PASCA

cliaiil (les iiKiyciis il(; i'airc, par L'xeiii|j|p, un iTrclc parl'ailoincnt rond, un triangle dont It^s côtrs cl les angli's fussent égaux, et autres choses semblables. Il li'ouvait tout cela tout seul ; ensuite il cherchait les proportions des figures entre elles. Mais comme le soin de mon père avait été si grand de lui cacher toutes ces clloses, il n'en savait pas mtime les noms. Il fut contraint de se faire lui-même des définitions : il appelait un cercle un rond, une ligne une liarre, et ainsi des autres. Après ces définitions, il se fit des axiomes, et enfin il Ht des démonstrations |W<rtailes ; et comme Ton va de l'un à l'autre dans ces choses, il poussa les recherches si avant, qu'il en vint jusqu'à la trenLe-deuxiènu^ proposition du premier livre d'Euclide {la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits). Conune il en était là-dessus, mon père entra dans le lieu oii il était, sans que mon Irêre l'entendit ; il le trouva si fort appliqué, qu'il fut longtemps sans s'apercevoir de sa venue. On ne peut dire lequel fut le plus surpris, ou le fils de voir son père, à cause de la défense expresse qu'il lui en avait faite, ou le père de voir son Cls au milieu de toutes ces choses. Mais la surprise du père fut bien plus grande, lorsque, lui ayant demandé ce qu'il faisait, il lui dit qu'il cherchait telle chose, qui était la trente-deuxième proposition d'Euclide. Mon père lui demanda ce qui l'avait fait penser à chercher cela : il dit que c'était qu'il avait trouvé telle autre chose ; et sur cela lui ayant fait encore la même question, il lui dit encore quelques démonstrations qu'il avait faites ; et enfin, en rétrogradant et s'expli<|Uiint toujours par les noms de rond et de harre, il eiï vint à ses définitions et à ses axiomes. Alors son père lui donna les Eléments d'Euclide pour les lifR à ses heures de récréation. Il les vit et les entendit à lui tout seul, sans avoir jamais besoin d'aucune explication ; et pendant qu'il les voyait, il composait et allait si avant... qu'à l'âge de seize ans il fit un traité Des Coniques qui passe pour un si grand effort

«l'esprit, ([u'oii disait (|iii.i lU'jmis Ari-liimrdi' on n'avait rien VII di- cette l'orvi'. '. »

Ce petit opuscule où se trouvent en ^eriiitj les méthodes de géoinélrie uioderne, l'ut mis au jour en i(i4o, il ne l'ut à nouveau tiré de l'oultlL qu'en 1779, lorsque Bossut piibliu son odîlion des Œuvres du célèbre mathématicien. C'était le canevas d'uu ouvrage où étaient exposées les décoiLverles de Pascal sur ce sujet. On y rencontre le théorème sur « l'hexagraïunie mystique « qui, énoncé comme leniiiie au début de l'ouvrage, sert à déduire 1p reste. Sous ce nom, il désigne la propriété fondamentale que possède tout hexagone inscrit à une conique d'avoir les trois points de concours de ses côtés opposés en ligne droite. Cinq points sufllsant à dûterminei' une conique, cette proposition l'ournit une relation de position d'un sixième point quelconque de cette courbe par rapport aux cinq autres. A l'aide de ce principe, il arrive à démontrer la relation suivante due à Desargues : Le produit des segments compris sur la transversale entre un point de la conique et deu.x cotés opposés du quadrilatère, est au produit des segments compris entre le même point de la conique et les deux autres côtés opposés du quadrilatère, dans un rapport qui est égal à celui des produits semblablement faits avec le second point de la conique situé sur la transversale. Desargues dénomiua ce théorème te involution des six points )>. Les nombreuses conséquences que les géomètres modernes en ont tirées montrent assez sa fécondité.

Deux ans après, Pascal inventait la Machine aritluiiétique, remarquable conception et entreprise hardie, la^ Mécanique pratique étant alors fort peu avancée. Il se proposait de remplacer « toutes sortes de supputations n par des nioLiveiiienls et des coiiibinaisons de

roues. Il y arriva après liieit (les (Alonnciiionts, des ciiliicullés tCexcciilioii sans nomijre,, car, ainsi qu'il l'écrit dans sa dédicace a» cliancetitT Pierre Ségiiier, Il IcK artisans ont plus de connaissance do la pratique de leur art, (j ne des sciences sur lesquelles il estlbndé». iVcaninoins le modèle put être l'éalisé, et est aujourd'hui dans les colleclions du Conservatoire des aris et métiers à Paris.

Au milieu d'infirmités survenues avant l'âge, Pascal donna en i6."i3 son traité, sur Le Iriangle arithmétique, destiné à obtenir rapidenieni les coefficients des puissances successives d'un Jiinôme. La loi de formation de ces derniers avait été trouvée par Viête, et Newton un peu plus tard en indiqua la Ibruinli'. Dans un autre domaine scientifique, le nom de Pascal est intinienu'nt lié il celui de Fermât parmi les inventeurs du Calcul des probabilités. Il peut nu''me en être regardé comme le véritable fondateur. En i6j4, le cbevalier de Méré lui proposa deux difficultés il résoudre :

D'abord de savoir en combien de coups on pouvait parier avec avantage d'amener sonnez avec deux dés, et deuxièmement de l'oriiuiler une régie pour distribuer éqiiitablementles mises à un moment donné de la partie, entre deux joueurs inégalement partagés, désirant se retirer avant le dernier coup.

A l'aide d'ingénieux raisonnements, il parvint à luesiircr le degré mathématique de croyaiicc qu'on pouvait altribuer à de simples conjectures. Il posa les bases de la théorie des hasards, translbrmant ainsi la question oiseuse d'un mondain frivole en une mémorable découverte. Fermât, par une méthode dilférenle, généralisa les résultats, et au seul cas particulier envisagé par son devancier, il substitua un corps de doctrine parfaitement ortionnée. Dès lors une k sciiMice sans racines tians le passé ' », était fondée.

i3-l HtUTOIRE DES MÂTHErtATtQUES

Le iloriiicr ouvrage iiialhémalique denoliv |)liLioso|iluroncei'HR la Cyclo'ide { rG58). Cette courlie esl en^emlrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sans glisser sur une droite lixe noniniée liasc. On croît devoir attribuer au cardinal de Cusa et à Charles de Bovelles(i5ii) les premières notions qui s'y rapporlent, maii> iU ta considéraient comme un simple arc de cercle. Roherval reprit le sujet et Pascal rt'sohit plusieurs questions relatives aux solides l'ormés par la rotation de cette courbe autour de sa base ou de son axe, grâce à un nouveau procédé d'analyse présentant beaucoup d'analogie avec celui de Cavalieri,

Parmi les autres mathématiciens de cette éi)oque, à côté des Descartes ou des Fermât et bien près d'eux par la perspicacité de son génie, se place Dksarglks, méconnu de son vivant, oublié après sa mort. Ce géomètre, dont un érudit moderne, Poudra, a remis en lumière la curieuse physionomie, naquit à Lyon en 1 59.3, mais passa la plus grande partie de sa vie à Paris. Non content il'innover dans le domaine de la Science, il aurait voulu aussi la vulgariser. Sentant quelle portée sociale avait sa diffusion dans les classes laborieuses, il enseignait le soir aux charpentiers de la Capitale la Stéréotomie et la Perspective. Dans des leçons pleines de bonhomie il tâchait de leur en rendre familières les notions, si utiles pour la pratique de leur métier. 11 est triste à dire qu'il n'eut pas le succès dont il s'était flatté, et que dépité de l'apathie des artisans parisiiMis il nlhi poursuivre ces cours dans sa ville natale.

Si ses contemporains ne surent pas le comprendre et seconder ses vues, la postérité lui a rendu justice. Quo de titres d'ailleurs ses jnéthodes si fécondes ne lui donnent-elles pas '! Dans son UrouUloa projet (finie atteinte (tu.r événements des rencontres d'un cane avec uit pion (1639), perdu pendant le xviii° siècle et retrouvé seulement parChasles en i845, il développe cctic idée que les diÛ'érentes sections coniques (cercle, illipse,

DESARCUES

hyptrrliolc, parabole, système de deux tiroiles) sont des variétés d'une niâine courbe, et au lieu de les étudier séparément, comme les Anciens l'avaient fait, il envisage sur le cône les diverses positions du plan sécant, sans utiliser le triangle par Taxe.

Ce livre déliute par la considération suivante et sea conséquences : plusieurs droites parallèles entre elles concourent en un même point situé à l'infini. Comparant ensuite les systèmes de droites aux courbes, Desargues découvre l'intéressante relation des segments déterminés par une conique et par les quatre cotés du quadrilatère inscrit sur une tranversale quelconque tracée dans le plan de la courbe et qu'il nomme « involution des six points 11, désignation consacrée depuis par l'usage.

Notre époque a montré combien de théories étaient contenues en germe dans ce beau théorème. Servois l'a reproduit le premier en i8o5, Brianchon l'a pris pour base de son curieux mémoire sur les lignes de deuxième ordre (1S17), le général Poncelet n'a dû qu'à lui la découverte des propriétés des figures homologiques ; sans parler des secours que Simson, Newton et Chasles ont su en tirer.

Desargues a laissé encore une Méthode unù'erselle de mettre en perspectii'e les objets donnés réellement, où se trouve ce principe souvent appliqué depuis : si deux triangles, situés dans l'espace ou dans im même plan ont leurs sommets placés deux à deux sur trois droites concourant en un même point, leurs côtés se rencontrent deux à deux en trois points situés en ligne droite, et réciproquement.

Nous n'insisterons pas sur les autres écrits du grand géomètre lyonnais, relatifs à la coupe des pierres, et au tracé des cadrans, La place nous manque pour relater les nouveautés qu'ils renferment, et surtout la généralité des résultats qui y sont exposés. Aussi le surnom de « Monge de son siècle » lui a été justement décerné, car entre l'auteur de Iei Géométrie descri^-

1Î6 BISTOIBE DES MATaSMÀTIQUES

tive et Desargiips il y a plus (l'un Iruil do resBemblaiicc,

Intli'pendaminent de ws Maîtres, vivaient quelques savants de moindre importance. L'un deux, Mydobge, conseiller au Châtelot de Paris, avait pulilié, en i63i, deux livres sur les Sections coniques, composés à la manière des Grc<:s- 11 ne s'y préoccupe guère que de simplifier les démonstrations, sans essayer eomme Pascal ou Desargucs de déduire les propriétés de ces courbes de celles du cercle, soit au moyen de la Perspective, soit par la considération constante du cône qui les engendre. Un autre Français, Gilles PËR30K>-iEii dk RoBERv.vL, lié lui aussi avec Descartes et le P. ilersenne, imagina un principe général pour résoudre le problème des tangentes aux courbes. 11 y arriva en introduisant en Géométrie les règles cinématîqnes qne Galilée venait d'appliquer tout récemment en Mécanique. Mais il ne sut pas étendre la doctrine métaphysique qui présidait à ce procédé, et on tirer toutes les conclusions qu'en partant d'un point de vue analogue le génie perspicace de Newton devait décou\Tir. Sans un moyen analytique unilbriae, comme celui des « lluxions m [lar exemple, il était impossible pratiquement de la mettre en valeur. Il La conception de Roberval était à la même hauteur que celle de Descartos et de Fermai '. » Elle leur cédait seulement par l'aide puissante de l'Analyse qu'ils surent appeler à leur secours.

Roberval examina encore, dans son Trnilé des indivis sibles, diverses questions relatives à la quadrature de l'hyperbole et de la parabole proposées par Fermai. L'italien Cavalier! l'avait précédé dans cette voie. Toutefois, dans une lettre de i644i adressée à Torricelli, Roberval se vante d'être en possession de sa méthode depuis longtemps. Mais on ne peut juger que sur des documents ; or son livre ainsi que ses autres mémoires, ]>arurent seu-

\ -■:-.•. irES'ÂTiaPES 7 -■--■•' l'S']

lioimTH'i'n 169:5, (lix-hull aiis-aprésaa liioi-t: S'il a « i\ir\i»}^r

■ los ortïilles des géoint'tres u afin d'avoir sur eus utu;

« siipcnorité llatleiisc », Koiuine iiraS'oiieingt'imiuent, il -s'est privé aux yeux de la postôrité du bénéfice de eelte

ânventioh, .

■ Quoi jqii'il en 'soit, Ja docouverlp du Calcul infinité- Niinal était dans L'ai^r. Un jésuite belge, trop ignoré aujourd'hui, GnÉGotHK BE S\iST4ViscENT, aplanissiiil le -chemin en pufilia'ntsa Qiiadrnlura circuli et scclimiiim

■ <:oHi{\&/^-). En opérant la quadrature de l'hyperholi' il .démontra que la siiriaee -entre les asymptotes r.roil en progression arithmétique tandis que l'abscisse augmente

■en progression géométrique ou en d'autres termes que lies aires sohtdèslogarithmes'deB abscisses. Il pevf'ec- ■■tionna aussij-grâcïeà un procédé particulier, la méthode

■ d'i'xhaustion d'A'rchimède, .A ce propos, il considère ■le petit triangle -ditl'écentiel formé par la parabole et ' deux côtés cpnsécutil's de l'un des deux « polygones à .échelles 11 {inscrit et circonscrit}. Cette figure peut .avoir conduit Leibniz et. .Newton à leur sublime inven- 1 tioii. Cela soirt dit sans' penser à amoindrir la gloin- do

■ ces -immortels génies. . - .

L'Histoire des Sciences vérifie à chaque pas le l'ait >({uele^ plus remarquaibles progrès s'opèrent rarenient par des divinations subites, niais ne sont que l'évolution ' logique du persévérant labeur de plusieurs générations. Si les chercheurs tr-availlaient beaucoup dans ces nouvelles directions, la Géométrie à la manière des Anciens n'était pas délaissée entièrement. Philippe he , Làkmie traitait des Sections coniques (iSSitl envisagées de la sorte. Pour engendrer ces ligures et déterminer leurs principales propriétés, les Grecs menaient dans le cône un plan normal au triangle par l'axe. Trois cônes dilTérents li^ur étaient alors nécessaires pour avoir l'ellipse, l'hyperbole et la parabole. Lahire voulut abréger ce moyen en le remplaçant par une méthode plus I facile et plus logique. Il prit comme point de dépari les

l38 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

|)ri)pi'iêlés {iu cerclr ([iii devaient se retroiivor (kris les sections coniques. Si la marchiî synthétique qiiil suivit se rapprochait de la doctrine ancienne, elle en tliirérait donc assez notablement. Ses contemporains l'accueillirent du peste très favorablement. Enfin dans son Mémoire sur les épicycloïdes (i6g4) '' détermina géométriqueuient la ibrma des engrenages utilisés pour la construction des roues dentées.

Le hollandais Ciihistias lIuvGENsfiità la (bis mathématicien, physicien, chimiste et dans chaque partie des sciences qu'il a cultivées il se révéla novateur original. Né à La Haye en 1629, il termina ses études à l'université de Bréda où plus tard il devait se faire, comme le professeur van Schooten, le vulgarisateur de la géométrie cartésienne. Dès i65i il rectifiait, dans ses Thearemata de quadratiira hyperboles, ellipsis et circiiU, quelques erreurs de Saint-Vincent et en i656 il publiait son De ratiociniis in ludo aleai, le premier ouvrage complet sur le calcul des probabilités dont Pascal et Fermât venaient de poser les premiers jalons. L'année suivante paraissait son Horologium oscUlatorium ouvrage capital qui ne peut être comparé qu'aux Principes de Mewton, Ce dernier admirait d'ailleurs beaucoup les travaux de celui qu'il avait surnommé « Sunimus Hugenius '«. Entrons donc dans quelques détails au sujet de ce traité.

Le premier chapitre est consacré à la description des horloges à pendule, une de ses plus utiles Inventîons- Dans le deuxième il étend la découverte de Galilée, concernant l'accélération des graves tombant librement sous raction de la pesanteur ou glissant sur des plansinclinés, aux corps qui se meuvent sur des courbes données. Il trouve alors que la cycloïde jouit de cette remarquable propriété d'être UuUochrone dans le vide. On rencontre dans la troisième partie, la théorie des développées qui eut par la suite tant d'usages heureux.

es, 3* édit.

HL'yOEK

lit siii'toiit en vue l'application de

eooliita ' » à ;(;Li(icalion tics (jourljes. Un peu plus loin, il i-ôsont le problème des centres d'oscillation, proposé par Mersenne, on appliquant une des règles les plus l'éconilus de la Mécanique, celle dite aujourd'hui principe de la conservation des forces vives. Puis dans la dernière partie outre une nouvelle construction tle ses horloges, il donne plusieurs théorèmes sur la force centrifuge et le mouvement circulaire. Grâce â l'utilisation de ces dernières propositions dans la recherche du déplacement de la Terre autour de son axe et de celui de la Lune autour de notre globe, Xewton put découvrir les lois de gravitation' de cei^ corps célestes.

Parmi les autres travaux d'Huygens, dont beaucoup sortent de notre cadre, tels que la découverte des anneaux de Saturne par exemple, il nous faut donner un moment d'atlention au Traité de la lumière (1690) car I c'est lapremière application véritablement rationnelle de la Mathématique à la Physique érigée en corps de doctrine. Là se voit exposée la théorie des ondulations, qui, après avoir eu de nombreux adversaires au cours du I xviii" siècle et dans le nôtre, est actuellement trionit phante, grâce aux travaux des Fresnel et des Foucault, I L'auteur s'appuie sur le remarquable principe qui a f conservé son nom. Il consiste à admettre que le moiij vement de l'éther en un point quelconque d'une onde r lumineuse, occupant une certaine position, est la rêsul- ^ tante des vibrations qu'y enverraient toutes les parties I de la même onde considérée dans l'une de ses positions antérieures.

Hujgens en déduit la splïérioilé des ondes et la ' loi de la réflexion pour un milieu homogène. Il se e ensuite sur ce théorème pour étudier la réti-action. ( Lorsque des rayons parallèles entre eux tombent sur une. ■ surface plane, si l'on imagine un plan perpendiculaire a

lîo HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

la (lireclion du faisceau et que de chaque point de la surface diriinante, pris pour centre, on décrive une splière dont le rayon soit proportionnel à la distance de (;e point au plan de Tonde incidente, ces diverses sphères auront pour enveloppe la surface de Tonde réfra(!tée et les rayons lui seront normaux. D'autre part, j)our rendre compte des phénomènes de la double réfraction dans le spath d'Islande, il remarque simplejnent que le milieu étant hétérogène. Tonde n'est plus ,sphérique, par conséquent le rayon lumineux ne sera plus perpendiculaire à celle-ci. Seulement la résistance ,sera identique dans les directions également inclinées sur Taxe optique du cristal. Il arrive enfin à cette constatation importante : pour le spath, Tonde correspondant au rayon réfracté extraordinaire est un ellipsoïde de révolution. Fresnel devait compléter plus tard ces remarquables résultats, vérifier expérimentalement cette théorie et découvrir la polarisation, à peine entrevue par le célèbre Hollandais.

Ajoutons pour terminer, que Iluygens fut attiré à Paris par les libéralités de Louis XIV. Nommé membre de TAcadémie des Sciences dès sa fondation (1666), il quitta ia France, en 1681, aux premières persécutions dirigées contre les protestants, et dès la révocation de TEdit de Nantes jusqu'à sa mort (lôgS) il ne. voulut même plus correspondre avec la docte compagnie.

La caractéristique de la majorité de ses découvertes est qu'elles ont été faites au moyen de l'ancienne Géométrie, quoique sur la fin de sa vie il se mit à étudier les nouvelles doctrines.