chose que la relation entre les coordonnées de ses points. 11 est facile alors d'établir des formules générales s'appUquant ensuite aux cas particuliers.
Après avoir exposé l'idée dirccirice de la Géomélrii;, passons à son examen.
L'auteur commence d'abord par établir les bases de son système de coordonnées (rectilignes). Il montre que dans un plan, un point M est entièrement défini par ses distances MP et .MQ à deux droites fixes j'o.r',
yoy' qui se (loiipcnt. Maintenant, si on trare une courbe quelconque sur un plan et quo l'on considère les coordonnées de chaque point de cette ligne, à toute valeur de X correspondront une ou plusieurs valeiu's de y, celle-ci sera donc l'onction de x et la relation y = f {.r) caractérisant les divers points du Heu géométrique sera son équation. Descartes était parvenu à traduire en relations numériques des propriétés géométriques. Ensuite, il divise les courbes en deux catégories : les premières ou a géométriques h peuvent s'engendrer par l'intersection de deux lignes se mouvant chacune parallèlement à un des axes de coordonnées aveu des vitesses ^, , conimensurables (conchoïde,
,,/ J M cissoïde, par exemple); les ae-
r j condes ou « mécaijiques «, dont
le rapport des mouvements quî les engendrent est inconnu (spirale, quadratioe, cycloïde, etc.).
Il iw, s'occupe que de celles-là, bniz modifier sa classili-
et nous verrons plus lai cation.
Descartes s'attache aussi dans sa Géométrie à fournir une règle générale du problème des tangentes. Puis, dans la dernière partie, consacrée exclusivement à l'Algèbre, il introduit l'usage des premières lettres de l'alphabet pour désigner les quantités connues, et celles de la fin pour représenter les inconnues. Il emploie les exposants tels que nous le faisons aujourd'hui, il simplifie la théorie de la transi'ormation des équations données par Viète et il s'occupe de trouver les racines commensurables. Ensuite il aborde les équations du 3° et du 4° degré. Fournissant les règles nécessaires à leur résolution, il démontre qu'on ne saurait les construire à l'aide seulement de la règle et du compas. Le premier il fit voir qu'il était aussi logique de représenter les grandeurs négatives quo les quantités positives, et qu'il était suffisant d'établir un théorème dans
