CHAPITRE XVI

Les mathématiciens anglais de la première moitié du XVIII" siècle et les recherches d'Euler.

(^iiiltfjiis lo cnnliiiL-iil |M)iii- revenir <iaiis la palrîe de Newton oii, pendant la première moitié du xviii* siècle les Matliéiiiaticjiies su niainlinront à un niveau très Olevc. Cojnuieneons par le plus enthousiaste a<luiiratenr de riniiuortet Anf^laîs, par Bhook Tayloh, qui naquit à Eduioiiton, dans le Middlesex, le i8 août i68j. Après une édueation enejelopédique, il se livra ans spt-eulations scientifiques, et devint membre de la Société Royale de Londres en 1712. Ouiro pIusiL-urs mémoires sur le mouvement des projectiles, la capillarité, le centre d'oscillation et un traité iVeic principles of linear perspective., il composa un granil ouvrage intitulé Methodus iiirreinenloriiin diiecia et inversa (1715-17). La première partie de ce dernier livre renferme l'exposé de sa doctrine des « incréments « qui se rapproche assez du calcul (les différences finies. Il y exalte les découvertes de Newion en critiquant injustement Leihniz et les liei'noulli dont les méthodes, d'après lui, manqueraient de précision. Comme points intéressants on y trouve la démonstration de la relation bien connue dite : « formule de Taylor ' » et le problème du changement de varial)Ie indépendante y est abordé. Quant à la seconde

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partie, elle concerne Tapplication de ce procédé au mouvement des cordes vil)rantes. Il arrive par de longs détours au nombre de vibrations exécutées par seconde. D'Alembert et Lagrange reprirent à nouveau ce sujet, mais s'ils rectifièrent certaines incorrections de détail, leurs recherches démontrèrent Texaiîtitude du résultat de leur prédécesseur.

Enfin Taylor réussit à obtenir Téquation différentielle représentant la trajectoire d'un rayon lumineux à travers un milieu hétérogène et, dans Thypothèse où la densité de la couche d'air varie seulement selon sa distance à la surface de la terre, il construisit par une quadrature la forme approchée de la courl)e.

On peut ranger dans Técole anglaise de cette période Abraham de Moivre. S'il naquit, en effet, à Vitry, comme il était d'une famille protestante, il dut quitter la France lors de la révocation de l'Edit de Nantes (i685), à peine âgé de huit ans, et passa la plus grande partie de sa vie à Londres où il se lia avec Newton et llalley. Ces précieuses amitiés lui permirent d'entrer fort jeune à la Société Royale.

Ses travaux ont contril)ué surtout à édifier la Trigonométrie des quantités imaginaires dont plus tard Lambert s'occupa à son tour. Les deux princi])aux théorèmes qu'on lui doit sont relatifs à la formule donnant sin ni.x' et cos mx: en fonction de sin x et de cos x^ et aux facteurs binômes de .r^° — 2 r/.i" -f" '• ^I^i^ le plus important de ses livres est sa Doctrine of c/uinces {ly 16) complétée par plusieurs mémoires qui ouvrirent une voie nouvelle au calcul des prol)al)ilités . Bernoulli avait montré que le rapport des événements de différentes natures, fourni en ol)servant une longue suite d'épreuves, s'approche d'autant plus du rapport exact des possibilités respectives de ces événements, que les observations sont plus multipliées. De Moivre fit faire

(1) Cette formule est : (Cos jr -f- V — i Sin .r)"* = Cos in x -\- \ — i Sin /« .r.

1 pas (le plus ù la qiiestî

il trouva une élé^anle

expression niathênialique de la probaliililé que la tliTftTcncp de t'es deux rapports est renleriiiée entre certaines limites. Puis, poursuivant ses investigations, il découvril les séries rét:urrt'ntes dont la soiJiniation eisêe lui permit d'abréger bien des calculs et d'iiitroduire dans la théorie générale des suites inlinies des principes féconds. D'autre part, il a démontré par d'ingénieux raisonnemenls que ta probabilité d'un événement composé est le produit des probabilités des événements simples qui le composent, et enfin il parvînt à des l'ormnleij conei.ses relativement aux probabilités de la vie humaine,

,\ l'égard de Rogeh Cotes, prol'esMeiir d'Astronomie à l'L'niversité de Cambrigde , rappelons qu'il apporta des peri'ectionnemenls aux méthodes d'inlégralion alors dans l'enl'ance , prineipalement à vvu^ relatifs aux din'érentielles rationnelles. Ou connail surtout son nom dans l'enseignement actuel, par son théorème concernant les rat'ines imaginaires de l'unité. Cependant on lui est redevable encore du théorème suivant, non moins utile, exposé dans son Harmoiiin meitsararum. Si d'un point P pris dans le plan d'une courbe de degré m on trace une droite qui coupe la courbe en m points, A,, A,, ,...A„ et qu'on prenne sur cette sécante un point M déterminé [tarla condition que l'inverse de la tlistance PM soit moyenne arithmétique des inverses des distances PA, l'Aj... PA,„, le lieu géomélricpie du point JI quand la transversale tourne antour du point P, est une ligne droite. La démonstration tie cet énoncé, trouvé dans les papiers de Cotes après sa mort, l'ut donnée ])ar son compatriote Maclaluin à qui la généralisation du théorème de .Newton sur les asymptotes servit de l'ondemenl pour son De liiicarum geometricamm propiietatibns geiierolibus (1720).

Ce traité se continue |>ar îles applications de «os

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L'ÉCOLE JSCLAISE f;i

plus liu|ioi-tanles île la division liarnioni<]iii- îles >it'- (■antt's, le Ihéorèine sur k' qiiadrïlali'i'*' inscrit, el la hcUw proposilion suivante. Quanti un <|iia<lrilatêi-e a ses quatre soiiiniels el les deux points de roncours i!e ses côtés opposés sur une courbe du 3' dcf^ré, les tangentes à celle-ci, menées par detix soiuniets opposés, se coupent sur la coin'he.

Sa Geometria orgaiiu-a, publiée un an auparavant, avait pour but d'employer les <;ourbes simples à la génération des tourbes complexes. C'était le ilévcloppement méthodique de celte question indiquée par Newton : lorsque deux angles de grandeurs constantes tournent autour de leurs sommets respecliCs, de manière que le point de concours de deux de leurs côtés décrive une ligne ilonnée, l'interseclicin des deux autres tracera une courbe dépendant de la première. L'auteur des n Principes a avait montré que si la ligne donnée est une droite, l'autre sera une conique, et que si la ligne donnée est une conique, l'auln' sera en général du 4' degré.

Son System of t/ie flurioits (1742) est, au dii'e de Lagrange, un cbei-d'œuvre. Maclaurin s'y applicpin à (aire ressortir les analogies entre la niétbode d'Archimède et celle de Xcwton, On y voit la rorniulc ' au moyen de laquelle il développe une fonction (|iTidconque selon les puissances croissantes et entières de la variable. C'est un cas particulier de celle indiquée précdennuent par Taylor. Quant à son E.vposiiioii des décoiwcrles philosophiques, elle constitue un panégyrique (I ad majoreiu Xewtonii gloriani )i, au détiiiiuMil de Descartes et de Leilmiz. Nous ne saurions donc jiuus y arrêter.

Parmi ses élèves, citons Matuiku Stkwaht i[uii ses General (Aeo/e/HS placent ii un rang très honorable [tarnii les mathématiciens anglais du temps. Ce livre rcn-

i;a niSTOIRB DES MATHÉMATIQUES

l'eriuc phisieiii's vôsiiltats de la GéomiMrii' inoilernu relalilH an cerclf, à In lijçno droite, à la théorie des transversales et à l'involiition. Dans ses Tracts physical and malhematical il exposa d'une faron très claire le fameux problème des trois eorps, et étudia diverses autres questions de Mécanique céleste avec heaucoup de safjfacité.

Un géomètre russe, Joseph Lasden, qui naquit à Saint- Pétersljourg en 1719, mérite aussi une mention, car un de ses théorèmes concernant les ares de l'hyperbole et de l'ellipse, a inspiré Euler et Lagrange.

Si l'Angleterre et l'Alitimagne marchèrent à la této du progrès pendant la belle période des Mathématiques modernes, la Krance n'avait eu à opposer aux grands noms des Leibniz et des Newton que des savants de second ordre. Mais la (in du xviii" siècle lui a|)portera le commencement de sa revanche. Quant à la Suisse, elle va continuer à fournir son brillant contingent, L'éclot des découvertes de Lbo^jard Evlbii éclipsera même les travaux des Bernoulli,

Cet illustre algébriste naquit à Bille, le ij avril 170-, d'un père qui remplissait les fonctions de ministre protestant. Son professeur fut Jacques Bernoulli. Après avoir passé aa maîtrise es arts en 1723, il remporta, trois ans plus tard, un accessit, au concours proposé par l'Acadéiuic de Paris sur la théorie mécanique de la mâture des vaisseaux. Puis, grâce à la protection de Nicolas Ëernoulli, son condisciple, il fut nommé par l'impératrice Catherine I" de Russie, menUtre adjoint de l'Académie de Saint-Pétersbourg. C'est vers cette époque qu'il publia sa Mechniiica , premier traité didactique où l'Analyse ait été appliquée à la Science du mouvement.

L'excès de travail, joint sans doute aux rigueurs du climat, détermina chez lui ime ophtalmie qui lui fit perdre un œil. Aussi à la mort de Biren, le tyrannîque favori d'Anne Ivaiiowna, il quitta sans regret ce pays

d'Anhall-Dessaii. Il <:oni|josa mt'^nHi à son intention ses Lettres sur quelques sujets de Physique et de Philosophie, oii il se révèle vulgarisateur (U> talent. Ce livre eut autant de succès que les « Entretiens sur la pluralité des mondes «, de Fontenellc. On l'a souvent réédite.

^L Outre quelques iiiénioires siu' 1rs intégrales définies.

J■]^ HISTOIRE DF.S ilATlIÉMATIQUES

l'intégra tion dea équations d'ordres supérieurs, la balistique, la théorie <les isopérimètres, insérés dans diverses publication!:! allonianiU-s ou lianraiseS; il composa peu ' après une Théorie iiom'elle de la lumière (1746). La doctrine de rémission, universellement adoptée depuis Newton, y était soigneusement examinée. Il en releva les contradictions, et se déclara partisan de la théorie <les ondulations si génialement édifiée par Hiiygens. Soumettant alors au calcul les phénomènes observés en supposant que la liunîère se propage par l'intermédiaire d'un fluide impon{lérabie el élastique, l'éther, il réussit il enrichir la Dioptrique de Ibrmules analytiques dont la généralité égalait la sinipUeité. Souvent, au cours de sa carrière, il revint sur ce sujet, et toutes ses recherches optiques ont été réunies en trois volumes, sous le titre Diopirica (1771}-

Catherine II l'appela à nouveau en Russie, en 1766. Il était alors devenu presque aveugle, ce qui ne l'empêcha pas (le produire jusqu'à sa mort. Ses plus importantes découvertes sont relatées dans sa Meihodus invenitudi lineas citivas (1744), son IntioducUo in Anali/siii iiifiniloruiu ('748) et ses Insliliiiiones Calculi différent ialis (1755). Sans songer à rendre compte de ces grands traités, indiquons-en la substance en montrant de quels notables progrès les diverses branches des Mathématiques sont redevables à Euler.

En Analyse, il donna la solution générale du problème des isopérimètres ébauchée dans un travail précédent, et la théorie des intégrales dites « eulériennes ». 11 imagina l'identification des fonctions circulaires et des fonctions exponentielles, apporta de multiples perfectionnements à l'étude des séries et à celle des fonctions elli|)tiques, en apercevant la comparabilité d'un arc d'hyperbole à la somme de deux arcs d'ellipse, 11 fournit les équations différentielles du mouvement d'un corps libre soumis à des forces quelconques, et la théorie de la rotation d'un solide autour d'un point fixe.

En Géométrie, il aborda le pi-oblénip du cercle tangent à trois cercles donnés, il trouva la construction des axes d'une ellipse définie par deux de ses diaméires conjugués et plusieurs solutions du problème de la sphère tangenle à quatre sphères fixées,

C'est Euler encore <jiii introduisit dans les formules U'igo no métriques les abréviations dont nous nous servons aujourd'hui en désignant les angles d'un triangle par A, B, C et les cotés opposés par les lettres minuscules correspondantes a, fi, c. D'autre part, en établissant d'une façon définitive de nombreuses méthodes générales, il transforma la Géométrie analytique. Signalons les points intéressants dans ce genre : discussion de l'équation générale du second degré à trois variables, qu'on n'avait pas même amorcée avant lui, formules de transformation des coordonnées dans l'espace, définition des foyers des coniques telle qu'on la donne actuellement, théorie complète des courbes géométriques et leur classification en ordres, classes et genres.

La Théorie des nombres, d'un autre côté, lui doit de multiples accroissements, entre autres la démonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Fermât, et qui avaient jusqu'alors résisté aux efforts des plus sagaces aritliméticiens.

Enfin sa Theoria motuam planelarum (1744) et sa Theoiia motus Lunœ (1753) le font ranger parmi les fondateurs de la Mécanique céleste moderne. Dans le premier ouvrage il simplifia le calcul des perturbations planétaires on ramenant la question au problème des trois corps dont il posa de la sorte très nettement la donnée. Trois corps s'attirant mutuellement selon les lois de Newton [c'est-à-dire en raison directe des niasses m raison inverse du carré de la distance) sont lancés dans l'espace : trouver les orbites décrites, et déterminer les particularités de leurs mouvements. Dans le second livre il s'attaqua à notre satellite. Il considéra le mouvement de la Lune comme la résullante de trois forces,

HISTOIRE DES MATIIÉ MATIQVES

[larallèles à trois axes perpendiculaires entre eux, qui se rencontrent au centre «le cet astre et qui, emportés pour ainsi liire avec lui autour de notre gtobe, gardent leurs parallclisnies respectifs. Mais si de cette façon il était relativement aisé de trouver les équations générales du problème, il n'en était pas de même lorsqu'on les appliquait aux phénomènes célestes : les équations se compliquaient alors sînguliérenu'nf, et il fallut tout le génie du disciple de Jean Bernoulli pour arriver à déterminer ainsi la longitude et la lalitudi^ Je la Lune. Qu'on ne croit pas que là se l)ornent les recherches d'Eiiler'. Resserré dans notre cadre, nous ne pouvons donner qu'une idée très afTaiblie de son activité scientifique. Celle-ci d'ailleurs se prolongea plus d'un demi-siècle, car il cessa seulement « de calculer et de vivre ' », le 7 septembre 1783. Reproduisons pour conclure ces quelques lignes de Lacroix ' qui caractérisent fort bien son œuvre : « Successeur immédiat de Bernoulli, et continuant ainsi l'école de Leibniz, î! s'attacha surtout à perfectionner la science du calcul, en écartant de plus en plus les considérations de pure Géométrie, que les disciples de Newton appelaient le plus souvent à leur secours. Le premier, il offrit l'exemple de ces longues déductions où les conditions du problème étant d'abord exprimées à l'aide des symboles algébriques, c'est le calcul seul qui développe el surmonte toute la dilliculté; mais pour en

(i) Lfur eitnple énoncé oci-upo plus de ju pugL-» in-J" b. lu siillc de son jrïoge par Fusa. Sninl.PéterBbourg, 1783.

(u] « Le 7 «eplembi'e 178I, après K'i-trc amusé ù culuulvr sur unv ordoUe les loia du mauvement aBcenaiouiiet des maeliines oérustutiques, dont la découvcrlG occupait alors loDlc l'Europe, il djoa avec M, Leieti el sa racaille, parla de la planète d'Kerïrhol et des calculs qui en déterminept l'orbite ; peu de temps après, il fît venir sati petît-âU, avec lequel îl bodinaît en praount quelques tasses do Ihc, lorsque loul a coup la pipe qu'il tenait a lu main lui échappu, et il cessa de calculer et de vivre, u Cokdorcet. Eluge d'Eiiler. Strusbourjf, i;86.

P) Lackoix. Bwgrnphie iinheisdtc de ilicliaud. .Nouvelle édit. Paris, ,84ï

liri'i- ce parti, il faut le manier avec adresse, il faut eu l)ieii connaître les formes, en remarquer et en retenir tontes les cirronslances, afin d'en pressentir tous les résultats. Euîer a fait preuve a cet égard d'nno éminente sagacité et d'un génie aussi profond qu'inventif. S'il était permis de mettre on parallèle deux hommes, qui se sont illustrés dans des genres très différents, on dirait avec raison que par son étonnante fécondité et sa facililé pour le travail, Euler doit occuper dans les Mathématiques la place que tient Voltaire dans les Helles-lettres. Celui-ci ne laissait échapper aucune des pensées, aucun des traits d'esprit qui s'oilVaient sous sa plume; celui-là ne perdait pas un seul des calculs qu'il essayait dans toutes les recherchas qu'il entreprenait sur les sujets les plus variés. »

A côté de ce grand savant, la Suisse possédait Gabriel Ch\mkii, dont Vfiilroditclioii ii l'Analyse des lignes coKibes algébriques (17J0) est l'ouvrage le plus développé sur ce sujet. On le consulte encore aujourd'hui. En France, Alexis Cl.vihaut par la précocité et la profondeur de ses recherches, contribuai! heaucoiip, pour sa part, au progrés scient ilique. Fils<l"iin professeur de mathématiques, il puhliait à seize ans ses Recherches sur les courbes à double courbure, qui lui ouvrirent avant l'âge réglementaire les portes de rAcadêuiio (1731). Dans ce livre, il résolvait d'importants problèmes roulant sur les tangentes de ces courbes particulières. Leur rectification et la quadrature des cylindres qui les projettent sur les plans coordonnés y sont traitées par la méthode encore en usage aujourd'hui.

Dans des domaines moins élevés, Clairaut rendit de grands services â l'enseignement par la publication de ses Elémenls de Géonièlrie (174O et de ses Kléinents ^Algèbre [1746) demeurés longtemps classiques. Son but constant dans la rédaction de ces cours est d'éviter toute démonstration ardue, loule pédanterie, tous détails inutiles, (jLiilte à sacrifier l'exaclitude rigou-

relise, car i] veut siu-lcuil « intéresser à la fois «■rlairer les uommenrants n. ainsi tin'il récrit dans la | préface du premier volume.

Comme Eiiler. il s'occnpa de Mécanique céleste. C'est iiiAme sa Théorie ife Ui Lune qui a fondé sa réputation. Le procédé qu'il employait pour expliquer les inégalités observées était simple. 11 décomposait l'action perturhalrîce du Soleil en trois forces dirigées respectivement suivant le rayon vecteur tracé de la Lune à la Terre, la perpendiculaire à celle ligne menée dans le plan de Torhite et la parallèle à la droile tirée de notre Globe au Soleil. Sous Tattraction isolée de la Terre, noire satellite décrirait une ellipse invariable. Les deux [ireniiéres composantes de l'action perturbatrice du Soleil déforment cette trajectoire, et donnent à son grand axe un mouvement direct; d'autre part, les accélérations imprimées à l'axe le laisseraient se déplacer dans un plan fixe, mais l'efFclde ta troisième composante est de faire varier, dans chaque lunaison, l'inclinaison du plan de l'orbite sur celui de l'écliptique en même temps qu'elle imprime à la ligne des n<¥uds un mouvement rétrograde. Lagrange reprît plus tard le problème de ces perturbations.

En terminant l'analyse des teuvies de Clairnut, marquées toutes au cachet de l'élégance, notons qu'il exécuta d'immenses calrids sur la comète de Halley; ceux-ci lui permirent d'annoncer assez exactement son passage au périhélie '.

L'élude de ces corps célestes était d'ailleurs affectionnée par ce savant, puisqu'il y revint dans deux autres ouvrages. Malheureusement, la marche suivie était pénible. Je.\.\ Le Rono d'Alembert résolut de la

(i) Urnvoil prédit pou qa'appraiimiitiveineiit les i bnae A aea rnlculs, le pass MTLitN Mabie. IlUColrc II