RE ET MEC \ SI QUE

Après avoir constitué t!0 qu'on dénomme aujourd'hui l'Algèbre supérieure, les mathématiciens de notre siècle se sont attachés à envisager sous tous leurs aspects les principes fondamentaux, et surtout ils ont créé la théorie des équations.

W. RowAK IIamilton fut un de ceux qui se distinguèrent le plus dans ce domaine. Né à Dublin le 4 août i8o5, sa première éducation se fit dans sa famille, et il entra seulement en i8a4 au Trinity Collège, un an après avoir publié son premier mémoire qui roule sur une question d'Optique et fut très remarqué. Aussi dès 1827 il devenait professeur d'Astronomie dans SB ville natale, bien qu'il ne poï5séd!\t aucun grade universitaire.

Dans .sa Théorie des systèmes de rayons il prédisait le phénomène de la réfraction conique, et les années suivantes il publia de nombreux mémoires sur l'équation du 5* degré, sur la courbe dite " hodographc )■, sur la solution numérique des équations dillerenliellos, etc.

BISTOIRE DES J/ATUSMATIQOJIS Mais siirlout il ênoma, en i8'i5. le principe des qnaternions ou calcul s'appli«iuant aiix ligures ^*ométi-iqiies de l'espace. Il compléta et développa par la suite cette théorie, pratifjut-e avec succès en Angleterre mais peu connue en France malgré la remarquable Introduction à l'élude des quateinions qu'a publiée, en 1881, Laisast, examinateur à l'Ecole Polytechnique. Le calcul géométrique était né d'ailleurs avant l'habile astronome de Dublin. Le (îenevois Robert Abgand, dans soc Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires (18061, avait indiqué le moyen d'exprimer graphiquement des nombres de la l'orme A -J- B y' — i. MôBius, professeur à Leipzig, dans son Calcul barycentrique (1827), ba.sé comme son nom l'indique sur les propriétés du centre de gravité, ouvrit une nouvelle route et l'Italien Bellavitis, en imaginant la conception des Equipollences, traduisit les faits géométriques du plan.

Mais peu après la découverte d'Hamilton. Hehmans Gbassmans inventa une méthode puissante établissant, en somme, le lien entre les précédentes.

Ce mathématicien naquit à Stettin en 1809. Il commença son éducation au gyirinase de sa ville natale, puis il apprit durant plusieurs années la théologie à Berlin, sans négliger toutefois les études scientifiques. Aussi, en i834, succéda-t-il à Steiner comme professeur de Mathématiques à l'Ecoie industrielle de Berlin où il enseigna à la fois l'Astronomie, la Physique et le dogme. Vers cette époque il produisit des travaux originaux, et en 1844 publia son fameux ouvrage Lineale Ausdehnungslekre, dont la forme ardue d'exposition retarda longtemps la dilTusion. Le but de cette « Science extensive )) a été de constituer une théorie des fondements abstraits de Fétude des grandeurs sans recourir à la Géométrie, simple application de son système à l'espace. Ses propositions ont d'ailleurs une portée des plus générales. Procédé de calcul géométrique à la fois synthétique

H et ani ■ metta

ai.gebue et mécanique et analytique, sa méthode est devenue féconde en permettant la résolution aisée de bien des problèmes complexes se rapportant aux diverses l)ran<'hes des mathématiques où entre la considération de l'étendue.

En Italie, tout récemment, le professeur Peano a fourni une interprétation géométrique concrète des formes et des opérations i;oniprises dans l'ouvrage de Grassmann. Partant de l'idée commune de tétraèdre, il définit le produit de 2 et de 3 points puis les produits de ces éléments par des nonihrcs, et enfin les sommes de ces produits, La théorie des formes du premier ordre fournit les calcids barycenti'iquc et vectoriel. Les formes du deuxième ordre représentent les droites, les orientations et les systèmes de forces appliquées à un corps solide; les formes du troisième ordre expriment les plans et le plan à l'infini. Enfin, en 1897, Burali Fobti de Turin a présenté 1res simplement dans son Introduction à la Géométrie différentielle, les éléments essentiels de la doctrine de Grassmann,

D'un autre côté, Malrice d'Ocagxe, professeur à l'Ecole des Ponts-el-Chaussces, dans son Traité de Nomogre/p/iie (iSQCf) s'est elforcé d'établir une théorie de la représentation graphique des équations à un nombre quelconque de variables. Les principes de la dualité et de l'homographie, en passant ici dans le domaine de la pratique, lui ont permis de fixer les dispositions d'abaques préférables pour les types de formules habituelles. De la sorte, il a pu réduire les longs calculs d'ingénieurs à de simples lectures sur des tableaux graphiques, construits une fois pour toutes.

Dans un domaine quelque peu différent, Auguste DE MoBGAN se signala tout particulièrement. Fils d'un colonel de l'armée anglaise ', il naquit ii Madura (Inde) en 1806, fit ses études à Cambridge, devint par la suite professeur à l'Université de Londres,

'»((i;Noiv-York), iiuiii^™ de dciiembrc i8y8.

a3i HISTOIRE DES MATUÉMATIQLES

et ]niL iiiK* |iart active à la fondation de la Société mathéniatic|ue de cette ville. S(;s plus importants ti-avanx roulent sur les principes fondamentaux de l'algèbre. Il s'attaqua dans sa Formai Logic à analyser méthodiquement les lois, les opérations et les symboles des Mathématiques. Sa maxime favorite était la suivante: "Les mathématiciens ne prennent pas plus soin de la Logique, que les logiciens des Mathématiques ; cependant les deux yeux de toute Science exacte sont les Mathématiques et la Logique ; la secte mathématique dédaigne l'œil logique, la secte logique ne regarde pas avec l'œil mathématique, chacune croyant voir mieux avec un œil qu'avec deux. « De Morgan, lui, s'efforça de se servir des « deux yeux », et ses travaux philosophiques resteront. Son enseignement a laissé d'ailleurs une trace profonde dans les recherches de ses successeurs, les Cayley, les Benjamin Peirce et les Sylvester. pour ne citer que quelques-uns de ses compatriotes.

Avec EvARisTE GS.LOIS l'Algèbre s'enrichit d'inventions remarquables. Ce génial matliématicien naquit à Bourg-la-Reine , près de Paris, le a5 octobre i8ri. Après avoir travaillé dans sa famille, il entra au lycée Louis-le-Grand (1823), et dès la fin de 1827 son aptitude spéciale se révéla : il lisait avec avidité Lagrange et Legendre. Bientôt il remporta un prix au Concours général, se présenta à l'Ecole Polytechnique (1828), mais se vit refusé deux ans de suite à ce concours. Cependant son professeur avait su l'apprécier. Il commentait en classe les solutions originales trouvées par son élève, qui pendant l'année même de son échec publia dans le journal de Gergonne ' sa Déiiioiistralion d'un théorème sur les fractions continues périodiques (1829), etcommuniquaàrAcadémie des Sciences

(l) Les Aaaiilet de iVatliiinialiçaei, promifr joaranl françui* coqsbcfj eiclusivïmi-Jit aux mathématiques, se publiiii'eiit ii Ktmos, bdus la direclioo de Gergonne, de iSu ù mi. La collection de ce recueil est très eslimije, cnr'

D'sprèa l'hjliagravuri? plai:i-c en Wtc de ses Œiinea, iSi);,)

ALGEBRE ET MÉCANIQUE

une (le SCS plus belles découvertes sur la llirorie des équations. II n'avait pas dix-huit ans! Sur ces entrefaites, il perdit son père et i'ut reçu à l'école iVonnale en 182g, Durant l'hiver suivant, son activité mathématique ne se démentit pas, et il écrivit plusieurs mémoires importants; mais en juillet i83o la révolution éclatait. Alors le jeune Galois se jeta avec ardeur dans la mêlée politique, fut renvoyé de l'Ecole, devînt, malgré son jeune âge, un orateur influent du parti républicain avancé, et fut même poursuivi pour un toast régicide '. Acquitté cependant, il fut arrêté à nouveau un mois plus tard, passa quelque temps à Sainte-Pélagie où il se remit au travail. Mais à peine sorti de prison, il fut tué en duelà la suite d'une intrigue d'amour, le 3o mai i833. Sa vie si courte, semée de tant d'épreuves, no fut cependant pas perdue pour la Science. Les notes qu'il avait laissées furent d'abord publiées par Liouville, en 1846, puis rééditées en 189;?, par la Société mathématique de France.

Si Lagrange, Gauss et Abel avaient perfectionné la théorie des équations, aucun n'avait trouvé l'élément primordial de celles-ci. Galois sut le découvrir. Il montra qu'à toute équalion algébrique correspond un groupe de substitutions où viennent, pour ainsi dire, se réfléchir son image, ses caractères essentiels. Cauciiy avait poursuivi de multiples recherches sur la théorie des groupes, et introduit divers éléments de classification. Galois poussa plus loin l'analyse du problème. Il saisît l'importance de la noiion de sous-groupe invariant d'un groupe donné, ce qui l'amena â partager les groupes en simples elen composés.

Ses travaux en .\nalyse ne le cèdent en rien aux précédents. Dans une lettre a. un de ses amis, Chevallier,

(1) U. DvPVT, dans tes Annatet de l'Ecole yornialt mpérieute. 3- série, Mil (i8g6j, a consacré aae altacbanle nolice biographique à Galois. C'est :t: Iravail, campOBéd'nprèa dcsdocuiiieiilsini-dils, que tinus avons emprunliï I renseigneuieiits ([ui précèdvnL

lIISTOJkE DES MATBÉXATIQPSS sorle ûi' teslaiiicnl scientifique écrit la veille de luoi-t, on reiu;onli'e les vues les plus curieuses sur les I intégrales de fonctions algébriques. En particulier, il i parait avoir possédé les parties essentielles de la théorie des intégrales abcliennes qu'il était réservé à Rieniann d'apercevoir un quart de siècle plus tard. Si I quelques années lui avaient été accordées pour i ses idées, il aurait sans doute posé les fondements de la tliéorie des fonctions algébriques dont nous ont doté ses continuateurs- En tout cas, on ne peut s'empêcher d'une douloureuse émotion en songeant qu'une vie sî courte et si agitée a permis d'édilier une telle œuvre. (1 Sa mort fut pour la Science une perte immense ; l'influence de Galois, s'il eût vécu, aurait grandement ] modifié l'orientation des recherches malhématiqu il a sans doute des égaux parmi les mathématiciens de I ce siècle ; aucun ne le surpasse par l'originalité et la ] profondeur de ses conceptions', u Parmi ses successeurs, que le cadre de notre livre nous force de sacrifier quelque peu, distinguons : Catlet qui formula les principes de la théorie des invariants; Sturm, Genevois ' naturalisé Français, qui succédaàPoisson dans sachairt de Mécanique à la Faculté des Sciences de Paris, et dont , le théorème, permettant de décider combien il existe de racines réelles d'une équation algébrique comprises \ entre deux limites données, est bien connu; enfin I IIexri PoiNCARÉ que nous avons déjà rencontré à plu- i sieurs reprises et dont les mémoires de haute analysi ont trait principalement à la théorie des fonctions et à 1 leur application aux équations différentielles. Né à Nancy J le 29 avril i854, membre de l'Académie des Sciences de Paris depuis 1887, il professe actuellement à la Sorhonne. C'est là l'origine de son remarquable Cours de i PItysique niathcmatique (1885-1896).

ALGÈBRE ET MÉCA.WIQUE

Signalons encore parmi les nombreuses applications de l'algèbre à celte dernière branche tie la science, la Théorie analytique de la clialeiir par P'auiiiER, qui parut en 1822 et qui est un modèledu ^enre. Avec une grande pénétration ce savant inventait des ressources inconnues pour résoudre ces dilficîles questions. 11 prit comme point de départ ce principe : le flux différentiel de calorique entre deux molécules infiniment voisines est proportionnel à la différence infiniment petite des températures de ces deux particules. Il parvint à trouver les équations différentielles des phénomènes thermiques et plusieurs théorèmes au moyen desquels on peut remonter de celles-ci aux intégrales et par le (ait arriver jusqu'aux applications numériques. Il jeta aus^î un jour nouveau sur la théorie des équations aux différentielles partielles en découvrant la série connue sous son nom et qui permet de développer une l'onction continue ou discontinue en une airite infinie de tenues composés des sinus et des cosinus des multiples de la variable.

Dans la même voie, Gkohges (.ïhekn, qui inouriit à Cambridge en 1841, rendit de grands services en introduisant dans l'étude mathématique de l'électricité, la fonction potentielle utilisée déjà par Lagrange et Laplace au sujet de l'attraction universelle. Plus près de nous, Clehk Maxwell, né à Edimbourg le i3 juin i83i, créa une théorie électro-magnétique complète basée sur l'intervention du milieu ambiant, en traduisant en langage algébrique les résultats expérimentaux découverts par Faraday. Son hypothèse peut se résumer ainsi : tout milieu capable de transmettre la force magnétique est formé d'une infinité de particules sphérxques susceptibles de tourner. Sous l'influence de la force magnétique ces corpuscules prennent, autour des lignes de force comme axe, un mouvement de rotation dont le sens et la vitesse dépendent du sens et de l'intensité de la

a38 U/STOinE DES MATlIEilATlQCES

force. Grâce à ce principe et à quelques transformations analytiques il parvînt, dans son Traité d'électricité et de magiiélisme (^tSy'i), non seulement à expliquer tous les phénomènes connus, maïs â déduire de nouvelles relations intéressantes entre la lumière et Télectricilé. Maxwell, après avoir prolessé à Aberdeenetau King's Collège de Londres, termina sa carrière comme professeur a rUiuvcrsité de Cambridge où il décéda le 5 novembre 1879.

Parmi les ouvrages les plus connus exposant l'ensemble de la Science pliysieo-malliémaLique on peut mentionner, outre ceux cités plus haut, celui de Resal, mort à Aiineniasse (Ilaute-Savoîe) le 23 août 1896. EnQn Eoiîssimesq, le savant professeur de Mécanique à la Faculté des Sciences de Paris, a singulièrement fait progresser V Hydrodynamique mal hé ma tique à laquelle il a su apjiliquiT avec sagacité l'analyse et l'algèbre.

G K U M K T 11 1 K K L' C L I U 1 E K N E ET G K O M K T R I E S NOS ELCLiniENNES

Toutes h;s branches des Malhématiques ont reçu de l'impulsion dans la seconde moitié du xix^ siècle. La science d'Euclide ne fit pas exception à celte règle. Le Traité des propriétés projectives des figures de Poncelkt ouvrit des routes nouvelles à la Géométrie pure en agrandissant ses ressources, en généralisant les conceptions et en les rapprochant de celles de la Géométrie analytique. 11 oflVit des moyens propres à déceler d'une façon aisée les propriétés dont jouissent les Ggures quand on les envisage d'une manière abstraite et indépendamment d'aucune grandeur absolue et déterminée. Ces propriétés se retrouvent à la fois dans toutes les projections ou perspectives de la ligure considérée. On les a alors distinguées des autres en les désignant sous ' le nom générique de « propriétés projectives " destiné j à en rappeler la nature.

RECBERCHES GÉOMÈTmQl-ES

Les deux volumes qui fornient l'ouvrage parurent l'un m i8aa, l'autre en 1866; mais le savant mît à jour pendant cet intervalle les découvertes les plus importantes , qu'il y expose. Elles ont contribué puissamment à l'onder 1 la Géométrie moderne, si différente de la Science antique. La marche de cuUe-ci est timide ; toujours, dans les démonstrations, on raisonne sur des grandeurs déterminées, des flgures réellement décrites. Celle-là, plus hardie et plus subtile, ignore le plus souvent les formes individuelles représentant les objets sensibles, ' ou, en tout cas, s'en dégage autant que possible.

Le Traité de Poncelet renferme outre l'exposition de ^ ces principes, les notions élémentaires des pôles et polaires réciproques, une théorie de la perspective des reliefs ou bas-reliefs, et les principales propriétés des centres de moyennes harmoniques. Il fut aussi pour son . auteur l'origine d'une polémique avec Guasle-s. Ce dert nierayant fait paraître en iSiij un Mémoire sur deux prîn- I cipes généraux de la Science, la dualité et V homographie, Poncelet revendiqua le premier comme lui appartenant. Jlichcl Chasles était né à Epernon (Eure-et-Loir) le 5 novembre 1793 et fut reçu à -l'Ecole Polytechnique en 81a, puis à sa sortie donna sa démission pour aller ex ercer à Chartres la profession d'agent de change, sans cesser de se livrer aux spéculations scientifiques. Ses découvertes lui valurent bientôt d'être élu correspondant de l'Académie (iSSg) et professeur a la Sorbonno deux ans plus tard. 11 mourut à Paris le 18 décembre 1880, Dans ses belles recherches il s'efforça d'affranchii" la Géométrie des procédés de calcul que les Descartes, les Newton et les Leibniz avaient introduits et qui, en quelque sorte, avaient mis la Science de l'étendue sous la tutelle du calcul. A la base de ce monument, Chasies posa la notion du rapport anliarmonique. Ce fut l'origine de ses belles théories de l'homographie et de i'homologie et il puisa, dans un mode de transformation particulier ou ii un point correspond une

HISTOIRE DES MATHt'M.I TIQIES

droite, à une droite un point, sa féconde doctrine de \ la dualité. Ciràri' à lui, l'idée de transformations des figures' prit dès lors une place considérable dans la nouvellt! Gcomctrie, On vil nettement les analogies 1 t'xistantes entre les transformations de figures et eellesil d'équations. Coninio, d'autre part, on peut imaginer des j transformations en nombre infini, cette méthode devint | entre les mains des géomètres un puissant mode d'investigation.

Plus près do nous, les notions établies piir l'oncelet ont été généralisées. Avec la Géométrie synthétique de i Steimbr (1867), avec les Elémenls de Géométrie projective de Luici Crëmon.v, l'érudil professeur de l'L'niversité de Rome et avec la Geoinetria projectiva du I mathématicien espagnol ToHHO.iA (iSg^), ilsont linî pari former une science particulière dont les conquêtes | s'augmentent chaque jour.

Le dernier quart de ce siècle a vu s'édifier d'intéressantes théories. En 1873, M. Emile Lemoi>'e publia un | mémoire relatif à un point remarquable du plan d'un * triangle. On avait trouvé de nombreuses propi'iétés de j ce point, mais sans faire attention qu'elles s'appliquaient.J toutes à ce dernier, dénommé aujourd'hui u point de-l Lemoine ». Plusieurs savants, entre autres H. Broc.vhd, | en France, et Neuberg, en Belgique, dirigèrent alorftj leurs recherches dans cette voie et la Géométrie du.\ triangle se fonda. Depuis celte époque, des centaines del travaux ont paru sur ce sujet dans les divers jourr mathématiques du monde.

Un doit encore à Lemoine l'invention de la Géoinéti'o-m

(i) Vaki en quoi uonsisle cette série d'apérotionB, utilisée seulement pai' Chnsles et m successeurs. On cléduil d'une figure 9 1 grûre â de> conetrucliong nettement définies, une nouvelle fîgur proquemenl. on pourra revenir do lu figure F' ù la figure F. Si donc il propriété est faeile ù découvrir dans la Sgure F' il s'iqlBuivrn q r le fuit nii)nie Iii propriiilé oorrespoudunlc de lu fif^re

laas.

nibic A

. Lu

: Paris,

BERCBES G£ OMETS, mgraphie (1893) ou art dos constructions géométriques, fébauché déjà par Steiner, Il montra que toute consk truction quelle que soit sa complication est toujours f réductible à un petit nombre de constructions faciles et identiques. Au moyen d'une hypothèse naturelle permettant de comparer entre elles ces constructions élémentaires de même nature, il arriva à un système de notation commode oii deux nombres, le coefficient de simplicité et le cofticient d'exactitude, permettent d'analyser et de caractériser une construction géomé-

I trique quelconque.

D'autre part, Schœnflies, professeur à l'Université de Gottingue, dans sa Géométrie du mouvement, et le colonel Mannueim dans sa Géométrie cinématique (1894) ont tiré de la Mécanique rationnelle de nou- ;velles méthodes pour la détermination des propriétés des figures.

Mais sans contredit les recherches les plus originales de cette période se rattachent aux Géomélries non euclidiennes, et c'e&l par elles que nous terminerons cet exposé bien incomplet delà Science contemporaine. Depuis longtemps, on a cherché à démontrer le fameux axiome posé il y a vingt siècles par Euclide, à savoir : par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite donnée.

Ces tentatives demeurèrent infructueuses. Cependant, à la fin du xviii" siècle, un jésuite italien, Saccheri, voulut fonder une Géométrie reposant sur un principe différent du célèbre postulat; enfin, au début du xix% un russe, Lobatschevsky, et un hongrois, Jean Bolyai,

» aperçurent à peu près en même temps l'impossibilité de cette démonstration. Leurs travaux publiés indépendamment les uns des autres avaient sans doute été inspirés par les doctrines du philosophe Kant qui, dans un passage de sa Critique de la raison pure, indiquait une nouvelle considération de l'espace. Pour ce dernier, l'espace existait n priori, précédant

BoïEB. Hiat. des Matb. \6