CHAPITRE

Les Écoles d'Athènes et de Cyzique : Platon, ses disciples et leurs contemporains.

La science inathcimalique Je Piaton est loin d'atteindrf niée philosophitjiie. Né à Athènes en 42g, ce Brillant élève de Socrate n'aurait même jamais cultivé ■ette branche des connaissances humaines tant méprisée lar son maître, si après la mort de ce dernier il n'eût ■oyagé en Egypte, dans l'Italie méridionale et la Sicile il recueillit l'enseignement des Pythagoriciens, k son retour dans sa patrie, lorsqu'il fonda « l'Aca- Hémie >i, il était converti, et plus tard quand on lui Bemandera quelles sont les occupations de la Divinité, il ■épondra : i< Elle géométrîse perpétuellement »; il inscrira même a» seuil de sa demeure : « iUic nul n'entre go lis m on toifi, s'il est ignorant en Géométrie ». La lec- "iire du T'uiiée montre d'ailleurs qu'il connaissait les propriétés essentielles des progressions. Maïs que de subtilités arithmétiques, de divagations plus ou moins bizarres sur les nombres, ne renferme pas ce livre! fVussi, suivre les érudits modernes dans leurs commentsires ne serait ici qu'un hors-d'ceuvre inutile. D'autre I idées cosmogoniques n'intéressent pas cette Histoire.

On attribue à ce grand philosophe la découverte Bes lieux géométriques, c'est-à-dire d'un ensemble de lOints jouissant de la même propriété. Platon eut en BoTER. UU[. des MuDi. .t

i8 HISTOIRE DES M.ITIli'MATItJVES

outre le mérite d'observer rinfliience des inathématiiî qiies sur la rectitude dii jugement, et si ses recherdies originales sont de minime importance, il fit progress les méthodes, précisa les définitions du point, de la ligne] des surfaces et des volumes, qu'Euelide devait donneç' après lui presque sans changement. Il faut également \il£ savoir gré d'avoir dirigé quelques-uns de ses disciplejB, vers l'étude des sections coniques. Enfin, dernier etpr^ cietix service rendu à la Géométrie, il inventa l'anal)/sî[ comme mode de démonstration. C'est Proclus qui lui attribue cette découverte ; toutefois on en retrouve seulement les premières traces dans les livres d'Euclide,

Ce procédé consiste à établir une suite de propositions commençant au théorème qu'on veut démontrer, pour se terminer à une proposition connue, et telle! qu'en partant de la première, chacune entraîne l'exaci titude de la suivante. 11 s'ensnit alors que ta première^ conséquence de la dernière, est vraie comme celle-

Platon avait donné par son enseignement une fort impulsion à la science, aussi les mathématiciens coi temporains ne manquent pas. Le sophiste AktipiioJ nous retiendra tout d'abord. Il s'ingénia à trouver U solution du problème de la quadrature du cercle. Pour y parvenir il inscrivait un carré dans un eercici puis il déterminait le milieu des arcs sous-tendu^ par chaque côté et réunissant au moyen de droiteqi les points ainsi déterminés il formait de la sorte um, octogone. Il continuait ensuite à inscrire des polygones réguliers dont le nomlire des côtés augmentait indéfiniment. Cette construction aurait pu être un trait de lumière pour Antiphon, maïs il ne sut pas en profiter. Le génie d'Archimède devait cependant en déduii résultats aussi imprévus qu'importants. Du reste, vers la> même époque, Bryson d'iléraclée avait fait avancer cette fameuse question en circonscrivant des/polygones en même temps qu'il en inscrivait. Toutefois il se trompa en pensant que l'aire d'un cercle est la moyenne arith-^

PLATOIf ET SES COJVTEMPORA lAS

IViétiquo entre les polygones circ-on-scrit et inscrit. Il faut voir dans les travaux de ces cleus savants les >débuts (le la méthode d'cxhauslion, cest-à-clire d'ane jnanière logique de prouver Tégalité de deux grandeurs «n démontrant que leur difl'érenee est plus petite que Joule quaiitilé donnée- Un autre philosophe, Hiitias d'Elêe, qui florissait Jvers 4ao avant notre ère, est connu pour s'être occupé de la trisection des angles. Il aurait intime inventé, tou- 'ijoufs d'après Proclus, une courbe traasoe^idante lui permettant àe. diviser tout angle rectiligne en un certain nombre de parties ayant entre elles un rapport donné. Mallteureuseinent le commentateur nous renseigne incomplètement sur ce travail.

Aucun ouvrage de son contemporain TnÉETiiTË, p-d'Alhènes, ne nous est parvenu. .\oub savons seulel'steBt le titre de l'un d'eux. C'était un traité Sur les Vcinq solides, dont Euclide s'est servi pour composot' le rXIIP livre de seS Eléments. Enfin ce savant aurait K.ébauché la théorie des grandeurs incommensurables.

Parmi les autres recherches dues à des membres des

■ écoles d'Athènes et de Cyzique nous ne citerons que

licelles de Mbsechme et de son i'rère DiNosmATE. Au dire

I d'Eratoslhène, le premier naquit aux environs de l'an-

I Bée SyS avant Jésus-Christ. Après avoir suivi les leçons

P dePlaton et d'Eudose, il s'acquit dans lempiregrec une

I Assez grande réputation pour être nommé précepteur

d'Alexandre. Ou rapporte qu'à une demande de son

ustre élève le priant de lui indiquer les moyens les

epXvs rapides pour apprendre la géométrie, il aurait

I répondu : « Dans le domaine mathématique, prince, il

Ijn'y a pas de chemin â l'usage des rois '. )i

Ménechnie s'occupa des sections coniques avec

psnecdDlt!, rODiDie bi |<Certaini autenrB ail ivec Ptoléniéu 1

1 Inulilo d'ojouler ijue

UISTOlItE D[ES MÀTIIÈMATIQIES

succès'. 11 les aurait partagées pu trois classes, et il recherchait leurs propriétés en prenant non pas différentes sections planes dans un cône fixe, mais en choisissant un plan et en le coupant par divers cônes. 11 fit voir que la section d'un cône droit par un plan perpendiculaire à une génératrice est une ellipse ai l'angle au sommet est aigu, ane parabole si ce dernier est droit, et une hyperbole s'il est obtus. Toutefois il est difficile do dire au juste la part qui revient à Ménechme dans cette classification et dans la découverte des principaux théorèmes relatifs aux sections coniques, dont un avenir lointain devait seul dévoiler toute la fécondité. Etaientelles connues avant lui? A-t-il seulement trouvé lo moyen mécanique pour les réaliser expérimentalement ? Mystère qui a peu de ciiances d'être éclairci.

De son côté, Dinostrate découvrit une courbe particulière, la g uadratrice, que l'on attribue également à Hippias. C'est la courbe transcendante la plus anciennement connue, et il pansait la faire servît à une prétendue solution du problème de lu quadrature du cercle. De là vient son nom.

<^uant au grand Aiustotg, s'il ne fut guère un professionnel de la Mathématique, il eut cependant quelque influence sur son développement, en apportant des clartés inattendues là où les défectuosités fourmillaient. En particulier par ses Queslioiis mécaniques, il dirigea l'attention de ses contemporains vers les principes initiaux de cette science, et c'est lui qui eut l'idée d'employer les lettres pour représenter les grandeui's. 0« rencontre enfin dans cet ouvrage — à côté d'erreurs que l'autorité de son nom rendra si tenaces — un aphorisme remarquable pour son temps : les chous de deu.\ corps produisent le mémo effet si ceux-ci soat inversement proportionnels à leurs vitesses.

imelrj/ fium Tl.ales li. Eue