A TIQUES

toute expérience, ronime forme romplêlement sulijective de notre înliiitioti.

Nicolas Lobatcuevsky était né en ijgS à MakarLef, , dans la province de Nijni-Novgorod, et fit ses études à ru niversi té de Kazan qu'on venait de foniler. Il y suivit ', les cours de Barlels, pnis obtint, en 1811, le litre de \ licencié, avec une thèse do Mécanique céleste. Dès lors il s'absorlia dans de profondes nu'-ditalîons '. A l'hypothèse de Kant, il en opposa une autre affinuant la relalivité de nos notions d'espace. Sa façon de procéder est simple : il préfère aux uiéifitations métaphysiques la vérité scientifique qui repose sur rt-spéricncc, « Les premières données, dit-il dans ses Nouveaux Principes de Géométrie (i836-38), seront inconteslablcnient les concepts que nous acquérons dans la nature au moyen di; nos sens ; la raison peut et doit les réduire au plus petit noiiilire possible, pour qu'elles servent ensuite de base solide à la science. » Cela posé, voici comment il procède au développement de sa doctrine.

Il énonce au début Faxiome suivant : par un poîn) OTL ^sui mener plusieurs parallèlesk une droite donnée. Puis, toiiten conservant les autres axiomes primordiaux de la Géométrie ancienne, il en tire une série de conclusions qui, s'enchainant d'une façon logique et sans aucune contradiction, constituent la Géométrie noneuclidienne.

iVaturellement, ces théorèmes diffèrent de ceux auxquels nous sommes habitués. Citons-en deux exemples :

La somme des angles d'un triangle est toujours plus petite que deux droits, et la différence entre cette somme et deux droits varie proportionnellement à la surface du li-iangle.

La construction d'une figure semblable à une. figure

(1) VxssiLiEF. Eloge hiaton^serlc ^'ieolai-J.-LobatchcvBkg, l par M"> FiuHTENHOLTZ, Pnris. Ubrnirie U^rmann. 1896. CanHi nn remarquabli

roi'lcLiil de XicuLAs LnuATCUEVSKï, mnrtùKnzun (Rusnio) m iSiU. (D'nprJiB une photographie.)

BECBERCHES GEOMSTRIQVES donnée, mais tie dimensions diCférentes, est impossible.

Ces curieuses vues mirent du temps à se répandre, et lo savant russe n'eut pas la satisiaotîon d'assister à leur triomphe. Sa carrière s'était pourtant poursuivie avec honneur. Il était devenu professeur, et quand îl mourut en i836 il occupait les fonctions de recteur de l'Université où il était entré comme simple étudiant. Quatre ans plus tard lloiicl puLlia une traduction française de son ouvrage sur la Théorie des parallèles, et dès lors ces idées pénétrèrent un pou partout. En France, en Allemagne, en Angleterre et en Italie, on vit éclore de nombreux travaux dans le eliamp qu'il venait de défricher. Lobatchevsky pas plus que Boijai n'avaient, en effet, épuisé le sujet, et RiEMANN, en 1867, ouvritde nouveaux horizons en considérant l'e.space comme sphérique. Dans cette hypothèse l'espace est sans limites, puisqu'en continuant à marcher toujours droit devant soi on n'est jamais arrêté; et cependant il est fini, car on peut faire également ië tour d'une sphère.

Pour construire cette Géométrie, son inventeur rejette le postiilatuni et le premier axiome d'Euclitle : deux points déterminent une droite. Si effectivement on ne peut, en général, tracer entre deuxjoints qu'un grand cercle (jouant ici le rôle de la droite), il y a une exception au cas où les deux points sont aux extrémités diamétralement opposées; une infinité de grands cercles peuvent y passer. D'une façon analogue, dans la Géométrie de RiEM.VTiN, il se trouvera certains cas où par deux points, passeront une infinité de droites . Les propositions qu'elle renferme sont différentes bien entendu, et de la Géométrie de Lobatehevsky et de oelle d'Euelide.

Prenons les deux exemples correspondant à ceux de tout à l'iieure : ils deviennent ceux-ci dans la doctrine de Riemann.

La somme <les angles d'un triangle est plus grande ([ue deux droits.

I^e nombre des droites qu'on peut trarcr parallèle-

Daiilrc part Elgesio Beltrami, professeur à l'Università de. Rouie, ramena dans une suite de mémorallies travaux la (Jt'ométrie de Lohatchevsky à deux dimonsinns, à n'tUre plus qu'une brandit^ de la Géométrie ordinaire, à l'aide des considérations ci-après. Supposons qu'une ligure quelconque soJt tracée sur une toile flexible et ine\tensil)If' appliquée sur une surface de manière que quand la toile se déloime les différentes lignes de cette figure changent d'aspect, leur longueur restant la même. La OexiLilité et l'inextensibilité empêcheront en général cette figiu'e de se déplacer sans quitter la surface, à moins qu'on n'ait affaire aux^uz-^ce* à courbure constante. Mais celles-ci sont de deux espèces : les unes sont à courbure positive, et se déforment de cette manière en s'appliquant sur une sphère (Géométrie de Uiemann) ; les autres sont à courbure négntwe, et Beltranii a niontré quti la Géométrie de ces surfaces n'étaient ni plus ni moins que celle de Lobalschevsky.

En outre un inathémalicieu suédois Sophl's Lie', enlevé malheureusement à la Science le i8 février 1899, en cherchant à réduire au minimum le nombre des axiomes dont on se sert implicitement dans les démonstrations habituelles, est arrivé, en posant simplement les prémisses suivantes — l'espace a n dimensions; le mouvement d'une figure invariable est possible ; pour déterminer la position de cette figure dans l'espace il faut P conditions ; — Lie est parvenu, dis-je, à la curieuse proposition suivante : le nombre des géométries compatibles avec ces prémisses est limité.

Enfin, et cette remarque clora notre livre, <|uelques astronomes ont été auii'iK's à se demander si u l'espace