CHAPITRE XV

Découverte de l'Analyse infinitésimale par Nevrton

et Leibniz.

La transition entre les œuvres de Huygens et la découverte de l'Analyse infinitésimale ne saurait être mieux établie que par Wallis, qui, après avoir achevé ses études à Cambridge, fut nommé professeur à Oxford (1649), ^ l'âge de trente-trois ans. 11 s'occupa principalement des sections coniques et inventa, dans son Arithmétique des infinis (i656), une méthode d'analyse qui constitue un réel progrès sur celles employées antérieurement par Cavalieri, Fermât, Roberyal et Descartes. Les travaux de Newton ont fait oublier les vues ingénieuses et les démonstrations générales mais parfois compliquées qu'on y rencontre. Quelques résultats sont cependant restés acquis à la Science. Telles sont la détermination, au moyen de V interpolation^ de la nature d'une fonction, dont on connaît quelques valeurs particulières, et la mise en évidence de ce fait que les dénominateurs des fractions sont de vérita])les puissances à exposants négatifs. Son ami lord Brou>'cker mérite aussi une mention : il trouva pour t. l'expression qui donna naissance à la théorie des fractions continues ^

2 4- etc.

Lia iiisTOiui; uns .mathématiques

i[ais IsAAc -Newtos éclipsa tous ses contcinporains ■ par la prolondeiir de son génie inalhématiqiii?. 11 naquil à W'oolstrope daDs lo Lincolnshire en 1642- Ses biographes s'accoiiieiit ii lui reronnaîtrt^ une intelligence j très vive dès sa plus tendre enCanrp'. Qnnî qu'il ( soit, il succéda à son professeur Barrow dans sa chaire 4 de Camltridge (1669). Peu après, la Société Royale del Londres l'appela dans son sein, et il publia en 1687 ses I immortels Principia où sr Iroiivi'iil exposées la plupart .1 de ses belles découvertes -.

Caractérisons d'abord ce livre par le jugement suivant J d'un critique éclairé'. Malgré sa longueur nous citons ce J passage, car il nous semble résumer très exactement la I question de priorité, si souvent débattue entre Leibniz ' et Newton.

ts Le livre des Principes csl, pour qui sait le com- , prendre, l'un des cbel's-d'u^uvre et peut-être le plui grand ell'ort do la pensée humaine. La dignité des \ résultats est incomparable comme leur précision et \ leur certitude, et Tinnuense talent évidemment accessoire à ses yeux, que Ne\Yton y déploie comme géomètre porte sa grandeur au plus haut point. La théorie des fluxions y est indiquée rapidement dans une J note que Newton nomme schoiie, mais elle pénètre ) et domine tout l'ouvrage, qui, aujourd'hui encor est cnniiue la plus belle ap[ilication. Lorsque parut le

(0 FoNTENELLE. Éhge <le .V*H'iun, Œuvrc», l. VJl, Pui'is, i;aa; Hhewsteb, Memoirt of... Iiaac .\cwloii. 3° édil., Edinburg, iHtio; ^ Roubb Bux. A ihort accoiial ofl/m Uitlarg af Malhtmatict. LoiidreB, iS88.

(a) Newton fut remplacé dons «a chaire d'abord par 'Whiston, auteur ds 1 plusieun onVFOg«B >ur l'Aati'onomie, uuquel suceéila eu 1 7 1 1 Nicolas Sacb- PEHSOS, né daiifi le VavkghirG en i4iS2. Ce suviidI bien qu'aveiigte dèa l'âge 1 de deux ane, sut s'initier oui mathénialiquca et les prafesser avec Buccèa. Il avait inventé une plonchcttc n ealwiler, «on 11 arithmétique palpable B comme il l'appelait, au moyen de laquelle il pouvait effectuer promplemeot 1 loDB les calculs, grilce ou seul sens du toucher. Ses Élémtnti d'algèbre, ■ publiéti en i;33, n'étaient pas sans valeur, et ils curent rboniieor d'une " dnction française en [;5(), Saunderaon était mort le rg août 173g, au Chriit' 1 Colle)^ de Combi'idKe.

(3) Joseph BEnTii*NU, Les fondaleurs de r.UtitinomU moderne. Paris, a

1 s AAC Ll s Ni: VV 'ION

LWNALYSE I N Fiy IT Ê SI M A LE i4'>

livre des Principes^ celle tliéorie invenlée mais iioii publiée vingt ans avant par Newton n'était plus nouvelle pour les géomètres. Leil)niz avait publié, en 1684, clans les Actn eruditorinu une note de 6 pages qui contient sous une autre forme des principes équivalents.

Newton lui-même Ta reconnu d'une manière expresse. Rien ne semble donc plus simple et plus clair que l'histoire de cette double découverte, sur laquelle cependant on a tant discuté... Quoique la publication cfe Newton ait été postérieure à celle de Leil)niz, il est prouvé qu'il ne lui doit rien ; mais tout porte à croire qu'il ne l'a aidé en rien. En ral)sencc de preuve positive, qui oserait soupçonner Leil)niz, lui si sincère et si dévoué à la vérité, d'avoir dissinudé les secours qu'il aurait reçus d'un rival ? Sa vie tout entière, tant de lois et si minutieusement étudiée, le justifie d'une telle imputation...

Leibniz et Newton partagent donc la gloire d'avoir inventé le Calcul différentiel, et quoique différemment illustres, chacun d'eux doit être tenu pour lionoré de s'être rencontré avec un tel émule. Bien qu'ils soient complètement d'accord sur le fond, on retrouve dans la forme qu'ils ont adoptée, l'empreinte de leurs génies si dissemblables. L'un, plus préoccupé des lois de l'Univers que de celles de l'esprit humain, sem])le voir surtout dans ces nouvelles méthodes l'instrument de ses efforts pour pénétrer la nature, et, leur assignant un but élevé, en a mieux montré toute la portée. L'autre, qui mettait sa gloire à perfectionner l'art d'inventer, a plus nettement marqué la route, et nous suivons encore aujourd'hui les traces lumineuses qu'il y a laissées. Le premier, ne produisant ses découvertes ([u'après en avoir longuement mûri la forme, a pu donner à ses travaux quelque chose de plus achevé et de plus ferme, et faire jaillir de sa pensée toutes les vérités qu'elle contient.

Le second, plus hal)ile à marquer les grands traits, se plaisait à remuer les questions les plus variées, en

BoYER. Hist. des Malh. lo

i46 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

éveillant dos idées justes et fécondes, qu'il laissait à d'autres le soin de suivre et de développer. NcAVlon se croyait rarement obligé de renoncer à la règle avant d'en (aire l'application ; Leibniz, au contraire, aimait à donner des préceptes, et se montrait plus empressé à proposer de beaux |)roblèmes qu'à suivre le détail de leurs solutions. Si Newton plus diligent avait pul)lié dix ans plutôt sa théorie des fluxions, le nom de Leibniz resterait un des |)lus grands dans l'Histoire de l'esprit humain ; mais tout en le comptant parmi les géomètres de j)remier ordre, c'est à ses idées philosophiques ot à l'universalité de ses travaux ((ue la postérité attacherait surtout sa gloire. Si Leibniz au contraire, abordant plus tôt l'étude des ^rathémati(|ues, avait pu ravir à son rival l'honneur de leur commune découverte, on n'admirerail pas nioins dans le livre des Principes^ avec la majesté d(^s résultats obtenus, l'incomparable éclat des détails ; et en j)erdant ses droits à Tinvention de la méthode qui s'y trouve employée avet! tant d'art, Newton resterait placé au rang qu'il occu])e aujourdliui parmi les géomètres, je veux dire à coté d'Archiméde et au-dessus de tous les autres. )>

Analysons maintenant les trois livr(*s des Principes. Nous suivrons pour cela la traduction faite ])ar la marquise nu Gh.vtklkt, la célèbre amie de Voltaire. Les deux volumes (|ui la com])osent ne parurent qu'après la mort de cette savante, en 1759, (M ils sont enrichis d'un (commentaire très (^stimé.

L'ouvrage début(» |)ar d(*s définitions déjà connues (|u'il commente a|)rès les avoir formulées, |)uis vienncMit d(^s axiomt^s également adoptés |)ar s(\s prédécesseurs, l. iH* fois c(*s pnMuiers jalons posés. Newton, av(M* le premier livr(% aborde» le fond nième du sujet en exposant s(»s grandes découvertt^s en Dynamique. Raj)peIons les principah*s, vu tête h» fameux « théorème d(»s aires ». Dans h^s mouvements curvilignes des corps, l(»s aires décrites autour d'un ciMitre immobile

L'AlVAùrSE TNFirfITÉStMAf,E i Ig

sout dans un môme plan inimobite, et sont projjortionnelles au temps. Il démonti'e réciproquement que la force est dirigée vers le centre dans tout mouvement quelconque où la loi s'applique, puis il cherche la force accélératrice dans l'hypothèse d'un mouvement elliptique où la loi des aires est rapportée, au foyer, et par un simple calcul il voit que la variation de cette force doit être en raison inverse du carré du rayon vecteur. Pour envisager enfin la question sous toutes ses laces, il suppose un mobile attiré par un centre Hxe suivant la loi de l'inverse du carré de la distance, et il arrive à cette conclusion que la trajectoire décrite sera une conique. Si la marche adoptée par Newton dans cet endroit est remarquable par son élégance et sa logique, il serait injuste d'oublier que Huygens avait défriché la route par ses recherches sur la force centripète dans le mouvement uniforme.

Puis l'auteur termine ce livre en étudiant U- mouvement des corpuscules attirés par toutes les parties d'un corps quelconque. Il découvre un certain nombre de propositions qui lui permettront d'établir sa théorie de l'émission.

L'intérêt décroît au second livre, dans lequel il expose le mouvement des corps dans un milieu résistant. On y rencontre à l'état embryonnaire quelques éléments de la théorie des fluxions. Mais occupons-nous du morceau capital des Principes, celui oii il applique au système du monde les théorèmes précédemment énoncés..

Pour» étendre au Soleil, aux planètes et à leurs satellites les. préceptes découverts, et arriver à déterminer leurs masses, il considère les 'corps secondaires comme de simples molécules vis-à-vis des corps principaux. Voici à titre d'exemple comment il Gxe le rapport entre celles du Soleil et de la Terre. Connaissant l'accélération de Jlercure, qu'il calcule grâce à la durée de sa révolution et au rayon de son orbite, il en déduit

i5o UISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

au iiioyt'n do. la loi des variations d'altractioii selon la ' distance, l'accélération que le Soleil co m in un iq lierait à un corps situé à sa surface. D'autre pai'l, sachant l'accélération imprinice par la Terre à un cor|is jilacé dans les mêmes conditions sur notre globe, il en conclut j aiséinpnt celle qu'elle donnerait à un corps distant | de son centre d'une longeiir égale au rayon du Soleil, i Mais précisément b rapport des deux accélérations imprimées par le Soleil el la Terre à un inéme corps, à des | distances égales de leurs centres, est celui de lei masses.

Il étend ensuite sa méthode ;i une plaiièle possédant I un satellite, et il li-nuvc d'une larnri analogue l'accélération qu'elle transmet à ce dernier; il en déduit 1 l'accélération qu'elle imprimerait à un corps situé à ] une distance de son centre égale au rayon du Soleil.; D'un autre côté, comme il a déterminé l'accélération 1 communiquée par le Soleil à un corps placé à sa surface, .] il n'a qu'à prendre le rapport entre ces deux grandeurs | pour obtenir le rapport entre les niasses de la gilanète 1 et du Soleil. Ce procédé ne poriuet pas de déterminer I les masses des satellites ; toutefois pour la Lune, iNew- 1 ton a résolu le problème à l'aide de l'observation de! marées.

Cet immortel ouvrage donnait donc toutes les lois de J la gravitation universelle, la plus sublime généralisation | que le cerveau humain ait enfantée, [)uis(|irelle règle le ] cours de tout le système solaire.

Les dillicultés qui hérissaient à chaque |>;ig<' les Principes, empêchèrent leur diffusion; peu de savants étaient à même de les comprendre, encore moins de les juger, mais cette œuvre apporta au géomètre la fortune, , Nommé en i6g5 inspecteur de la Monnaie de Londres, . Newton en devint bientôt directeur (1699). Cette situation lui valant 3o 000 livres, somme considérable pour ' l'époque, il put continuer la publication de ses travaux sans s'inquiéter du lendemain.