AUGUSTO

Ducibus Saxonise &c.&c.&c.

PRINCIPIBUSJUVENTUTIS

dicata.

Cum S.CsfartAUA)tfiAtU& TùttntUJmà Eh-

Qçrù SÂxtnU PritiUgm,

tIPSl£.

Proftant tpud J. GR05SIUM & J. P. GLETïT^/MWA

Typà CHRIST OPHORI GûNTHF ri.

AuwMDCLXCan.

Fij. »»- — Faotimîlé du rraolispice des Ael» EiMjilormm, prpmîer jonrnal «L-ÎMilifiqiH; ie l AUïmagnc, (onde par Leibnii «n t6Si.

L'AyALTSE INFINITÉSIMA LE

démontre que la courbe cherchée est une jogai-ithmi(|iie ordinaire, ses abscisses croissant en progression arithniéti(]ue, et ses orthinnées en progression géoniéiriijue. II y donne en outre le moyen de dîfféreneier aussi bien fes qiianlîlés rationnelles que fractionnaires, el applique son procédé à un exemple assez dillicile lui peruiellani île hjen indiquer la roule à suivre dans lous les cas. Cette méthode générale laissait loi» derrière elle celles île Fermai, de Descaries ou de Barrow '.

Deux ans après, dans non De geome/n'n recondifa, i[ exposa les bases du Calcul intégral, et il montra que les problèmes des quadraturtîB si péniblement résolus par ses prédécesseurs peuvent se Irailer avec aisance grâce h ce dernier.

Envisagée en bloc, la doctrine leibnizienne rejwse sur les considérations suivantes. Déterminer les conditions dans lesquelles un phénomène continue à se développer, est toujours plus aisé que de rechercher des relations qui exprimeraient les lois de son accomplissement dans leurs moindres détails ; et cependant, pour assister à la production intégrale du phénomi;ne, il sufïira de connaître ses développements sueeessifs, d'un état ii un état inlinimenl voisin. Or la mise en équations ditrérenti elles d'un problème est simple, tandis que la recherche des équations en <|nantités finies est souvent insoluble. Plus la question se complique, plus la disproportion entre leurs difficultés augmente.

Entre autres sujets intéressants que Leibniz inséra dans sa revue, il faut noter plusieurs formules courantes aujourd'hui, divers développements en série, le premier usage du signe d'intégration / et des articles sur les jeux de hasard.

Ses travaux relatifs à la ]\Iécanique sont importants.

Dans le Journal des Sni'an/s de 1693, il formula la

(1) BossvT. Ilhl.nrv générale ,1e' Mnt'ièi..ali./ur>:, I. H. Poi'L^, iSlu.

IIISTOinE DES .V.ITIIJiMAriQVES

règle gènénili' de la composition des iiioiiveiiientR. Il 1 avait repris auparavant dans son recueil la théorie des j dt'placenientii plauétaires. Par une lieiireiise inspiration 1 il tMnploie le système de l'ordonnées polaires qui simplifie les formules.

Puis, tout en disputant avec les Cartésiens sur le princi|ie des forces vives, il consacra principalement les ! dernières années de sa vie, ii perfectionner et à étendre sa méthode. Des adeptes le secondaient du reste. En \ particulier le marquis db lIIoi-ital dont l'Analyse des t infiniinenl petits (1696) révéla au jjrand public les mystères du nouveau Calcul, réservés jusqu'alors à quelques privilégiés.

Comme en France tout finit, dit-on, par des chansons, on représenta à Paris une comédie : Les infiniment I petits^ oii les nouveaux préceptes étaient tournés en 1 ridicule. L'intrigue de la pièce n'était pas compliquée. La santé chancelante du marquis de l'Hoi'it.u., et la ' répulsion de sa femme poui' le progrès, en faisaient I tous les frais. De là des scènes de ménage faciles à 1 deviner, et dignes d'ailleurs d'un vaudeville de bas étage,

Le,s adversaires de l'Analyse infinitésimale ne méritent j pas de nous retenir beaucoup. Gitans quelques-uns de ces retardataires. En .Angleterre nous trouvons le philo- .sophe Berkeley. En France, rid)bé de Gatelas dans sa Logistique universelle ('692) voidut remplacer le Calcul difl'érentiel par un procédé qui n'en était qu'un ' grossier déguisement, et Michel Uolle, dont le Traité 1 d'algèbre (1690) fit progresser la théorie des équations, se posa en ennemi non seulement de Leibniz ' et de Newton, mais de Descaries. Toutefois dans s ouvrage on rencontre entre autres choses curieuses . Je théorème connu aujourd'hui sous son nom. C'est \ une généralisation de celui qu'il énonce sous la forme f suivante et avec sa terminologie particulière : lorsqu'il y a des racines elfectives dans une cascade, les hypo-

L'ANALYSE INFINITÉSIMALE i6i

thèses de celte cascade donnent alternativement Tune -jet l'autre — ^

En Hollande, Bernard XieuweîsTYT faisait, dans ses Considerationes circa analysis (1694), de^ objections assez sérieuses au principe même. Il considérait celuici comme faux, parce qu'on envisage comme égales des quantités ayant entre elles des différences infiniment petites mais cependant réelles. Leibniz leva ces difficultés, et finit par le convaincre.

Mais les partisans du progrès furent de beaucoup les plufi nombreux, et à leur tète il convient de placer les Bern'oulli, parmi lesquels les plus célèbres furent les deux frères Jacques et Jean ^

Le premier se distingua dans la théorie des courbes. Parmi ses découvertes, la plus remarquable est celle relative à la spirale logarithmique. Il démontra que sa développée, sa caustique par réfraction et sa caustique par réflexions ont de nouvelles spirales logarithmiques égales à la proposée mais tournées d'un certain angle autour du pôle. II en fut tellement enthousiasmé qu'il fit gra-

(i) Rollc appelle « racines effectives » d'une équation ses racines positives. n nomme « cascade » une équation f{x) = o dans laquelle f{x) est un polynôme entier, et il donne le même nom aux équations f {x) = o f" [x) = o... Les « hypothèses » d'une cascade fi {x) = o sont pour lui les racines de l'équation /"'"♦"* [x] = o et en même temps une limite supérieure des racines de /"*' {x) = o. Il appelle enfin première, deuxième, troisième... cascade, les cascades du premier, deuxième, troisième... degré. Voir pour plus amples détails sur sa méthode, notre petite note sur le théorème de RoUe, insérée dans V Iniermcdiaire des mathématiciens, t. II {1895).

(2) Comme plusieurs membres de cette famille se sont illustrés dans les Mathématiques, nous croyons intéressant de donner ici la généalogie des Bernoulli, originaires d'Anvers, mais réfugiés en Suisse. Nous l'empruntons à M. Floria?î Gajori. (-4 Uistory of Mathematics, New- York, 1893.)

Nicolas Bbrnol'lli, le père,

Jacques Nicolas Jean (1667-1748)

Né à Bàle en 1654, mort en 1703 | |

Nicolas (1087- 1739; Nicolas (1693-1726)

Damkl, né à Grouingue en JTOO, mort à Bûlc en 1782 Juan (1710-1790)

Daniel Jean (1744-1807) Jacqcbs (1758-1789) BoYER. Hist. des Math. 11

l6s HISTOIBE DES MATBÉMATIQUKS

ver celle fifjiire sur son loinbeaii, aver collo devise eiiiblèiiie de lu résurreelion : Eadein iminulata resurgo. D'autre pai't, dans son êUide de la coiii'be isochrone parafent/ ig lie, on rencontre poirr la première l'ois I« mol, « intégral ». Leibniz appela d'abord sa mélhode « calcul sonimatoire " mais après entente avec le savant suisse il adopta définiliveiuont la dénominatinn proposée par celui-ci. En 1695, Jacques BernouUi énon»;a son fameux probiénie des isopérimètres ^ cause de sa querelle avec son frère Jean, car ce dernier commit quelques erreurs dans la solution, erreurs qu'il rectifia parla suite.

Son mémoire sui- la chaînette ou courbe théorique d'équilibre d'un fil sans épaisseiu", pesant, homogène, llexible cl inextensible, est important. Toutefois Leibniz avait déjà découvert ses propriétés et donné son équation ' . Jacques Bernoulli étendit la question à des cas plus compliqués tels celui oii le fil cstde densité variable, puis inextensible, puis sollicité en chaque point par une force dirigée vers un centre. Il montra également la déformation que subit une lame élastique fixée à l'une de ses extrémités et courbée par un poids attaché h l'autre. Dans le même ordre d'idées notons ses re(-berches sur la lintéaire, forme prise par un linge soutenant un liquide, et sur la figure d'une voile enflée par le vont.

En outre, dans son A/s fo;yec/fi/»//, publié seulement après sa mort en 171^!, il précisa les notions émises par Pascal et Format sur les probabilités. Enfin et surtout on lui est redevable du Calcul e.rponenliel, cette partie de l'analyse devenue si féconde. Il est liasé sur la relation Log .r" =^ n Log J" et sur ce fait que la différentielle d'un logarithme, d (log .r) est égale à -^ . Il montra d'autre part que les courbes exponentielles, algébriques et tranccndantes, ont entre elles des points de ressemblance.

[1) H. Bkocard. .Y,.;f.i

Jean Bernoiilli, haineux et vindicatif, ne sut s'accorder

avec son frère, ni avec son fils. Mais heureusement sa science était au-dessus de son caractère. Outre les travaux que nous avons déjà cités, il poursuivit dheiireuses investigations sur la biachisiochrone ou courbe que doit suivre un corps pesant pour descendre d'un point à un autre dans le moindre temps possihle. U avait accordé vers la (!n iIc "696 un délai de six mois aux géomètres pour répondre à ce problème, Leibniz, Newton et son frère Jacques le résolurent par des méthodes particulières, et démontrèrent que la cycloïde était le chemin cherché. Antérieurement on avait déjà reconnu à cette courbe, surnommée pour cette raison « curva descensus aequabilis n, la propriété du tautochronisme. Lagrange devait plus tard, grâce à son calcul des variations, embrasser complètement ce sujet, que Jean Bernoulli avait seulement ébauché.

Mais ses principaux titres de gloire sont d'avoir contribué à répandre parmi ses contemporains l'analyse infinitésimale, et d'avoir su l'onncr de nombreux disciples au rang desquels figure le grand Euler.

Au sein de l'Académie des Sciences de Paris se trouvait également un intelligent défenseur des mêmes doctrines, PjEUHE V'abigson. Dans sa Nouvelle Mécanique imprimée seulement après sa mort, en 1725, on rencontre de nombreusfîs simplifications de démonstrations. Beaucoup de propositions importantes même lui sont dues : tels sont la théorie des moments pour les forces concourantes et l'énoncé général du principe des vitesses virtuelles.

Si Varignon chercha toujours la clarté dans l'exposition de la science, il n'en était pas de même d'AnToiNE Pabent dont les Eléments de Mécanique et de Physique sont remarquables cependant sous certains rapports. Entre autres sujets qu'il y aborde se voient les équations de la sphère et du plan, le calcul des ordonnées uiaxima et iiiinima dans différentes sections de la sphère, et la

Pla^At Aiitetûnu^

rr|>iésentation d'une siiilact! coiirhe par une (-ciuaKon (?ntre trois variables, ce qui est, somme toute, intéressant comme première application, à des questions ardues, de notre système de coordonnées dans l'espace.

De son côté, François Nicole, dans son Traite des différences finies (1717) cclaircit certains points de la théorie, et en sommant bon aonilire de suites enricbil notablement cette branche de l'algèbre. Ses autres recherches roidèrent sur les rectifications de la cîssoîde et des épicycloïdes sphériques. 11 a démontré, en outre, plusieurs propositions formulées simplement par Ne^vton, en particulier le tliéorèuie suivant ; on peut envisafi;er toutes les courhes du 3" ordre comme les perspectives de trois d'entre elles.

Le comte Jacques &e IIiccati s'attacha aussi à propager en Italie les idées de Ijeiljniz et de Newton. Il parvint à intégrer, indépendamment de l'équation qui porte aujourd'hui son nom , certaines équations dilFérentielles. Ses deux fils, Vincenzo et Giordano, en appliquant le calcul intégral â diverses équations de mécanique, simplifièrent aussi plusieurs parties du domaine (le <;ette science.

.\vant de quitter la péninsule, n'oublions pas de menli<)nner le comte dk Facnaîio, considéré comme un des plus habiles géomètres de son temps. Dans ses Pro- (liizzioni mathematiche, réunion de ses articles parus dans les journaux scientifiques , il appela l'attention siu- la théorie des fonctions elliptiques. En déterminant sui' l'ellipse ou l'hyperbole des arcs dont la difFércnce puisse s'exprimer algébriquement, il parvint à );i ledilicalion de <;es courl)es. Dans le même ordre (ri<lées, il découvrit qu'entre l'intégrale représentant Fan: de la lemniscalc et celle ([ui exprime un arc de cercle, existent des analogies (;uiîeuses. Eider en étudiaiil peu après l'inlégrale plus générale que nous désignons acluellenicnt sous le nom d'intégrale elliptique (h; première espèce, formula le prin('i|)e de cette remar-

qiiiil>lr ])i'o])i'it'lê, t'chappée àla sa^acilé du noble Ifalk'n. Ct-'liii-i-i ('!■ pendant avait su ouvrir, dans le cliaiiip do l'analyse transcendante, des l'oiites inconnues.

Vers la même époque où plutôt un peu avant, un f^eittillinniine français, Pierre Haymoso de Mostmoht, publiait d'intéressants aperçus sur le ealcul des pi'ol)al)ilités. Dans son Essni d'analyse sur les jeux de hasard il donna plusieurs fbi-niules pour la sommation de eertaines suites, entre autres celle qui permet de représenter la somme de n termes d'une série dont les dillerences finissent par s'annuler.

Terminons ee ehapitre en examinant, d'après l'ouvrage contemporain de l'ingénieiu' Uion , CUsage des iiislrumeiits de mal lié/italiques à la fin du svii" siérie. La planche VIII de ce livre (fig. ^3) nous montre la forme des diirérents compas. En E nous voyons le compas à (rois branches, en G et II ceux de réduction, en K celui n à coulisse », en L celui destiné a tracer les ellipses; en M, N, O les eom])as sphèriques nécessaires pour mesurer les épaisseurs, les diamètres des globes ou autres corps ronds.

La planche IX (fig. a4) nous initie d'abord aux appareils a qui peuvent servir dans le cabinet n. En A et C nous apercevons les porte-crayons, F est la « plume sans fin », I une pince à tenir le papier, K le pentographe qui « se nomme aussi singe, par<'e qu'il sert à copier toutes sortes de dessins ». M c'est « le carat qui permet de connaître le poids des perles ». 11 faut croire que les mathématiciens étaient riches dans le bon vieux temps, pour avoir besoin d'un tel attirail ! L el N sont les éqiierres fixe et pliante, P indique la concordance entre les pieds usuels. Les règles R, Q s'emploient poiu' tracer les parallèles; enfin S, T, V représenlenl diverses coupes du « pédoméirc n ini coiiiplciir de pas pour mesurer les distances.